专题03 解三角形（填空题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题03 解三角形（填空题）
一、单空题
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么的最大内角的余弦值为________．
【试题来源】北京市平谷区2019-2020学年高一下学期期末质量检测
【答案】
【分析】由边的大小关系可知是最大角，然后利用余弦定理求解．
【解析】角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，则是最大角，则，故答案为．
【名师点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题．
2．已知在中，，，，则________．
【试题来源】北京市东城区2019-2020学年度高一下学期期末统一检测
【答案】或．
【分析】由已知利用正弦定理可得，结合，可得范围，即可求解B的值．
【解析】因为，，，
所以由正弦定理，可得，
因为，可得，所以，或．故答案为，或．
【名师点睛】此题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题
3．在中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知，，，那么b等于________．
【试题来源】北京市平谷区2019-2020学年高一下学期期末质量检测
【答案】
【分析】由三角形面积公式求出边，再由余弦定理计算可得；
【解析】，，，，
由余弦定理可得．
故答案为．
4．在中，其中，则角________．
【试题来源】江苏省盐城市东台创新高级中学2019-2020学年高三上学期11月检测
【答案】
【分析】已知等式变形后，利用余弦定理化简，再利用同角三角函数间基本关系求出的值，即可确定出．
【解析】由余弦定理得：，即，
因为，所以
代入已知等式得：，即，
为三角形内角且，，故答案为
【名师点睛】本题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．
5．在中，，，，则________．
【试题来源】湖北省部分重点中学（郧阳中学、恩施高中、随州二中、沙市中学）2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】或
【分析】由正弦定理，求得，得出或，进而求得的大小，得到答案．
【解析】由正弦定理，可得，
因为，可得或，
当时，；
当时，．故答案为或．
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练应用正弦定理，求得角的大小是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
6．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则________．
【试题来源】天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理）
【答案】
【分析】根据题中条件，先求出角和角，再由正弦定理，即可得出结果．
【解析】因为，所以，则，，
因此，由正弦定理可得，．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查用正弦定理进行边角互化，属于基础题型．
7．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，则边上的高为________．
【试题来源】天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）（理）
【答案】
【分析】先由题中条件，根据余弦定理，求出，得出，进而可求出结果．
【解析】因为，，，所以，
则，过点向的延长线作垂线，垂足为，
则，

所以边上的高为．故答案为．
8．海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是________．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）（理）
【答案】
【分析】首先根据海伦公式求得三角形的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形的内切圆．
【解析】，S△ABC＝，
由于，所以．故答案为
【名师点睛】本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题．
9．在内角的对边满足，则的最小值为________．
【试题来源】福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中
【答案】
【分析】利用余弦定理结合基本不等式求解即可．
【解析】根据题意，由得：
由余弦定理得
当且仅当，即时取等号，故答案为
【名师点睛】本题主要考查了余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题．
10．若是的内角，且，则与的大小关系是________．
【试题来源】湖北省黄石市重点高中2019-2020学年高二上学期第二次联考
【答案】A>B
【分析】运用正弦定理实现边角转化，再利用三角形中大边对大角可得答案．
【解析】由正弦定理可知，，
得，故答案为．
【名师点睛】本题考查了利用正弦定理判定三角形中角的大小，属于基础题．
11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为________．
【试题来源】上海市南洋模范中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】
【分析】先利用三角形内角和为，根据可以求出，再由正弦定理求出，即可利用三角形面积公式求出．
【解析】由题可知，在中，
，
由正弦定理可得，，
．故答案：．
【名师点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，需要利用和的正弦公式和三角形面积公式，是高考必考题型．
12．△ABC中，若，AC＝1，且，则BC＝__．
【试题来源】广东省湛江市2017-2018学年高二上学期期末（文）
【答案】1
【分析】在△ABC中，运用余弦定理，代入计算即可得到．
【解析】由余弦定理得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC×BC×cos∠C
则3＝1+BC2+BC，所以BC2+BC﹣2＝0，又BC＞0，所以BC＝1．故答案为1．
【名师点睛】本题考查余弦定理及运用，考查运算能力，属于基础题．
13．在中，，则的外接圆的半径等于________．
【试题来源】河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）理数试题
【答案】
【分析】先由余弦定理求出，再求出，再由正弦定理可得答案．
【解析】在中，易求．又，
由余弦定理可得，解得．设外接圆的半径为r，则由正弦定理，
得，所以．故答案为
【名师点睛】本题考查利用余弦定理解三角形和利用正弦定理求三角形外接圆的半径，属于中档题．
14．在中，，，，点D在BC边上，，则AD的长为________．
【试题来源】山西省太原市第五中学2021届高三上学期9月阶段性考试（文）
【答案】
【分析】由余弦定理求得BC的值，由正弦定理求得，再求出，过点D作，利用直角三角形求得AD的值．
【解析】如图所示，由，，，

在中，由余弦定理得
，所以．
在中，由正弦定理得，
所以，因为，故为锐角，
所以．过点D作AB的垂线DE，垂足为E，
由得：，．
中，．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，注意根据已知的边和角确定合适的定理求解三角形，本题是基础题．
15．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且三条边a，b，c成等比数列，则的值为________．
【试题来源】云南师大附中2021届高三适应性月考（二）文科
【答案】
【分析】由正弦定理和等比数列的性质可得，由余弦定理即可得结果．
【解析】由正弦定理知：，又，所以，
从而由余弦定理得．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了通过正弦定理实现边角互化，余弦定理解三角形，属于基础题．
16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C，2b＝a，则cos A＝________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高三上学期第二次验收考试文科
【答案】
【解析】由B＝C，2b＝a，可得b＝c＝a，
所以cos A＝＝＝．故答案为
17．已知圆内接四边形中， 则四边形的面积为________．

【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】
【解析】连接BD，圆内接四边形对角互补，，利用余弦定理，
得，
所以，
四边形面积．故答案为．
18．的内角、、的对边分别为、、，若，且三条边、、成等比数列，则的值为________．
【试题来源】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（二）文科
【答案】
【分析】本题首先可根据得出，然后根据三条边、、成等比数列得出，最后根据即可得出结果．
【解析】因为，所有根据正弦定理边角互换可知，，
因为三条边、、成等比数列，所以，，
则，故答案为．
【名师点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查正弦定理边角互换，考查等比中项的应用，考查计算能力，是简单题．
19．在中，D是BC边上一点，，，且与面积之比为，则________．
【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形求得的值，再利用余弦定理求得AC、AB的值，最后利用三角形的面积公式求得AD的值．
【解析】中，∠BAD＝∠DAC＝60°，如图所示；

；
由余弦定理得，，
，解得AC＝6，所以AB＝10；
；
，
解得．故答案为．
20．在中，角的对边分别是，若成等差数列，，的面积为，则 ．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】
【解析】由题，整理得，解得，所以．
21．已知中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，，，则________．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】
【分析】由正弦定理化角为边后，结合已知可求得，利用三角形面积公式可得，这样由正弦定理可把用表示，用表示，代入求值式可得结论．
【解析】因为，所以由正弦定理得，又，则，则，又，所以，
由正弦定理得，，
所以．故答案为．
【名师点睛】本题考查正弦定理、三角形面积公式，掌握正弦定理的边角互化是解题基础．
22．如图，设△的内角所对的边分别为，，且．若点是△外一点，，，则四边形面积的最大值为________．

【试题来源】广东省深圳市2020-2021学年高二上学期调研备考
【答案】
【分析】根据正弦定理，利用“边化角”化简，可得，以角D为未知量建立关于角D的三角函数，即可得出最大值．
【解析】由正弦定理可得，，即，所以 又，所以△为等边三角形，在△ADC中，由余弦定理得，，故四边形面积为，所以当，四边形面积最大，最大值为．
【名师点睛】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
23．已知的三内角、、所对边长分别为是、、，设向量，，若，则角的大小为________．
【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试（文）
【答案】
【分析】利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系，利用正弦定理将角化为边，再利用余弦定理求出B的余弦，即可求出角．
【解析】因为向量，，若，
所以，
由正弦定理知：，即，
由余弦定理知：，所以cosB＝，因为B∈（0，π），所以B＝．
故答案为
【名师点睛】本题考查向量平行的充要条件和三角形的正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题型．
24．在锐角△ABC中．a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，则tanA的取值范围是________．
【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）
【答案】
【分析】利用正弦定理的边角互化可得，进而可得，即，再根据△ABC为锐角三角形求出的范围即可求解．
【解析】由

，
所以，解得，所以，
又，解得，
综上所述，，所以．故答案为
【名师点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、两角和与查=差的正弦公式，需熟记公式，属于中档题．
25．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则________．

【试题来源】人教B版（2019） 必修第四册 过关斩将 第九章 解三角形 9．2 正弦定理与余弦定理的应用 9．3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离
【答案】
【分析】在中，由余弦定理，求得，再由正弦定理，求得，最后利用两角和的余弦公式，即可求解的值．
【解析】在中，海里，海里，，
由余弦定理可得，所以海里，
由正弦定理可得，
因为，可知为锐角，所以
所以．
【名师点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．
26．在中，，，若的面积等于，则边长为________．
【试题来源】江西省信丰中学2020届高三上学期第三次月考（文）
【答案】
【分析】由可得，故， 由余弦定理可得的长．
【解析】因为，故，所以．
又，所以，故，从而，填．
【名师点睛】一般地，解三角形时若知道面积，可以一边及该边上的高来计算，也可利用两边及其夹角的正弦来计算，我们需要根据要求解的目标在两者中做出合适的选择以便简化计算．
27．在△ABC中，若则角B等于________．
【试题来源】北京市一零一中学2019-2020学年高一第二学期期末
【答案】或
【解析】因为，
所以由正弦定理得：，
因为，所以或，故答案为或.
28．在中，，，面积为，则________．
【试题来源】北京市一零一中学2019-2020学年高一第二学期期末
【答案】
【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解．
【解析】，，面积为，，解得，
由余弦定理可得：，
所以，故答案为
【名师点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
29．如图，在中，，是上一点，是上一点，若，，，，则________．

【试题来源】福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中
【答案】
【分析】过点作于点，设，再用x表示线段，，，，
，，然后在中，利用余弦定理求得x即可．
【解析】如图所示：

过点作于点，设，
则由题意得：，，，
因为，所以，因为，
，即，因为，，
所以，所以，，，
所以中，由余弦定理得，
，又，，
，整理得：，解得或（舍去），
所以，解得．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及平面几何的知识，还考查了运算及其的能力，属于中档题．
30．设锐角三角形的三个内角、、所对的边分别为、、，若，，则的取值范围为________．
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2021届高三9月月考
【答案】
【分析】由题意可得，且，解得A的范围，可得的范围，由正弦定理求得，根据的范围确定出b的范围即可．
【解析】由，得，由 ，
，故 ，
所以，所以 ．
【名师点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，以及锐角三角形的条件，属于简单题目．
31．在中，，，所对的边分别是，，，已知，则________．
【试题来源】安徽省六安市霍邱县第二中学2019-2020学年高一下学期段考
【答案】
【分析】由，变形后利用余弦定理表示出，即可确定出的度数．
【解析】，即，
，为三角形内角，，故答案为．
【名师点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查对基本定理掌握的熟练程度以及灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题．
32．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=________．
【试题来源】宁夏银川市第二中学2021届高三上学期数学统练一试题
【答案】．
【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得．
【解析】由正弦定理，得．，得，即，故选D．
【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．
33．已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，，则球的表面积为________．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】
【解析】设的外接圆的半径为，由正弦定理可得，即，由题设可得，解之得，故球的面积．故应填答案．
【易错点晴】球是立体几何中的重要图形之一，也是高中数学中的重要知识点之一，也历届高考必考考点之一．本题以球中的有关概念为背景，考查是与球有关的知识的综合运用读能力和空间想象能力．解答时先运用正弦定理可得，即，再由题设可得，解之得，最后求得球的面积，从而获得答案．
34．在中，角所对的边分别为，若的面积为，则的最大值为________．
【试题来源】2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合数学（文）
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理，采用整体代换，结合辅助角公式，可得结果．
【解析】由面积公式得，，即，
由余弦定理得，
所以
则，其中，，
故当时，取得最大值．故答案为
【名师点睛】本题考查解三角形中面积公式，余弦定理的应用，以及对辅助角公式的考查，熟练掌握公式，细心计算，属中档题．
35．在中，是边上一点，，，，，则________．
【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2019-2020学年高三高考适应性月考卷（六）（理）
【答案】
【分析】设，在中求出，然后在中利用余弦定理可得出关于的方程，解出的值，进而可求得的长．
【解析】如图，设，则，在中，，，则，，

在中，由余弦定理得，
即，解得，因此，．
故答案为．
36．设内角的对边分别为．若°，的面积为2，则的外接圆的面积为________．
【试题来源】内蒙古通辽市开鲁县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式，得到，再根据余弦定理可得，进一步利用正弦定理可以得到外接圆的半径，最终得到答案．
【解析】由题意可得，则，
再由余弦定理可得，，
则，再由正弦定理可得，，
三角形外接圆的半径为，的外接圆的面积为．故答案为．
【名师点睛】本题考查三角形外接圆的知识点，涉及到三角形的面积公式以及正余弦定理，属于比较常见的中等题型．
37．的内角，，的对边分别为，，．已知，，则的面积为________．
【试题来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三上学期第一次月考（文）
【答案】
【分析】由正弦定理得，由平方关系和余弦定理可得，再利用面积公式即可得解．
【解析】由已知条件及正弦定理可得，
易知，所以，
又，所以，
所以，所以，即，，
所以的面积．故答案为．
【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题．
38．设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且，则的最大值为________．
【试题来源】浙江省山水联盟2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】
【分析】利用正弦定理将化为，然后利用三角形内角和定理将用代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得，再由同角三角函数关系可得，将其代入展开式消去，结合基本不等式即可求出的最大值．
【解析】因为 由正弦定理边角互化得
，
又因为 ，
所以 ，
所以
因为 当或时，等式不成立，
所以 ，，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
当且仅当，即等号成立，
所以 ．故答案为
【名师点睛】本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定．
39．中，，则的最大值为________．
【试题来源】云南师大附中2021届高三适应性月考（二）理科
【答案】
【分析】根据数量积的概念代入可得，由余弦定理和基本不等式结合可得的最小值，由三角恒等式即可得结果．
【解析】由题意知，，
同理，，
故由已知，，即，
由，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值是．故答案为．
【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的概念、余弦定理的应用、基本不等式的应用以及三角函数的以值求值，属于中档题．
40．在①②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．问题：已知内角的对边分别为，若，________，试求的范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】浙江省三校（新昌中学、浦江中学、富阳中学）2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】条件选择见解析，
【分析】当选①，利用正弦定理即可求解；当选②，利用基本不等式以及余弦定理可得，利用正弦定理即可求解．
【解析】当选①：易知，，
，
，
由，则，则，
则，
当选②：可知，
，从而，，
而，
当且仅当时取等号，从而．
【名师点睛】本题是一道开放性题目，考查了正弦定理、余弦定理解三角形以及基本不等式、三角函数的性质在求范围中的应用，属于中档题．
41．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若△ABC不是钝角三角形，则的取值范围是________．
【试题来源】江苏省徐州市铜山区、南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期第一次抽测
【答案】
【分析】先求得C的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简为1，由角C越大，越小，求得的取值范围．
【解析】三角形ABC中，因为，若△ABC不是钝角三角形，由A+C，
可得C．
利用正弦定理可得1，
显然，角C越大，越小．
当C时，cosC＝0，则1；当C时，1∈（1，4]，
综上可得，∈，故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及两角和的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查，属于中档题．
42．已知a，b，c分别为三个内角A、B、C的对边，，，则的面积为________．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据正弦定理结合三角恒等变换得到，再利用面积公式计算得到答案．
【解析】，，
，
整理得到，，故，
即，，故，，，
故为等边三角形，．故答案为．
【名师点睛】本题考查了正弦定理，面积公式，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力．
43．小明想测量一棵树的高度，他发现谁的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图1），此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米（如图2），则树的高度为________．

【试题来源】江苏省镇江市名校2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】米
【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
【解析】延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，
在RtCFE中，∠CFE=30°， CF =4m， 所以CE=2 (米)，EF =4cos30°= (米)，
在RtCED中， 同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，米，CE：DE=1：2，DE=4 (米)，BD= BF+EF+ ED=12+ (米)，
在RtABD中， (米) ．故答案为 (+6)米．

【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到的影长．
44．设的内角，，的对边分别为，，，，且，则________．
【试题来源】广西南宁市2018-2019学年高二上学期期末联考文科
【答案】
【分析】根据正弦定理得到之间的关系，再根据角对应的余弦定理结合已知条件即可求解出的值．
【解析】因为，所以，所以，
又因为，，所以，解得，故答案为．
【名师点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，其中涉及利用正弦定理完成角化边，主要考查学生对公式的熟练运用，难度一般．
45．在中，若，，则的最大值为________．
【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末模拟
【答案】
【解析】设
，最大值为
【名师点睛】借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式
46．在中，，，则中线的取值范围是________．
【试题来源】云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷（二）（理）
【答案】
【分析】由正弦定理可得，从而可求出的轨迹方程，结合椭圆的性质即可求出中线的取值范围．
【解析】由正弦定理得，则点是以，为焦点的椭圆上的一点，
不妨以，所在直线为轴，点为原点建立平面直角坐标系，则椭圆方程为，
由椭圆的性质可知，椭圆上点到原点距离最大为长轴的一半，最小为短轴的一半，
则可知中线长的取值范围为．故答案为 ．

【名师点睛】本题考查了正弦定理，考查了椭圆的性质，属于中档题．本题的难点是将中线转化为椭圆问题．
47．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，已知的面积为，，，则b的值为________．
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（八）
【答案】
【分析】【分析】由和平方关系求出，结合的面积为，求出，再用余弦定理可求b的值
【解析】由，，且角B为钝角
把代入到，得，，
，所以，
由余弦定理得，
所以，故答案为．
【名师点睛】本题考查平方关系、余弦定理以及三角形的面积公式的应用，同时考查运算求解能力，属于基础题．
48．在锐角中，，，的等差中项为，则中线的长的取值范围是________．
【试题来源】湖南省长沙一中2020届高三（上）月考（理）（三）
【答案】．
【分析】由已知为锐角三角形结合正弦定理，余弦定理可求的范围，进而可求的范围，然后由可求，即可求解．
【解析】，，由正弦定理可得，，即，
因为是锐角三角形，所以，即，解可得，，
所以，
结合二次函数的性质可知，，，，

故答案为
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及二次函数的性质，数量积的性质的综合应用，属于中档题．
49．在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，，，则的面积为________．
【试题来源】江西省赣州市会昌县七校2021届高三联合月考（理）
【答案】
【分析】由，求得，得到，利用余弦定理和三角形面积公式，求得，再由正弦定理求得，结合面积公式，即可求解．
【解析】因为，可得，即，
又由，所以，所以，
又因为，可得，
则，即，因为，可得，
所以，又由正弦定理，可得，
所以的面积为．
故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了余弦的倍角公式，以及正弦、余弦定理和面积公式的应用，其中解答中熟练应用余弦的倍角公式和三角形的正弦、余弦定理，结合面积公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力．
50．在中，角所对应的边分别为．已知，则________．
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】
【分析】先利用正弦定理可得到，再利用两角之和的正弦公式可得到，从而可得到的值．
【解析】将，利用正弦定理可得：，
即，因为，所以，
利用正弦定理可得：，则． 故答案为．
【名师点睛】利用正弦定理可以将边的关系转化为角的关系，也可以将角的关系转化为边的关系，从而很好的解决问题．
51．设锐角的角，，所对边分别为，，，且，则的取值范围为________．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】
【分析】先由已知化简整理得并求出，再确定角并求出，最后求的取值范围即可．
【解析】因为，，
所以，由正弦定理得：
所以，
因为，所以，
所以，整理得：，
因为角为锐角，所以，则
因为，，所以，所以
所以，则
所以
故答案为．
52．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为________．
【试题来源】陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考理科
【答案】
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，再运用三角形的面积公式即可求得结果．
【解析】由于，，，因为，所以，，
由余弦定理得，解得，
所以的面积．故答案为．
53．的内角，，的对边分别为，，，且，的面积为，，则的最大值为________．
【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试
【答案】
【分析】本道题反复运用正弦定理、余弦定理，计算出bc的范围，并用bc表示所求式子，
计算最值，即可．
【解析】，推出
利用余弦定理，代入上式子中，得到
结合正弦定理，计算出

.
【名师点睛】本道题考查了正弦、余弦定理，难度较大．
二、双空题
54．在中，角，，所对的边分别是，，，的平分线交于点，且，若的面积为，则________；________．
【试题来源】浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】
【分析】利用三角形内角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式和余弦定理对已知条件化简整理得到的值，从而求得；
进而将的值代回余弦定理，得到的关系，从而求得的值．
【解析】如图所示，由内角平分线定理可得，，即， 由的面积为，
由余弦定理得
所以，，；
，即，
所以，故答案为；．

【名师点睛】本题考查正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，涉及三角形的面积公式和三角形的内角平分线的性质，属中档题．
55．在中，，则________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，________．
【试题来源】江苏省徐州市市区部分学校2020-2021学年高三上学期9月学情调研考试
【答案】
【分析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出；设，，，则，，根据正弦定理，得到，，求出，得到，表示出，求出最值，即可得出结果．
【解析】因为，所以，
即，
又因为，所以；设，，，
则，，
由正弦定理可得，，
又，
由，得．
因为，
所以，
因为，所以，所以当时，取得最大值，
此时，
所以，；答案为；．
【名师点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型．
56．在中，角，，的对边分别为，，，满足，，则________，的面积为________．
【试题来源】2020年浙江省名校高考押题预测卷（一）
【答案】2
【分析】（1）首先利用方程有解，，化简求角，并回代方程求解；（2）根据余弦定理求边，最后代入三角形面积公式．
【解析】由题意得，关于的方程有实根．
所以，所以，，又，所以，，所以，所以，
，．所以，所以，
所以的面积．故答案为；．
【名师点睛】本题考查三角恒等变形，解三角形，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型．
57．的内角，，的对边分别为，，．若，，且，则________；若的面积为，则的周长的最小值为________．
【试题来源】重庆市部分区2019-2020学年高一下学期期末联考
【答案】
【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式和正弦定理得到，再根据余弦定理求角的值；（2）首先根据面积公式得到，再根据余弦定理和基本不等式求周长的最小值．
【解析】（1）由条件可知，
根据正弦定理边角互化转化为，
即，，
因为，所以；
（2），解得，
，即
当时，等号成立，，当时等号成立，
所以，当时，时取得最小值．
故答案为；
【名师点睛】本题考查正余弦定理解三角形，基本不等式求最值，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型．
58．在中，角，，所对的边分别为，b，c．已知向量，且．D为边上一点，且．则________，面积的最大值为________．
【试题来源】湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二上学期开学联考
【答案】
【分析】由计算可得，进而得出，因为，所以，，在和中分别计算和的表达式，然后利用可得，由余弦定理可得，两式结合可得，由不等式的知识可得，进而可得，最后利用三角形面积计算公式可得出面积的最大值．
【解析】由可得，，
利用余弦二倍角公式和边化角可得：，
即，
利用积化和公式可得：，即，
又，所以；因为，所以，，
在中，，
在中，，
又，所以有，
即，①， 又，②
将②代入①得，，
又，所以，即，
由，，可得：，
所以．
所以面积的最大值为．故答案为；．
【名师点睛】本题主要考查解三角形，考查两角积化和公式的应用，考查三角形面积公式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
59．在中，角所对的边分别为，已知，则________，若，的面积为，则________．
【试题来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题
【答案】
【分析】根据正弦定理将边化成角，然后得到，从而得到的值，根据余弦定理得到，根据的面积得到，从而得到的值．
【解析】因为，由正弦定理可得，
，而，所以，，所以．
因为，所以由余弦定理可得，即
因为的面积为，所以，所以，
所以，所以．故答案为；．
【名师点睛】本题考查正弦定理的边角互化，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单题．
60．锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，则________，若，则的取值范围是________．
【试题来源】湖北省武汉市部分重点中学（武汉六中等）2019-2020学年高一（下）期末
【答案】
【分析】①由正弦定理，可推出，再结合二倍角公式和的取值范围即可得解；
②由正弦定理，知，再根据三角形的内角和与正弦的两角和公式可将其化简为；然后由、及，可求得，，即，将其代入化简后的式子即可得解．
【解析】①由正弦定理知，，
，，
，，
锐角，，，，，．
②由正弦定理知，，
，
锐角，、，
，且，
，即，，，．
故答案为；．
【名师点睛】本题考查解三角形和三角函数的综合运用，涉及正弦定理、二倍角公式、正弦的两角和公式以及正切函数的图象与性质，考查学生灵活运用知识的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
61．已知的内角A，B，C的对边分别为．若，则________；的最大值为________．
【试题来源】广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】3
【分析】由二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简已知等式可得，根据基本不等式可求，结合范围，利用三角函数的性质即可求解的最大值．
【解析】因为，所以，
所以，当且仅当时不等式两边取等号，
所以当取得最小值时，取得最大值，最大值为．
故答案为3，．
【名师点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了同角三角函数的基本关系，属于中档题．
62．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________，两点的距离为________．

【试题来源】山东省聊城市九校2020-2021学年高二上学期第一次开学联考
【答案】
【分析】先求和，再建立方程求出，接着判断是等腰三角形，最后求即可．
【解析】因为，，所以，，
在中，由正弦定理得：，
即，解得
因为，，所以，
所以是等腰三角形，则．故答案为，
【名师点睛】本题考查正弦定理的应用、实际问题中的距离测量问题、三角形中的计算问题，还考查了数形结合思想，是基础题．
63．分别为内角的对边．已知
(1) ________；
(2)若，则________．
【试题来源】2020届山东省济南市历城第二中学高三上学期期中
【答案】3
【分析】(1)由余弦定理可得，再由两角和、差的余弦公式展开运算求解即可；(2)由（1）可得，再由正弦定理可得，得解．
【解析】(1)由，得，
而，所以，
即，故．
(2)因为，所以，则，所以，
从而，
由正弦定理得，则，故答案为(1)． 3 (2)． ．
【名师点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题．
64．在中，，则的值为________，的长为________．
【试题来源】2019届浙江省杭州二中高三高考模拟
【答案】
【分析】根据角A的范围，求得，再凑角，可求得的值，再根据余弦定理可求得的长．
【解析】因为 ，所以 ，
由得，
所以，
因为 ，所以，又因为，
所以，
所以的长为 ．故答案为 ， ．
【名师点睛】本题考查同角三角函数的关系，三角函数求值中给值求值型，余弦定理，关键在于运用已知角表示待求的角，属于基础题．