第三章 排列、组合与二项式定理 单元测试卷（B卷提升篇）（解析版）-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题3.3《第三章 排列、组合与二项式定理》单元测试卷（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·涞水波峰中学高一月考）把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（    ）

A．18 B．28 C．36 D．42

【答案】C

【解析】

根据题意，个相同的小球放到三个编号为的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，

先在号盒子里放个球，在号盒子里放个球，在号盒子里放个球，

则原问题可以转化为将剩下的个小球，放入个盒子，每个盒子至少放个的问题，

将剩下的个球排成一排，有个空位，在个空位中任选个，插入挡板，有种不同的放法，

即有个不同的符合题意的放法；

故选：C．

2．（2020·河北石家庄�高二期末）为抗击新冠肺炎疫情，我市组织相关专家组成联合专家组，指导某医院疫情防控工作．该医院开设了三个病区分别是重症监护病区、普通病区、监测病区．现在将甲乙丙丁4名专家分配到这三个病区指导防控工作，要求每个病区至少一名专家，则分配方式种数为（    ）

A．20 B．18 C．36 D．12

【答案】C

【解析】

由题目知，将甲乙丙丁分配重症监护病区、普通病区、监测病区这三个病区，要求每人去一个病区，有种分配方法，

故选：C.

3．（2020·重庆北碚�西南大学附中高二期末）“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”，正值欣赏荷花好时节，家住重庆主城的甲、乙、丙、丁四户家庭都准备从“铜梁爱莲湖、永川十里荷香、大足雅美佳湿地”三个荷花景区选择一个欣赏荷花，则在三个荷花区都有家庭选择的条件下，家庭甲选择“永川十里荷香”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

在三个荷花区都有家庭选择的条件下，基本事件总数为，

家庭甲选择“永川十里荷香”包含的基本事件个数为.

所以家庭甲选择“永川十里荷香”的概率.

故选：B.

4．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务，已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有（    ）

A．10种 B．40种 C．70种 D．80种

【答案】B

【解析】

就Grace的实际参与情况进行分类计数：

第一类，Grace不参与该项任务，则满足题意的不同搜寻方案有种：

第二类，Grace参与搜寻近处投掷点的食物，则满足题意的不同搜寻方案有种，

因此由加法计数原理得知，满足题意的不同搜寻方案有30+10=40(种)，

故选：B.

5．（2021·江苏清江浦�淮阴中学高三开学考试）的展开式中的系数为（    ）

A．5 B．10 C．15 D．20

【答案】C

【解析】

因为，

先看第一项，已有x的一次项，所以还需，即，

再看第二项，已有x的负一次项，y的二次项，所以还需，即，

所以，

所以展开式中的系数为15

故选：C

6．（2020·全国高三其他）十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物．甲同学喜欢马、牛、乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

依题意可分类：

①甲同学选马，则有种情况符合要求；

②甲同学选牛，则有种情况符合要求；

三位同学抽取礼物的所有情况有种，

则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率．

故选：A.

7．（2020·涞水波峰中学高一月考）某次文艺汇演为，要将这七个不同节目编排成节目单，依次演出，如果两个节目要相邻，且都不排为第3个节目演出，那么节目单上不同的排序方式有（    ）

A．192种 B．144种 C．960种 D．720种

【答案】C

【解析】

由题意知两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，

可以把这两个元素看做一个，再让他们两个元素之间还有一个排列，

两个节目可以排在1，2两个位置，可以排在4，5两个位置，可以排在5，6两个位置，可以排在6，7两个位置，

∴这两个元素共有种排法，

其他五个元素要在剩下的五个位置全排列，

∴节目单上不同的排序方式有，

故选：C．

8．（2020·全国高三其他（理））设数列是公差为2的等差数列，且首项，若，则（    ）

A．12224 B．12288

C．12688 D．13312

【答案】B

【解析】

根据等差数列性质：若则与组合性质，

可得，

且，，，…，，，，

进而有，

于是，

由①+②得

整理得，即．

于是.

故选B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·江苏淮安�高二期末）若，，则（    ）

A． B．，

C． D．

【答案】AD

【解析】

对于A，令，则，得，所以A正确；

对于B，因为，所以，故B错误；

对于C，令，则，又因为，所以，所以C错误；

对于D，令，则，即，

因为，

所以，所以D 正确，

故选：AD

10．（2020·苏州市第四中学校高二期中）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（    ）

A．若任意选科，选法总数为

B．若化学必选，选法总数为

C．若政治和地理至少选一门，选法总数为

D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为

【答案】BD

【解析】

若任意选科，选法总数为，A错；若化学必选，选法总数为，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为，C错；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为，D正确．

故选：BD．

11．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）、、、、五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（    ）

A．若、两人站在一起有24种方法 B．若、不相邻共有72种方法

C．若在左边有60种排法 D．若不站在最左边，不站最右边，有78种方法

【答案】BCD

【解析】

对于A，先将A,B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A不正确；

对于B，先将A,B之外的3人全排列，产生4个空，再将A,B两元素插空，所以共有种，所以B正确；

对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有种，所以以C正确；

对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列即可，由分类加法原理可知共有种，所以D正确，

故选：BCD

12．（2020·江苏常熟中学高二月考）已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（    ）

A．展开式中所有项的系数之和为256

B．展开式中含的一次项为

C．展开式中有3项有理项

D．展开式中系数最大项为第3项和第4项

【答案】BCD

【解析】

由题意展开式的通项公式为

，

所以，解得或（舍去），

所以，，

对于A，令，则，所以展开式中所有项的系数之和为，故A错误；

对于B，令即，此时，所以展开式中含的一次项为，故B正确；

对于C，若要使为有理项，则为4的倍数，当、、时，为有理项，所以展开式中有3项有理项，故C正确；

对于D，令，解得，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.

故选：BCD.

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2020·贵州省思南中学高二期末（理））多项式：(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是________.

【答案】

【解析】

含项为 ，

故含项的系数是，

故答案为：．

14．（2020·全国高三其他（理））2019年12月20日是澳门回归祖国20周年，某高校为庆祝澳门回归20周年，特举行了澳门文化周启动仪式文艺晚会，已知该晚会共有1个舞蹈类节目，2个语言类节目，3个歌曲类节目，若规定同类节目不能相邻出场，则不同的出场次序有______种.

【答案】120

【解析】

歌曲类节目不相邻的出场次序共有（种），

语言类节目相邻的出场次序有（种），

则同类节目不相邻的出场次序有（种），

故答案为：120.

15．（2020·湖北高二期中）杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种排列，在欧洲这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一次伟大成就，如图所示，在“杨辉三角”中去除所有为1的项，依次构成数列，2，3，3，4，6，4，5 ，10 ，10，5，……，则此数列的前119项的和为__________．(参考数据：，，)

【答案】131022

【解析】

n次二项系数对应杨辉三角的第n+1行，例如，系数分别为1,2,1,对应杨辉三角的第三行，令x=1,就可以求出该行的系数之和，

第1行为，第2行为，第3行为，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为，

若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则前n项和，

可得当n=14，再加上第15行的前14项时，所有项的个数和为119，

由于最右侧为2,3,4,5，……，为一个首项为2，公差为1的等差数列，则第15行的第15项为16，

则杨辉三角的前17项和为，且前17行中有个1，

故此数列的前119项的和为.

故答案为：131022

16．（2019·浙江高三月考）若二项式的展开式中常数项为10，则实数______，展开式中所有理项的系数之和为______．

【答案】2    122   

【解析】

二项式的通项公式为，

令，得，

则，解得，

所以，

所以当时，展开式为有理项，

所以展开式中所有理项的系数之和为,

故答案为：2；122

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·宁县第二中学高二期中（理））设展开式中只有第1010项的二项式系数最大．

（1）求n；

（2）求;

（3）求..

【答案】（1）2018；（2）；（3）-1.

【解析】

（1）由二项式系数的对称性，

（2）

（3）令 ，得，
令，得，

故.

18．（2020·河南高二期末（理））在二项式的展开式中，

（1）若所有二项式系数之和为，求展开式中二项式系数最大的项．

（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和。

【答案】（1）;（2） .

【解析】

（1）由已知得， ，

展开式中二项式系数最大的项是

（2）展开式的通项为，               

由已知：成等差数列，∴n=8,  

在中令x=1，得各项系数和为     

19．（2020·涞水波峰中学高一月考）人站成两排队列，前排人，后排人.

（1）一共有多少种站法；

（2）现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，求有多少种不同的加入方法.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据题意，将7个人全排列，再将其中前3人安排在前排，后面4人安排在后排即可；

则有种排法，

（2）根据题意，分2步进行分析：

①前排3人有4个空，从甲乙丙3人中选1人插入，有种排法；

②对于后排，若插入的2人不相邻有种，若相邻有种，则后排的安排方法有种；

则有种排法．

20．（2020·山西应县一中高二期中（理））有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数.

（1）有女生但人数必须少于男生；

（2）某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

（3）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.

【答案】（1）5400种；（2）3360种；（3）360种.

【解析】

（1）先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有种，后排有种，

共（种）.

（2）先选后排，但先安排该男生，有（种）.

（3）先从除去该男生、该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其中3人全排有种，共（种）.

21．（2020·邢台市第二中学高二期末）已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列．

（1）求n的值；

（2）求展开式中的有理项．

【答案】（1） （2），，.

【解析】

（1）因为展开式中的前三项系数为：，，，这三数成等差数列，所以2×＝，即n2﹣9n+8＝0，

∴n＝8或n＝1（舍去），

∴n＝8；

（2）展开式的通项公式Tr+1＝•••＝••，

∴要使Tr+1项为有理项，则16﹣3r＝4k，

∴r＝0，4,8,

∴有理项为：，，.

22．（2020·枣庄市第三中学高二月考）设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，与满足

（1）求的值；

（2）求的展开式中的系数。

【答案】（1）；（2）-20.

【解析】

（1）由题意知：，又

（2）

含的项：

所以展开式中的系数为