专题4.3 二项分布与超几何分布（B卷提升篇）【解析版】-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.3二项分布与超几何分布（B卷提升篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高二期末）盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有个坏的和个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·重庆九龙坡·期末）在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时 当1个正品3个次品时所以正品数比次品数少的概率为 所以选A3．（2020·全国高三其他（理））纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为，满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，所以，故选：B.4．（2020·天山·新疆实验期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于（   ）A． B．C． D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝故选C5．（2020·大连市一〇三中学高二开学考试）有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P  随机变量X的数学期望E(X)＝.6．（2020·四川绵阳·期末（理））设随机变量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为随机变量，所以整理得：，解得：或（舍），故选：B7．（2020·江苏张家港·期中）某篮球运动员每次投篮投中的概率是，每次投篮的结果相互独立，那么在他10次投篮中，记最有可能投中的次数为，则的值为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】记投篮命中的次数为随机变量，由题意，，则投篮命中次的概率为，由得，即，即，解得，又，因此时，取最大值.即该运动员10次投篮中，最有可能投中的次数为次.故选：D.8．（2020·寿县第一中学其他（理））已知甲罐子里有5个红球3个黑球，乙罐子里有3个红球、2个黑球和3个白球，现在从甲罐子里取出2个球放入乙罐内，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】若从甲罐子中取出2个红球，则对应的概率为，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是；若从甲罐子中取出1个红球和1个黑球，则对应的概率为，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是；若从甲罐子中取出2个黑球，则对应的概率为，将这两个红球放入乙罐，再从乙罐取出两个球，则这两个小球是1个黑球1个红球的概率是，综上，这两个小球是1个黑球1个红球的概率是.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9．（2020·山东任城·济宁一中高二期中）如城镇小汽车的普及率为75%，即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是(    )A．这5个家庭均有小汽车的概率为B．这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为C．这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车D．这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为【答案】ACD【解析】由题得小汽车的普及率为，A. 这5个家庭均有小汽车的概率为，所以该命题是真命题；B. 这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为,所以该命题是假命题；C. 这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题；D. 这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为=,所以该命题是真命题.故选：ACD.10．（2020·江苏徐州·期末）一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是（    ）A．取出的最大号码X服从超几何分布B．取出的黑球个数Y服从超几何分布C．取出2个白球的概率为D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为【答案】BD【解析】一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，对于，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的最大号码不服从超几何分布，故错误；对于，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生次的试验次数，由此可知取出的黑球个数服从超几何分布，故正确；对于，取出2个白球的概率为，故错误；对于，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出四个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故正确．故选：．11．（2020·襄阳市第一中学月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为. 则其中正确命题的序号是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.故选：ABD.12．（2020·江苏徐州·期末）某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（    ）A．X服从二项分布 B．C．X的期望 D．X的方差【答案】ABC【解析】由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：①后4个数出现0，，记其概率为；②后4个数位只出现1个1，，记其概率为；③后4位数位出现2个1，，记其概率为，④后4个数为上出现3个1，记其概率为，⑤后4个数为都出现1，，记其概率为，故，故正确；又，故正确；，，故正确；，的方差，故错误．故选：．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2019·黄梅国际育才高级中学月考（理））李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为__________.【答案】【解析】设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为的超几何分布，且，故所求概率为，故答案为：.14．（2020·陕西旬邑·月考（理））某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是；③他至少击中目标1次的概率是．其中正确结论的序号是____．(写出所有正确结论的序号)【答案】①③【解析】∵射击一次击中目标的概率是0.9，∴第3次击中目标的概率是0.9，∴①正确，∵连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，∴本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1∴②不正确，∵至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14．∴③正确15．（2019·黄梅国际育才高级中学月考（理））下列命题中，正确的命题的序号为__________．①已知随机变量服从二项分布，若，，则；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量服从正态分布，若，则；④某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当时概率最大.【答案】②③④.【解析】根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，所以①错误的；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以②是正确的；由正态分布的图象的对称性可得，所以③是正确的；由独立重复试验的概率的计算公式可得，，由组合数的公式，可得当时取得最大值，所以④是正确的，所以正确命题的序号为②③④.16．（2019·浙江高三其他）已知随机变量，且X的数学期望，方差，则____________， ____________.【答案】        【解析】由二项分布的期望和方差的计算公式知，解得则．故答案为：；.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2020·湖北十堰·高二期末）已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立.（1）设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X，求的概率（结果精确到0.1）及X的数学期望；（2）试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999？附：.【答案】（1）0.2，9；（2）3颗.【解析】（1）依题意得， 则， X的数学期望. （2）设每穴至少要播种n颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999，则，则， 解得， 故每穴至少要播种3颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.99.18．（2020·江苏张家港·期中）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过，，每个项目测试的概率都是.（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望.详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为； （2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P 所以，X的数学期望为． 19．（2020·四川乐山·期末（理））某机构用“10分制”调查了各阶层人士对某次国际马拉松赛事的满意度，现从调查人群中随机抽取16名，如图茎叶图记录了他们的满意度分数以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若满意度不低于分，则称该被调查者的满意度为“极满意”，求从这16人中随机选取3人，至少有2人满意度是“极满意”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体人数很多任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）86，87.5；（2）；（3）【解析】由茎叶图可知：这组数据的众数为86，中位数．被调查者的满意度为“极满意”共有4人其满意度分别为，，，．从这16人中随机选取3人，至少有2人是“极满意”的概率．由题意可得：．分布列是ξ 0 1 2 3 P        根据二项分布的性质得到：.20．（2020·滨海县八滩中学其他）某小区停车场的收费标准为:每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）.现有甲乙两人独立来停车场停车（各停车一次），且两人停车时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如表所示：停车时间取车概率停车人员(0，2](2，3](3，4](4，5]甲乙0（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由题意得，解得，又，解得，记甲、乙两人所付车费相同的事件为A，则；（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，随机变量可能取值为：0，1，2，3，4，5， ， ， ， ， .的分布列为：012345p 21．（2020·襄阳市第一中学月考）公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对一批小白鼠进行做接种试验.该实验的设计为两个阶段；（Ⅰ）第一阶段：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行2个周期；（Ⅱ）第二阶段：待白鼠体内疫苗实效后，在出现Z症状的小白鼠中选6只，在没出现Z症状的小白鼠中选4只，挑出6只进行第二次接种试验．已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．（1）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（2）记表示第二阶段接种的小白鼠中第一阶段出现症状的只数，求的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为，且每次试验间相互独立，所以，一只小白鼠第一天接种后当天出现症状的概率为， 在第二天接种后当天出现症状的概率为：，能参加第三天试验但不能参加下一个接种周期的概率为：，∴一只小白鼠至多参加一个接种周期试验的概率为：；（2）因为表示第二阶段接种的小白鼠中第一阶段出现症状的只数，则服从超几何分布即：；所以的分布列为23456 随机变量的数学期望为：22.（2020·辽宁葫芦岛·期末）随着科学技术和电子商务的发展，近年来人们的购物方式发生了翻天覆地的变化，网络购物成为当下流行的购物方式，同时网络购物对实体店铺产生了很大的冲击，除了各大商场逐渐萧条外，居民区的蔬菜水果市场受到一定程度的影响.统计部门为了解市场情况以及查找原因，在民安社区对上个月“去市场购买水果蔬菜”的家庭（方式甲）和“利用网络购买水果蔬菜”的家庭（方式乙）进行抽样调查统计：从民安社区随机抽取了户家庭进行调查研究，将消费金额（元）按照大于元且不超过元、超过元且不超过元、超过元分别定义为低消费群体、中等消费群体和高消费群体，同时发现基本不购买水果蔬菜的家庭有户.统计结果如下表：        消费群体购买方式低消费群体中等消费群体高消费群体仅方式甲户户户仅方式乙户户户两种方式都用户户户 （1）从民安社区随机抽取户，估计这户居民上个月两种购买方式都使用的概率；（2）从样本中的高消费群体里任取户，用来表示这户中仅用方式乙的家庭，求的分布列和数学期望；（3）将上个月样本数据中的频率视为概率.现从民安社区（民安社区家庭数量很多）随机抽取户，发现有户本月的消费金额都在元以上.根据抽取结果，能否认为高消费群体有变化?说明理由.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）答案见解析.【解析】（1）依样本数据可知两种购买方式都使用的人数为户，样本数量为，所以可估计上个月两种购买方式都使用的概率； （2）根据题意，样本中高消费群体共户，仅用方式乙购买的家庭户，所以，随机变量的可能取值有、、、，，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，随机变量的数学期望为；（3）设事件“从该社区抽取户消费金额在元以上家庭”，则，抽取次，可设高消费家庭出现次数为，则有，所以，由于比较小，概率小的时间一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.