人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题45 动态几何之和差问题（含解析）

专题45 动态几何之和差问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的和差问题是动态几何中的常见问题，其考点包括和差为定值问题；和差最大问题；和差最小问题。在这些问题中又有线段的和差，面积的和差，线段平方的和差等类型。本专题原创编写动态几何之和差问题模拟题。

在中考中，动态几何形成的和差问题命题形式选择题、填空题和解答题都有体现。

在中考压轴题中，动态几何形成的和差问题的重点是线段的和（三角形周长）最小问题，它的关键是应用轴对称的性质进行探究；而问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

1. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，点D为边BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），连接CF。求证： CF+CD=AC。

【答案】解：∵正方形ADEF，∴AF=AD，∠DAF=90°。

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，BC=AC，∠BAC=90°。

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。

∴CF=BD。∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。

【考点】动点问题，正方形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等量代换。

【解析】一方面根据已知得出AD=AF，AB=AC，∠BAC=∠DAF=90°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，从而得到CF=BD；另一方面，根据等腰直角三角形的性质得出BC=AC，从而得到CF+CD=BD+CD=BC=AC。

2. 如图，等腰直角梯形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°，BC=CD=4，P为边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F。证明：DE2+BF2=16。

【答案】解：由已知∠ADC=∠BCD=90°，BC=CD，AE⊥BP，CF⊥BP，

又∵∠DCE+∠BCF=∠CBF+∠BCF，∴∠DCE=∠CBF。

∵在△BCF和△CDE中，BC=CD，∠CBF =∠DCE，∠CFB =∠DEC，

∴△BCF≌△CDE（AAS）。

∴CF=DE。∴DE2+BF2= CF2+BF2=BC2=16。

【考点】单动点问题，等腰直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等量代换。

3. 如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

【答案】（1）y=2x, （2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值2（3）当时，E点只有1个，当时，E点有2个

【解析】解：（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；6=3k，即k=2。

 ∴y=2x。

∴。

（2）线段QM与线段QN的长度之比是一个定值，

理由如下：

∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值。

（3）如图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R。

∵∠AOD=∠BAE，∴AF=OF。

∴OC=AC=。

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC。∴。∴OF=。

∴点F（，0）。

设点B（x，），过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF。

∴，即。

解得x1=6，x2=3（舍去）。∴点B（6，2）。

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4。∴AB=5。

在△ABE与△OED中，∵∠BAE=∠BED，∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB。

∴∠ABE=∠DEO。

∴顶点为。

如图3，

当时，OE=x=，此时E点有1个；

当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．

∴当时，E点只有1个，当时，E点有2个。

4. 如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O优弧AB上一动点，且∠ACB=45°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为         ．

【答案】解：如图，连接OA，OB，

【考点】单动点问题，圆的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质、三角形中位线定理，转换思想的应用。

5. 如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为．

（1）求直线l2的解析式；

（2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；

（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．

【答案】（1）；（2）作图和证明见试题解析；（3）①对，OM=3．

【解析】

∴OM=BC﹣（OB+CM）=BC﹣（CH+CM）=BC﹣OM，∴OM=BC=3．

考点：1．轴对称的性质；2．全等三角形的判定与性质．

6. 如图，在菱形ABCD中，，E是AB上一点，BE=2，AE=4BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　   　．

【答案】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。

∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于AC对称。

∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE。

∵BE=2，AE=4BE，∴AE=8，AD=AB= 10。

过点D作DF⊥AB于点F，

∵，∴AF=8。

∴点E与点F重合。∴。

∴PB+PE的最小值是6。

【考点】单动点问题，菱形的性质，应用轴对称确定最短路线，锐角三角函数定义，勾股定理。

7. 如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，且，．

（1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；

（2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；

（3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．

【答案】（1）如下图；（2）定值是；（3）不是定值，分别是16、12

【解析】

试题分析：（1）仔细分析题意，读懂题中“反射四边形”的特征即可作出图形；

（2）根据题中“反射四边形”的特征结合格点图形的特征、勾股定理即可求得结果；

（3）根据题中“反射四边形”的特征结合格点图形的特征、图形的面积公式即可求得结果

（1）如图所示：

考点：应用与设计作图

点评：作图题是初中数学学习中的重要题型，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握.

8. 如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：存在。

∴此三角形的外接圆的面积为。

∵，

∴S2=S梯形OMPF﹣S△PEF﹣S△OME=（PF+ON）•PM﹣PF•PE﹣OM•EM

= [PF（PM﹣PE）+OM（PM﹣EM）]= （PF•EM+OM•PE）=PE（EM+OM）

=（a+b﹣2）（2﹣a+a）=a+b﹣2。

∴。

设m=a+b﹣2，则，

∵，∴当时，有最大值，最大值为。

【考点】单动点问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，二次函数的性质，偶次幂的非负性质，转换思想的应用。