专题4.4 随机变量的数字特征（A卷基础篇）【解析版】-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题4.4随机变量的数字特征（A卷基础篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2020·湖北张湾·车城高中期中（理））已知随机变量X的分布列为：01若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，解得．故选：A．2．（2020·江苏泰州·期末）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设表示向上一面出现6点的次数，则的数学期望的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为故选：D3．（2020·江苏镇江·期末）若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，因此.故选：C.4．（2020·江苏省前黄高级中学期中）甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是(　　)环数k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A．甲 B．乙C．一样 D．无法比较【答案】B【解析】E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，所以乙稳定．5．（2020·吉林扶余市第一中学期中（理））若随机变量的概率分布列如下表：0240.30.20.5则等于（    ）A．2031 B．12 C．3.04 D．15.2【答案】A【解析】据题意，得，所以.故选：A.6．（2020·河北邢台·高二期末）已知随机变量满足，且为正数，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由方差的性质可得，，因为，所以，又a为正数，所以．故选：C.7．（2020·尤溪县第五中学高一期末）若一组数据，，，…，的平均数为2，方差为3，则，，，…，的平均数和方差分别是（    ）A．9，11 B．4，11 C．9，12 D．4，17【答案】C【解析】由题，则，.故选：C8．（2020·山东高三其他）随机变量ξ的分布列为：012其中，下列说法不正确的是(    )A． B．C．D(ξ)随b的增大而减小 D．D(ξ)有最大值【答案】C【解析】根据分布列的性质得，即，故正确；根据期望公式得，故正确；根据方差公式得，因为，所以时，取得最大值，故不正确，正确；故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（2020·山东济宁·期末）已知随机变量的分布列如下，且，则下列说法正确的是（    ）123A．， B．，C． D．【答案】BC【解析】依题意，所以，结合，解得，所以B选项正确.，所以C选项正确.故选：BC10．（2020·永安市第三中学高二期中）设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（    ）A． B．，C．， D．，【答案】CD【解析】由概率的性质可得，解得，，，，,故选：CD11．（2020·江苏海陵·泰州中学高二月考）若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（    ）A．P（X＝1）＝E（X） B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．【答案】AB【解析】随机变量X服从两点分布，其中，∴P（X＝1），E（X），D（X）＝（0）2（1）2，在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；在D中，D（X），故D错误.故选：AB.12．（2020·山东泰安·期末）设离散型随机变量的分布列为012340.40.10.20.2若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（）A． B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】【分析】先计算的值，然后考虑、的值，最后再计算、的值.【详解】因为，所以，故A正确；又，，故C正确；因为，所以，，故D正确.故选ACD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·四川泸州·期末（理））已知随机变量，若，，则的值为______.【答案】【解析】由题可知：所以为故答案为：14．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则=________.【答案】【解析】由于是又放回的抽样，所以抽到二等品的件数符合二项分布，即，由二项分布的方差公式可得故答案为：.15．（2020·吴起高级中学月考（理））某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量，其概率分布如表，数学期望.则__________.036 【答案】【解析】根据题意可得方程组：，解得，从而.16．（2019·浙江诸暨中学高三其他）已知随机变量的的分布列如图所示，则________；若，则________.012pxy 【答案】        【解析】由题意可知：，，解得，，所以，．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2020·大连市普兰店区第一中学高二月考）某人投弹击中目标的概率为.（1）求投弹一次，击中次数的均值和方差；（2）求重复投弹次，击中次数的均值和方差.【答案】（1）；（2），【解析】（1）由题意可知服从两点分布因为，，所以，.所以，（2）由题意可知击中次数服从二项分布，即所以，，.18．袋中有同样的球个，其中个红色，个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求：.(1)随机变量的概率分布列；(2)随机变量的数学期望与方差.【答案】(1)见解析；（2），.【解析】 (1)随机变量可取的值为．；得随机变量的概率分布列为：
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  (2)随机变量的数学期望为：； 随机变量的方差为：19．（2019·全国课时练习）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为 (1)求a,b的值.(2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.【答案】（1）；（2）见解析【解析】 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,所以a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.(2)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,Eη=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2,Dξ=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,Dη=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.由于Eξ>Eη,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但Dξ>Dη,说明甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.20．（2020·江苏高三专题练习）某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【答案】（1）分布列如图，；（2）【解析】（1）甲抽奖一次，基本事件的总数为，奖金的所有可能取值为0,30,60,240.一等奖的情况只有一种，所有奖金为120元的概率为，三球连号的情况有1,2,3；2,3,4；……8,9,10共8种，得60元的概率为，仅有两球连号中，对应1,2与9,10的各有7种：对应2,3；3,4；……8,9各有6种.得奖金30元的概率为，得奖金0元的概率为，的分布列为：(2)由(1)可得乙一次抽奖中中奖的概率为四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数故. 21．（2020·宁夏利通·吴忠中学高二期末（理））甲，乙两人进行定点投篮活动，已知他们每投篮一次投中的概率分别是和，每次投篮相互独立互不影响.（1）甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，求事件A发生的概率；（2）甲乙各投篮一次，记两人投中次数的和为X，求随机变量X的分布列及数学期望；（3）甲投篮5次，投中次数为，求的概率和随机变量ξ的方差.【答案】（1）；（2）答案见解析，；（3），.【解析】（1）设甲投中为事件B，乙投中为事件C，则，，甲乙各投篮一次，记“至少有一人投中”为事件A，则事件A发生的概率.（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，，，，∴X的分布列为：X012P.（3）随机变量，，.22．（2016·新疆哈密·高二期末（理））本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：降水量X工期延误天数02610   （Ⅰ）工期延误天数的均值与方差； （Ⅱ）在降水量X至少是的条件下，工期延误不超过6天的概率.【答案】（Ⅰ）的均值为3，方差为.（Ⅱ）.【解析】本题考察条件概率、离散型条件概率分布列的期望与方差。（Ⅰ）由已知条件和概率的加法公式有：，..所以的分布列为：026100.30.40.20.1于是，；.故工期延误天数的均值为3，方差为. （Ⅱ）由概率的加法公式，又.              由条件概率，得.故在降水量X至少是mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.