专题02 解三角形（解答题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题02 解三角形（解答题）
一、解答题
1．（上海市上海交通大学附属中学2021届高三上学期开学摸底数学试题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故．
（2）结合（1）的结论有：
．
由可得：，，
则，．
即的取值范围是．
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值．
2．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高二下学期第二次段考数学试题）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，且，是上的点，平分，求的面积．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先利用二倍角公式将题目等式化成关于的方程，求出即可求出角；（2）根据角平分线定义先求出，再依锐角三角函数的定义求出，最后依据三角形面积公式求出．
【解析】（1）因为，所以，
即．因为，所以，解得．
所以或（舍去），因此，．
（2）因为，，所以，因为，所以，
又因为为的角平分线，所以，
在中，所以，所以，
所以．
3．（黑龙江省牡丹江一中2020-2021学年高二上学期开学测试数学试题）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若，△ABC的面积为，求边长b的值．
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简等式即可得到结论；（2）根据（1）得，利用三角形面积公式得，再利用余弦定理即可．
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，
设，则，
带入，化简得，
因为，所以；
（2）由（1）可知，，，
又，所以，解得．
在△ABC中，由余弦定理，
即，解得．
4．（吉林省长春市普通高中2021届高三一模数学文科试题）在中，角的对边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）若，求外接圆的半径．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理知，
有，且，
所以.
（2）
所以.
5．（四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高三9月月考数学（文）试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，当的面积最大时，求，．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵，∴．
化简得．∴．∵，∴．
（2）∵，，∴．
∵，∴．∴．
∵当时，，即时，．
∴的最大值为，此时，．
6．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题）如图，在中，已知，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．

【答案】
【解析】在中， AD=10，AC=14，DC=6，，
，
在中，，，

7．（四川省江油中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且
（1）求角A；
（2）若且求△ABC的面积．
【答案】（1）； （2）．
【分析】（1）整理得：，再由余弦定理可得，问题得解．（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解．
【解析】（1）由题意，得
，∴；
（2）由正弦定理，得，
，
∴．
8．（山东省2020届高三新高考模拟猜想卷（三）数学试题）某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，，，．

（1）求服务通道的长度；
（2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？
【答案】（1）5（2）见解析
【分析】（1）连接BD，在中应用余弦定理求得BD，进而在应用勾股定理求得BE．（2）在中，应用余弦定理表达出AB与AE的等量关系，再结合不等式求得的最大值即可．
【解析】（1）连接，在中，由余弦定理得：
，．，
，又，，
在中，．
（2）在中，，．
由余弦定理得，即，
故，从而，
即，当且仅当时，等号成立，
即设计为时，折线段赛道最长．

9．（江西省南昌市第二中学2020-2021学年高一上学期入学考试数学试题）如图1，是一款常见的海绵拖把，图2是其平面示意图，是拖把把手，是把手的一个固定点，海绵安装在两片活动骨架，上，骨架的端点只能在线段上移动，当海绵完全张开时，，分别与，重合；当海绵闭合时，，与重合．已知直杆，．

（1）若，求的长；（结果保留根号）
（2）若，求的长；（结果保留小数点后一位）
（3）海绵从完全张开到闭合的过程中，直接写出的中点运动的路径长．（参考数据：，，，取3．14）
【答案】（1）cm；（2）15．5cm；（3）15．7cm．
【分析】（1）由题意可得是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形，求出即可求解．（2）在中，利用正弦定理即可求解．（3）由题意可得点运动的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，根据弧长公式即可求解．
【解析】（1）∵当海绵完全张开时，，分别与，重合；
当海绵闭合时，，与FH重合，∴，
∵，∴是等腰直角三角形，
由题意知，，∴也是等腰直角三角形，
∴，∴，
∴；
（2）∵，，∴，
∴，，
∴；
（3）∵，是的中点，∴始终等于，
所以点运动的轨迹是以为圆心，半径为、圆心角为圆弧，
∴点运动的路径长为．
10．（江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试数学试题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知的内角，，的对边分别为，，______________，，，求的面积．
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）若选择①：，
由余弦定理，因为，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
（2）若选择②：，则，
因为，所以，因为，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
（3）若选择③：，则，所以，
因为，所以，所以，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
11．（安徽省蚌埠市2020-2021学年高三上学期第一次质量监测理科数学试题）在中，内角，，的对边分别为，，．且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）6．
【分析】（1）根据正弦定理角化边可得，根据余弦定理可得，可得；（2）利用三角形的面积公式可得，根据余弦定理可得，配方可得，进而可求得三角形的周长．
【解析】（1）由正弦定理得：，即，
由余弦定理可得：，∵，∴．
（2）∵，∴，
由余弦定理得，
得，即，∴，∴的周长为6．
12．（江西省信丰中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（文）试题）已知的角，，所对的边分别为，，，设向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若 ，边长，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据向量数量积，得到，由正弦定理，化简整理，即可得出结果；（2）先由向量垂直的坐标表示，求出，再由余弦定理，求出，进而可求出三角形的面积．
【解析】（1）由题意，，
由正弦定理，可得，则，
∴，故；
（2）由得，即，∴．
又，，∴由余弦定理可得，即有．
∴，∴或（舍）；
因此．
13．（江西省南昌二中2020届高三（6月份）高考数学（理科）校测试题（一））已知，，
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．
【答案】（1）的最小正周期为：；函数单调递增区间为：；（2）．
【分析】（1）根据诱导公式，结合二倍角的正弦公式、辅助角公式把函数的解析式化简成余弦型函数解析式形式，利用余弦型函数的最小正周期公式和单调性进行求解即可；（2）由（1）结合，求出的大小，再根据三角形面积公式，结合余弦定理和基本不等式进行求解即可．
【解析】（1）
，
的最小正周期为：；
当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递增区间为：；
（2）因为，所以

设边上的高为，所以有，
由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值．
14．（四川省自贡市田家炳中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题）在中，，，分别为角，，所对的边，，，成等差数列，且．
（1）求的值；
（2）若面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】（1）由，，成等差数列，得，再结合，得，然后利用余弦定理可得结果；（2）先由，求出，然后由面积为，结合列方程可求出的值
【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，因为，所以，
由余弦定理得，，
（2）因为，，所以，
因为面积为，所以，
所以，解得或（舍去）
15．（吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学（文科）六模试题）已知，，分别是的内角，，的对边，，点在边上，，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由，由正弦定理角化边，再由余弦定理求得角；（2）先由的面积为，求出边，解三角形，求得，得到，即求得，再由和角，由余弦定理求得．
【解析】（1）由，由正弦定理，
得，得，又，
又，得．
（2）作示意图如图所示：

由的面积，得，
则，
则，则，
则．即．
16．（广西南宁二中柳铁一中2021届高三9月联考数学理科）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求B；
（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理及可得，从而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故当时，的面积取得最大值，此时，，在中，再利用余弦定理即可解决．
【解析】（1）由正弦定理及已知得，
结合，得，
因为，所以，由，得．
（2）在中，由余弦定得，
因为，所以，
当且仅当时，的面积取得最大值，此时．
在中，由余弦定理得
．即．
17．（福建省福州市格致中学2019-2020学年高二（下）期末数学试题）在中，．
（1）若，求；
（2）为边上一点，且，求的面积．
【答案】（1）； （2）．
【分析】（1）根据已知条件和利用正弦定理可求出，再利用同角三角函数基本关系式可求出；（2）根据题意知为等腰三角形，再利用余弦定理得出为等边三角形可得，从而求出的面积．
【解析】（1）在中，由正弦定理及题设得，故，
解得， 又，所以．
（2）设，则．
在中，由余弦定理得，，
即，①
在等腰中，有，②
联立①②，解得或（舍去）．所以为等边三角形，所以，
所以．
解法二：（1）同解法一．
（2）设，则
因为，所以，
由余弦定理得，得，所以，解得或（舍去）．
所以为等边三角形，所以，
所以．
18．（北京市延庆区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知在中，，，．
（1）求；
（2）若是钝角三角形，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理，简单计算可得结果．（2）利用余弦定理可得或，然后根据 是钝角三角形以及余弦定理进行验证可确定，最后使用三角形面积公式，可得结果．
【解析】（1）在中，根据正弦定理得，则，
所以.
（2）因为，所以．
解得或．当时，
所以为钝角，所以△的面积
当时，．此时为锐角，不满足题意
所以△的面积．
19．（江西省信丰中学2020届高三上学期第四次月考数学（理）试题）在中，角、、的对边分别是、、，若．
（1）求角；
（2）若的面积为，，求的周长．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可；（2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出整体即可
【解析】（1）由正弦定理得：，
∵，∴，∵是的内角，∴．
（2）∵的面积为，∴，由（1）知，∴，
由余弦定理得：，
∴，得：，∴的周长为．
20．（金太阳2020-2021学年高三第一次检测考试数学试题）在①，②三角形的面积为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的周长；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，，______？
【答案】选条件①：存在，；选条件②：存在，；选条件③：不存在，答案见解析．
【解析】方案一：选条件①
因为，所以，
即，整理得．
因为，所以，解得．
又因为，所以，即，，
所以，则，得，，所以的周长为．
方案二：选条件②
因为，
所以，即，因为，所以．
又因为，所以，即，，
所以，则，得，，所以的周长为．
方案三：选条件③
，则，得，
因为，所以．又因为，则问题中的三角形不存在．
21．（新高考课改专家2021届高三数学命题卷试题）在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，求：
（1）角______？
（2）在①若，且边，②若，且边这两个条件中任选一个，求边的值？
【答案】（1）；（2）①；②．
【解析】（1），，所以，
（2）①若，且边，
则，所以，
，所以，所以；
②若，且边，
和，
得代入到中，所以．
22．（广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底数学试题）在①，②，③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在非直角△，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】答案见解析．
【分析】利用两角和正弦公式化简三角函数式，得到，结合题设可知且、，进而利用①或②或③求得相关结论，判断是否与题设矛盾即可；若不矛盾，利用正余弦定理即可求的值；
【解析】△中，由，得
∴；∵△不是直角三角形；
∴，则有，即，而，即有；
选①：由，及 得；
由 得不合理，故△不存在．
选②：由得：，故有；
∴为直角，不合题设，故△不存在．
选③：由 得：．
【点睛】本题考查了解三角形及三角恒等变换等相关知识，利用三角恒等变换中两角和正弦公式化简已知函数式，进而得到相关结果，再结合所给条件得到相关结论并判断是否与题设矛盾.
23．（辽宁省辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A＋cos A＝2．
（1）求角A的大小；
（2）现给出三个条件：①a＝2；②B＝；③c＝b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求△ABC的面积．(写出一种方案即可)
【答案】（1）；（2）选择①②，＋1；选择①③，；选择②③，无法确定△ABC．
【分析】（1）化简sin A＋cos A＝2得2sin ＝2，即可求出角A的大小；
（2）选择①②，先由正弦定理求出，再由sin C＝sin (A＋B)得sin C，即可根据三角形面积公式求出；选择①③，由正弦定理可求出，继而求出即可求出面积；选择②③，无法确定△ABC．
【解析】（1）依题意得2sin ＝2，即sin ＝1，
∵0 （2）选择①②．由正弦定理 ，得b＝＝2．
∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，
∴S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝＋1．
选择①③， c＝b，由正弦定理得，即，
可得sin A cos B＋cos A sin B，
A＝，得，解得，，
．
选择②③，sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝，
由 c＝b结合正弦定理得，矛盾，所以此种方案无法确定△ABC．
24．（上海市控江中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．
（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；
（2）设，求面积的最大值及此时的值．

【答案】（1）；（2）时，取得最大值为
【分析】（1）在中，，，由余弦定理即可求边长PC；
（2）在中，利用正弦定理，得到，，根据三角形面积公式，将上面2个边长代入，利用二倍角公式、降幂公式、两角和与差的正弦公式化简表达式，再求三角函数的最值即可．
【解析】（1）在中，，，
由，得，解得；
（2）∵，∴，
在中，由正弦定理得，即，
∴，又，，
记的面积为，则，



∴时，取得最大值为．
25．（上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高一下学期4月月考数学试题）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图：点A、B、C分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点C在点A的北偏东47°方向，点B在点C的南偏西36°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为3海里．

（1）求A、C两点间的距离；（精确到0．01）
（2）某一时刻，我国一渔船在A点处因故障抛锚发出求救信号．一艘R国舰艇正从点C正东10海里的点P处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为PCA（直线行进），而我东海某渔政船正位于点A南偏西60°方向20海里的点Q处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点M处，再折向点A直线航行，航速为22海里/小时．渔政船能否先于R国舰艇赶到进行救助？说明理由．
【答案】（1）14．25海里；（2）渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．
【解析】（1）求得，由海里．
（2）R国舰艇的到达时间为：小时．
在中，
得海里， 所以渔政船的到达时间为：小时．
因为，所以渔政船先到．
答：渔政船能先于R国舰艇赶到进行救助．

26．（江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试数学试题）在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知的内角，，所对的边分别为，，，且___________．
（1）求角；
（2）若为的中点，且，，求，的值．
【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．
【解析】选择①
（1）根据正弦定理得，
整理得，即，
所以．因为，所以．
选择②
（1）根据正弦定理有，
所以，即．
因为，所以，从而有，故．
选择③
（1）因为，
所以，即，
由余弦定理，得，又因为，所以．
（2）在中，，即．
在中，，即．
因为，所以，所以．
由及，得，所以，
从而，所以．
27．（江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期期初调研数学试题）在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若_____，且a，b，c成等差数列，则是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】①；证明见解析
【分析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得，结合a，b，c成等差数列可得，，代入余弦定理公式，即可得，结合等式可求得，进而证明为等边三角形．
【解析】选择①，
证明：则由余弦降幂公式可得，
即，由可得，
又因为a，b，c成等差数列，则B为锐角，则，，
由余弦定理可知，代入可得，即，
则，化简可得，即，又因为，
所以为等边三角形．
28．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试数学试题）已知同时满足下列四个条件中的三个：
①；②；③ ；④ ．
（1）请指出这三个条件，并说明理由；
（2）求的面积．
【答案】（1）同时满足①，③，④．理由见解析；（2）．
【分析】（1）从角的角度，先分析能否同时满足①，②，再从边的角度，分析同时满足③，④，再利用大边对大角求解．（2）结合条件利用余弦定理，求得边c，再代入公式求解．
【解析】（1）同时满足①，③，④．理由如下：
若同时满足①，②．
因为，且，所以．所以，矛盾．
所以只能同时满足③，④．
所以，所以，故不满足②．
故满足①，③，④．
（2）因为，所以．
解得，或（舍）．所以△的面积．
29．（江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高二上学期期初数学试题）某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民．为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）．已知该扇形的半径为200米，圆心角，点在上，点在上，点在弧上，设．

（1）若矩形是正方形，求的值；
（2）为方便市民观赏绿地景观，从点处向修建两条观赏通道和（宽度不计），使，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望最长，试问：此时点应在何处？说明你的理由．
【答案】（1）矩形是正方形时，（2）当是的中点时，最大.
【解析】（1）在中， ，，在中， ， 所以，因为矩形是正方形，，所以，所以，所以 ．
（2）因为所以， ，．所以， 即时，最大，此时是的中点．
答：（1）矩形是正方形时，；（2）当是的中点时，最大．
30．（辽宁省多校联盟2019-2020学年高一下学期数学期末试题）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，试判断的形状；
（2）求证：．
【答案】（1）直角三角形；（2）证明见解析．
【分析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，解得，或，分类讨论，可求三角形为直角三角形；
（2）将已知等式两边同时乘以，利用三角函数恒等变换的应用可得，进而根据正弦定理即可证明．
【解析】（1）∵，可得，
则，，∴，，
∵，∴，可得，
∴，整理可得：，解得，或，
∴当时，为直角，三角形为直角三角形；
当时，可得，可得为直角，三角形为直角三角形；
综上，三角形为直角三角形．
（2）∵．∴，
∴，即，
∴，
∴由正弦定理得，得证．
31．（江苏省南通市启东中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学试题）现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题：（选出一种可行的条件解答，若两个都选，则按第一个解答计分）在中，分别为内角所对的边( )．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）对于所选的条件，先根据正弦定理将边化成角，结合三角恒等变换，即可计算，再根据角的范围，即可求解；（2）根据余弦定理，可得：，利用基本不等式，导出，结合三角形面积公式，即可求解．
【解析】（1）选①，
由正弦定理可得：，
即，∴，
∵，∴，∴，即，
又，∴，
选②，
由正弦定理可得：，
∴，
∵，∴，∴，又，∴；
（2）由余弦定理得：，
又，当且仅当“”时取“=”，
∴，即，∴，
∴，∴的面积的最大值为．
32．（山东省2021届高三开学质量检测数学试题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．
已知的内角，，所对的边分别是，，，若______．
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）分别选三个条件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周长最小值，再利用面积公式求出面积．
【解析】（1）选①，由正弦定理得，
∵，∴，即，
∵，∴，∴，∴．
选②，∵，，
由正弦定理可得，
∵，∴，∵，∴．
选③，∵，由已知结合正弦定理可得，
∴，∴，∵，∴．
（2）∵，即，
∴，解得，当且仅当时取等号，
∴，周长的最小值为6，此时的面积．
33．（河北省邯郸市2021届高三上学期摸底数学试题）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）给出三个条件①，②外接圆半径，③，试从中选择两个可以确定的条件，并求的面积．
【答案】（1）；（2）选①③或②③，的面积为．
【分析】（1）根据二倍角公式及正弦定理的边角互化，即可求角；
（2）确定的条件为①③或②③，结合正余弦定理求，进而可求的面积；
【解析】（1）因为，所以，
由正弦定理得，∴，；
（2）显然可知当选择条件①②时，不唯一；
当选择条件①③时，唯一，此时，由余弦定理，
即，解得．
所以的面积．
当选择条件②③时，唯一，此时，由正弦定理可知．
由余弦定理，即．
解得，所以的面积．
34．（安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期期末数学（文））的内角，，所对的边分别为，，．已知，，且．
（1）求；
（2）证明：的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍．
【答案】（1）6（2）见解析
【解析】（1）∵，∴，即，
则 ．
（2）证明：∵，，∴，或，．
若，，则，∴，∴．
若，，同理可得．
故的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍．
35．（江苏省扬州中学2020-2021学年高二上学期开学检测数学试题）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，并且．
（1）已知_______________，计算的面积；
请①，②，③这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分．
（2）求的最大值．
【答案】（1）见解析（2）1
【解析】（1）若选②，③．
，，，，
又，．的面积．
若选①，②．由可得，
，，又，．
的面积．
若选①，③，，，
又，，可得，
的面积．
（2），

，
，，
当时，有最大值1．
36．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考数学试题）在锐角中，角、、所对的边分别为、、．已知，．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由正弦定理知：①
又由已知条件：②
由①②知：，因为，∴．
（2）


．
∵是锐角三角形，所以，∴，
∴，所以，
∴的取值范围是，即的取值范围是．
37．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学期高三上学期开学考试（8月）数学（理））的内角，，的对边分别为，，，已知，，，．
（1）求和的值；
（2）求的值．
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）先由同角三角函数的关系求出，再用余弦定理求出边，最后由正弦定理求出．（2）由（1）结合条件可求出，进而利用二倍角公式求出的值，最后由正弦函数的和角公式可求解．
【解析】（1）在中，∵，故由，可得．
由已知及余弦定理，有，
∴．由正弦定理，得．
∴，．
（2）由（1）及，得，
∴，．
故．
38．（黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2019-2020学期高三上学期开学考试（8月）数学（理））的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，面积为2，求．
【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1），∴，∵，
∴，∴，∴；
（2）由（1）可知，∵，∴，
∴，∴．
39．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测数学试题）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a，b的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解．解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得的值，得到角的值，然后根据选择的条件进行分析判断和求解．
【解析】解法一：由可得：，不妨设，
则：，即．
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：
可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵，
∴，
，
∴，∴，∴，∴，
若选①，，∵，∴，∴c=1；
若选②，，则，；
若选③，与条件矛盾．
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
40．（云南省红河州2020届高三高考数学（理科）一模试题）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．
（1）求角A的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由及正弦定理得：
，
因为，，所以，，
所以，又，所以；
（2）由正弦定理，，，
由得：，
即①，由余弦定理得，
，则，解得，
带入①式可得，即，得，
当且仅当时，取等号，，面积的最大值为．
41．（安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考文科数学试题）在三角形中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求三角形面积的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）结合正弦定理对已知条件进行化简后，观察等式利用余弦定理即可得正确结论；
（2）根据角的转换写出关于角的式子，再根据的取值范围即可确定出三角形
面积的最大值．
【解析】（1）设三角形的外接圆的直径长为
由已知及正弦定理
所以，所以，即．
由余弦定理得，因为，所以．
（2）因为，所以，
三角形面积
∵，∴，
当且仅当时，，此时面积取得最大值．
42．（湘豫名校2020-2021学年高三上学期8月联考文科数学试题）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，，求的面积；
（2）若，求角．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由余弦定理求得，进而得到，结合面积公式，即可求解；
（2）由题设及正弦定理得，求得，进而求得角．
【解析】（1）由余弦定理可得，
解得，所以，可得的面积．
（2）由已知，可得，
因为，由正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故，．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
43．（江西省新余一中、樟树中学等六校2019-2020学年高一下学期第二次联考数学（理，创新班）试题）已知中，内角，，的对边分别为，，，满足．
（1）若，试判断的形状，并说明理由；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）等边三角形，见解析；（2）
【解析】（1）由题设，及正弦定理得，
因为，所以，由，
可得，故．
因为，故，所以，
因为，又由余弦定理得，
所以，即，所以，故，
所以是等边三角形；
（2）解法一：的周长，由余弦定理，
，故，，
所以，当且仅当时，等号成立．
又在中，所以，
所以周长的取值范围为．
解法二：因为，，由正弦定理，得，
所以的周长

，
因为，所以，，
．所以周长的取值范围为．
44．（福建省泰宁第一中学2020届高三上学期第一阶段考试数学（文）试题）在中，内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角
（2）若，，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦，化简得到，进而求得，即可求得角的大小；（2）由（1）和题设条件，求得，进而求得，结合正弦定理，即可求解．
【解析】（1）因为，
由正弦定理，可得，即，
又因为，可得，所以，
因为，则，所以，所以．
（2）由（1）知，且，所以，
所以，
又因为，由正弦定理，则．
45．（山东省日照市五莲县第一中学2019-2020学年高一3月自主检测数学试题）某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向的海面处，并正以的速度向北偏西方向移动（其中），台风当前影响半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？
【答案】7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时．
【解析】如图，设该市为，经过小时后台风开始影响该城市，则小时后台风经过的路程，台风半径为，

需满足条件：， ，
，
∴，
整理得，即解得，
∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时．
46．（河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高三9月月考数学（文）试题）中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）求的最小值．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】（1）由已知即三角函数恒等变换化简可得，结合正弦定理可得．（2）由余弦定理及，几何基本不等式的性质可得．
【解析】（1）由题意：，
可得：，即：，
由正弦定理可得：；
（2）由，及（1），
故，
当且仅当时等号成立，即时等号成立，故的最小值为．
47．（黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）数学（文）试题）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求b；
（2）求内切圆的半径．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）由得，即可计算出，再由余弦定理计算出边．
（2）由面积公式（为内切圆的半径），及解得．
【解析】（1）由，得，则
又，所以．由余弦定理得，，
即，即，解得或5．
若，则为等腰直角三角形，与矛盾，舍去，故．
（2）当时，的面积为，
则内切圆的半径．
48．（新疆昌吉市第九中学2021届高三上学期开学考试数学（理）试题）的内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的周长为，求的面积．
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用正弦定理和两角和差正弦公式可化简边角关系式，求得，结合可得结果；（2）利用三角形周长得到；利用余弦定理构造出关于的方程，解出的值；代入三角形面积公式可求得结果．
【解析】（1）由正弦定理可得：
即：
，由得：
（2），的周长为
由余弦定理可得：，的面积：.
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用，还涉及到两角和差正弦公式的知识，考查学生对于三角恒等变换和解三角形部分的公式的掌握程度，属于常考题型．
49．（四川省仁寿第一中学校南校区2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题）在锐角中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足．
（1）求角B的大小；
（2）若，且，，求a和c的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角即可求得，即可得出角B；（2）利用余弦定理结合，即可得，配方后可得，利用即可得a和c的值．
【解析】（1），由正弦定理可得．
∵，．∴，． ∴．
（2），．
． ∵代入得．∴或（舍）．
50．（江西省奉新县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理）试题）如图，在平面四边形中，已知，，且为等边三角形．
（1）将四边形的面积表示为的函数；
（2）求的最大值及此时的值．

【答案】（1）；（2）时，取得最大值为．
【分析】（1）先根据余弦定理求BD，再根据三角形面积公式分别表示三角形ABD与正三角形BCD面积，求和即得所求函数关系式；（2）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为正弦型三角函数，再根据正弦函数性质求最大值．
【解析】（1） ，
所以四边形的面积
（2）
，当时，取得最大值为．
【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
51．（甘肃省天水一中2019-2020学年高二下学期期末（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．
（1）求角A的大小；
（2）求周长的范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将利用正弦定理和两角和的正弦公式化简得，从而可得A的值．（2）由余弦定理和基本不等式，以及三角形两边之和大于第三边，可得周长范围．
【解析】（1）由已知，得．
由正弦定理，得．
即，因为．所以．
因为，所以，因为，所以．
（2）由余弦定理，得，即．
因为，所以，即（当且仅当时等号成立）．又∵，即，所以，即周长的范围为．
52．（新疆呼图壁县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且．
（1）求角；
（2）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由余弦定理可得，化简可得，由此可求角；
（2），由（1）知， ．
由此可求的面积的最大值．
【解析】（1）∵，∴．
∵是锐角，∴．∴．∵，，∴．
（2）．
由（1）知， ．
∴．即．∴．
当且仅当时取等号，∴的面积的最大值为．
53．（广东省广州市执信、广雅、六中三校2021届高三上学期8月联考数学试题）已知的内角，，所对的边分别为，，，
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由，切化弦，再利用两角和差公式化简可求得角；
（2）由余弦定理可求得，再用三角形的面积公式可求得的面积．
【解析】（1）由得
∴，∴
即，又显然不等于0，∴，∵，∴.
（2）由（1）知，又，
根据余弦定理得
∴，∴，∴．
54．（云南省昆明市第一中学2021届高三高中新课标第一次摸底测试数学（文科）试题）已知的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且
（1）求A；
（2）若a=，且∆ABC的面积为，求的周长．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先利用二倍角公式和诱导公式化简整理得的方程并求得，再根据A的范围求得A即可；（2）利用面积公式求出，再结合余弦定理求出，即得的周长．
【解析】（1）因为，所以，
解得或（舍），又因为，所以 ．
（2）因为，所以，
又因为，所以，
从而得，因为，所以，所以的周长为．
55．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题）如图，是直角斜边上一点，．

（1）若，求角的大小．
（2）若，且，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，可得，
由余弦定理得，整理得，
解得或．
若，则，；
若，则，则为直角，不合乎题意．
综上所述，；
（2）设，可得，
在中，为直角，则，
在中，由余弦定理得，
整理得，解得，即．
56．（四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学试题）在中，角、、所对的边分别为、、，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）由，利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得；从而可得结果；（2）由余弦定理可得可得 ， 所以．
【解析】（1）∵，
∴，，
则 ∴.
（2）∵，
∴ ∴.
【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．