专题03 数列（选择题、填空题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题03 数 列（选择题、填空题）
一、单选题
1．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）数列1，，的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，，，， ，
故选B．
2．（福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中）在数列中，，，且，则（ ）
A．22 B．-22
C．16 D．-16
【答案】C
【分析】由数列的递推关系，带入，，即可求出，再将带入，即可求出．
【解析】令，则，又，，所以；再令，则，所以，故选C
3．（云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考）已知数列满足，则此数列的通项等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
4．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）在数列中，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】在数列中，

，故选A．
5．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中）已知数列，1，，，，…，，…，则是它的（ ）．
A．第22项 B．第23项
C．第24项 D．第28项
【答案】B
【分析】将改写成的形式，即可确定它的项数．
【解析】因为题中数列的第项为，而，
所以是题中数列的第23项．故选B．
6．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（理））在数列中，，（，），则（ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】A
【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案．
【解析】，，，
可得数列是以3为周期的周期数列，．故选A．
7．（河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考（9月）数学（文））已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】运用累和法，结合双钩函数的单调性进行求解即可．
【解析】由知：，，…，，
相加得：，，函数在上单调递减，在上单调递增，又，而，且，
故选C.
8．（北京市中关村中学2021届高三十月月考测试）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为
A．7 B．10
C．12 D．22
【答案】A
【解析】由题意知，，，故选A．
9．（安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考数学（理））数列满足：，，若数列的前项和，则最小为（ ）
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据，，令m=1，得到，再利用累加法求得，进而得到，再利用裂项相消法求解．
【解析】因为，，
所以，所以，所以
，所以，
所以，
因为，所以，解得，故选B．
10．（江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第一次大考数学（理））已知数列为等比数列，满足；数列为等差数列，其前项和为，且，则
A．13 B．48
C．78 D．156
【答案】C
【分析】由等比数列的性质可得a7＝6，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和．
【解析】等比数列{an}中，a3a11＝a72，可得a72＝6a7，解得a7＝6，
数列{bn}是等差数列中b7＝a7＝6，根据等差数列的前n项和与等差中项的性质得到：S13＝×13（b1+b13）＝13b7，代入求得结果为：78．故选C．
11．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知数列为等差数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先依据条件计算公差d，再得到，即可得到．
【解析】因为为等差数列，，故，
故，．故选C．
12．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知等差数列中，，则的前项和的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据和判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出的最大值．
【解析】因为，所以，又，所以，
因为为等差数列，所以，所以为单调递减数列，
所以的最大值为，故选B．
【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前项和的最大值，难度一般．求解等差数列前项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明有最大值还是最小值并且求解出对应结果．
13．（湖北省武汉市江岸区2019-2020学年高一下学期期末）已知等差数列的前n项的和为，且，，则（ ）
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，因为等差数列中，，，
所以，解得，则．故选B．
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，考查等差数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14．（福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中）设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为( )
A．1009 B．1010
C．1011 D．1012
【答案】C
【分析】对任意正整数，都有，为数列中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前项和公式，即可得出结论．
【解析】等差数列中，
，
，所以对任意正整数，都有，
则的值为，故选C．
15．（福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中）在正项等比数列中，若依次成等差数列，则的公比为（ ）
A．2 B．
C．3 D．
【答案】A
【分析】由等差中项的性质可得，又为等比数列，所以，化简整理可求出q的值．
【解析】由题意知，又为正项等比数列，所以，且，所以，所以或（舍），故选A．
16．（宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考数学（文））设等差数列{an}的前n项和为Sn，且an≠0，若a5=3a3，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．
【解析】依题意，，又，∴，故选D．
17．（宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考数学（文））等差数列中，其前项和为，满足，，则的值为（ ）
A． B．21
C． D．28
【答案】C
【分析】利用基本量法求解首项与公差，再利用求和公式求解即可．
【解析】设等差数列的公差为，则，解得．
故．故选C．
18．（安徽省六安市霍邱县第二中学2019-2020学年高一下学期段考）如果等差数列中，++=12，那么++…+=（ ）
A．14 B．21
C．28 D．35
【答案】C
【解析】等差数列中，，
则.
19．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）在等差数列中，，，若数列的前项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知条件可得数列的公差和首项以及通项，可求数列的前项和，即可得到，进行比较可得选项．
【解析】在等差数列中，公差，
则，可得，
所以前项和，
，，，
可得，，故选B
20．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）已知等差数列中，，，则的公差为（ ）
A． B．2
C．10 D．13
【答案】B
【分析】设的公差为，由题中条件，可直接得出结果．
【解析】设的公差为，因为，，
所以，解得．故选B．
21．（福建省福清西山学校高中部2021届高三9月月考）设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】化简得到，代入公式计算得到答案．
【解析】，故，
．故选C．
22．（江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2020-2021学年高二上学期第一次调研考试）已知为等差数列，，，则等于（ ）
A．-1 B．1
C．3 D．7
【答案】B
【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．
【解析】为等差数列，，，
，，
，，，
，．故选．
23．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知等差数列中，，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质可得，，再结合诱导公式即可得解．
【解析】∵等差数列中，，
∴，∴，∴，
∴．故选B．
24．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知数列中，前项和，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．- 112
【答案】C
【分析】由，而，从而可求出的最小值
【解析】，因为，二次项系数为正数，
所以或时，取最小值为，故选C.
25．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．与是的最大值
C． D．
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，根据，，可得，，．即可得出结论．
【解析】设等差数列的公差为，，
，，．
，，，与是的最大值．因此A，B，D正确．
对于C．，可得，因此不正确．故选C．
26．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高一（下）期中）在等差数列中，，则此数列前项的和是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由等差数列的性质可得：，，
代入已知可得，即，
故数列的前项之和．故选．
【点睛】等差数列的常用性质有：(1)通项公式的推广： (2)若 为等差数列，且 ；(3)若是等差数列，公差为，，则是公差 的等差数列；(4)数列也是等差数列．
27．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由条件可得，即可求出．
【解析】因为，所以，
所以，即，又，故，故选A.
28．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知等比数列中，若且，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【分析】由等比数列的性质结合，可得的值，代入可得公比，进而可得结果．
【解析】根据题意，设等比数列的公比为，若，
则有，解得，由，即，
则有，解可得或，又由，则，
则，故选B．
29．（新疆哈密市第十五中学2021届高三上学期第一次质量检测）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【分析】利用方程思想列关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求的值．
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
30．（云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考）一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）
A．63 B．108
C．75 D．83
【答案】A
【解析】因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故选A．
31．（云南省石林彝族自治县民族中学2019-2020学年高一6月月考）在等比数列中，，，，则项数为 （ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知，解得，故选C．
32．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3=4，a4＋a5＋a6=8，则S12=
A．40 B．60
C．32 D．50
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4，8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．
33．（江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2020-2021学年高二上学期第一次调研）已知等比数列满足，且，则当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为为等比数列，所以，．故选C．
34．（江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2020-2021学年高二上学期第一次调研考试）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
A． B．7
C．6 D．
【答案】A
【解析】由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝
故答案为
35．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）某同学让一弹性球从128米高处下落，每次着地后又跳回原来高度的一半再落下，则第8次着地时球所运动的路程的和为（ ）
A．382m B．510m
C．245m D．638m
【答案】A
【分析】记第次落地到第次落地之间球运动的路程为，则是首项米，公比为的等比数列，然后利用等比数列的求和公式计算可得答案．
【解析】记第次落地到第次落地之间球运动的路程为，则是首项米，公比为的等比数列，所以第8次着地时球所运动的路程的和为米．故选A．
36．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知等比数列满足，则（ ）
A．64 B．81
C．128 D．243
【答案】A
【解析】∵，∴，∴，∴．
37．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如果是和的等比中项，则函数的图像与轴交点个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．0或2
【答案】A
【分析】根据是和的等比中项，得到，且，然后表示出此二次函数的根的判别式，判断出根的判别式的符号即可得到二次函数与轴交点的个数．
【解析】由是和的等比中项，得到，且，
令，则，
所以函数的图象与轴的交点个数是0．故选A．
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，灵活运用根的判别式的符号判断二次函数与轴的交点个数，属于基础题．
38．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）正项等比数列满足，则（ ）
A．-4 B．4
C． D．8
【答案】B
【分析】化简得到，得到答案．
【解析】，又正项等比数列，
故．故选．
39．（福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由已知数列递推公式可得，得到是以1为首项，以2为公比的等比数列，求出该等比数列的通项公式，即能求得．
【解析】∵，∴，①
当时，，②
①－②有，化简得，
另外，n=1时，故，也符合上式，
故是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴，故．故选A．
40．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）函数的正数零点从小到大构成数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将函数化简为，再解函数零点得或，，再求即可．
【解析】∵
∴ 令得：或，，
∴或，，
∴ 正数零点从小到大构成数列为： ，故选B．
二、多选题
41．（河北省邯郸市2021届高三上学期摸底）已知数列满足：，当时，，则关于数列说法正确的是（ ）
A． B．数列为递增数列
C．数列为周期数列 D．
【答案】ABD
【解析】得，∴，
即数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴，∴，得，
由二次函数的性质得数列为递增数列，所以易知ABD正确，故选ABD．
42．（江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试）若数列满足，，则数列中的项的值可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用数列满足的递推关系及，依次取代入计算，能得到数列是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果．
【解析】数列满足，，依次取代入计算得，，，，，因此继续下去会循环，数列是周期为4的周期数列，所有可能取值为：．故选ABC．
43．（广东省佛山市第一中学2019-2020学年高一下学期6月联考）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题中递推公式，求出，，数列的前项和，数列的奇数项和，与选项对比即可．
【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足，
所以，，
，
类似的有，，
累加得，
由题知，故A正确，
对于B选项，因为，，，类似的有，
累加得，故B正确，
对于C选项，因为，，，类似的有，
累加得，故C错误，
对于D选项，可知扇形面积，故，
故选项D正确，故选ABD．
44．（广东省仲元中学、中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AD
【分析】利用等比数列，得数列为等差数列，用等差数列的性质得出和的大小关系.
【解析】因为等比数列的公比为，由得，所以数列为等差数列，公差为，由于，，则且，得，，
由 ，得，，若，则，而，则，则，，此时 不成立，所以，所以，所以A正确；
由，，得，又，所以数列为递减数列，从第10项开始小于零，故前9项和最大，即可的最大值为，所以D正确，
因为，所以，所以B不正确，
因为，，所以数列各项均为正数，所以没有最大值，所以C不正确，
故选AD.
45．（福建省福州第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】先分析公比取值范围，即可判断A，再根据等比数列性质判断B，最后根据项的性质判断C，D．
【解析】若，则与矛盾；若，则与矛盾；因此，所以A正确；
，因此，即B正确；
因为，所以单调递增，即的最大值不为，C错误；
因为当时，，当时，，所以的最大值为，即D正确；故选ABD
46．（福建省厦门市2019-2020学年高一下学期期末考试）已知数列满足，，则下列各数是的项的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．
【解析】因为数列满足，，
；；；
数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；故选．
【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．
47．（江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高一下学期期末）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
【答案】BCD
【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，，由数列的裂项相消求和可得．
【解析】由即为，
可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，又，可得，故错误，，，正确．故选BCD．
48．（湖北省武汉市江岸区2019-2020学年高一下学期期末）设等差数列的前n项和是，已知，，正确的选项有（ ）
A．， B．
C．与均为的最大值 D．
【答案】ABD
【解析】根据题意，等差数列的前n项和是，且，，
则，即，
，即，则；
故等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，则，．
则有为的最大值．故A，B，D正确；故选ABD．
49．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题中正确的有（ ）
A．若，则；
B．若，则使的最大的n为15
C．若，，则中最大
D．若，则
【答案】BC
【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案．
【解析】A选项，若，则，
那么．故A不正确；
B选项，若，则，
又，所以前8项为正，从第9项开始为负，
因为，所以使的最大的为15．故B正确；
C选项，若，，
则，，则中最大．故C正确；
D选项，若，则，而，不能判断正负情况．故D不正确．
故选BC．
50．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
【答案】BCD
【解析】对于A选项，取，
则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；
对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；
对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，
则，
由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，
则对任意的恒成立，则，得，
此时，数列为常数列，D选项正确．故选BCD．
51．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（ ）
A．（，为常数，） B．（为常数，）
C． D．的前项和（）
【答案】AC
【解析】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B选项中（为常数，），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C选项中，对于数列符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D选项的前项和（），不符合，所以不为等差数列．故错误．
故选AC
52．（江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2020-2021学年高二上学期第一次调研考试）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（ ）
A．若S5＝S9，则必有S14＝0 B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项
C．若S6＞S7，则必有S7＞S8 D．若S6＞S7，则必有S5＞S6
【答案】ABC
【分析】对于A，转化S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9，可得a7+a8＝0，利用前n项和公式，即可判断；
对于B，S9﹣S5＝2（a7+a8）＝0，结合a1＞0，分析即可判断；
对于C，由a7＝S7﹣S6＜0，a8＝S8﹣S7＜0，即可判断；
对于C，由a7＝S7﹣S6＜0，a6的符号无法确定，即可判断．
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，则a7+a8＝0，S140，A正确；
对于B，若S5＝S9，必有S9﹣S5＝a6+a7+a8+a9＝2（a7+a8）＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确；
对于C，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8﹣S7＜0，必有S7＞S8，C正确；
对于D，若S6＞S7，则a7＝S7﹣S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误；故选ABC
53．（江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2020-2021学年高二上学期第一次调研考试）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（　　）
A．a6＞0 B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13 D．数列中最小项为第7项
【答案】ABCD
【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0时，n的最小值为13．数列中，n≤6时，＞0．7≤n≤12时，＜0．n≥13时，＞0．进而判断出D是否正确．
【解析】∵S12＞0，a7＜0，∴＞0，a1+6d＜0．
∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，
又∵a3＝a1+2d＝12，∴＜d＜﹣3．a1＞0．S13＝＝13a7＜0．
∴Sn＜0时，n的最小值为13．
数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．
对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，
但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．
∴n＝7时，取得最小值．综上可得：ABCD都正确．故选ABCD．
54．（江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．与均为的最大值
【答案】ABD
【分析】由是等差数列，是其前项的和，且，，则，，，，再代入逐一检验即可得解．
【解析】由是等差数列，是其前项的和，且，，
则，，，，
则数列为递减数列，即选项A，B正确，
由，即，即选项C错误，
由，可得与均为的最大值，即选项D正确， 故选ABD．
55．（江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期学情分析（一））设等差数列的前项和为．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用等差数列的通项公式和求和公式可求得和．
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，
，
．故选AC．
【点睛】本题考查的等差数列的通项公式和前项和公式，一般要求出等差数列的首项和公差，考查运算求解能力，属于基础题．
56．（湖南省长沙市麓山国际实验学校2020-2021学年高三上学期第一次月考）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A．，，依次成等差数列 B．，，依次成等差数列
C．，，依次成等差数列 D．，，依次成等差数列
【答案】ABD
【解析】中，内角所对的边分别为，若，，依次成等差数列，则：，由得：，
利用正弦和余弦定理得，即，
即依次成等差数列．此时对等差数列的每一项取相同的运算得到数列，，或，，或，，，这些数列一般都不可能是等差数列，除非，但题目没有说是等边三角形，故选ABD．
57．（江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期学情分析（一））数列的前项和为，若，，则有（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据的关系，求得，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择．
【解析】由题意，数列的前项和满足，
当时，，两式相减，可得，
可得，即，又由，当时，，
所以，所以数列的通项公式为；
当时，，又由时，，适合上式，
所以数列的的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，综上可得选项是正确的．故选ABD．
58．（广东省广东实验中学2019-2020学年高一下学期期中）在公比q为整数的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】因为数列为等比数列，又，所以，又，
所以或，又公比q为整数，则，即，
， 对于选项A，由上可得，即选项A正确；
对于选项B，，，则数列是等比数列，即选项B正确；对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即数列是公差为1的等差数列，即选项D错误，即说法正确的是ABC，故答案为ABC．
59．（江苏省宿迁市沭阳县修远中学2020-2021学年高二上学期9月月考）若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【答案】AC
【解析】因为为数列的前项和，且，所以，
因此，当时，，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
因此，故A正确；
又，所以，故B错误；
因为，所以数列不是等比数列，故D错误．故选AC．
60．（江苏省苏州市2020-2021学年高三上学期9月期初调研）数列为等比数列（ ）．
A．为等比数列
B．为等比数列
C．为等比数列
D．不为等比数列（为数列的前项）
【答案】BCD
【解析】设的公比为，
A． 设，则，显然不是等比数列．
B． ，所以为等比数列．
C． ，所以为等比数列．
D． 当时，，显然不是等比数列；
当时，若为等比数列，则，
即，所以，与矛盾，
综上，不是等比数列．故选BCD．
61．（江苏省扬州市江都区邵伯高级中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测试）记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先求得，然后求得，进而求得，由此求得，进而判断出正确选项．
【解析】由得，则．设等比数列的公比为，由，得，即，解得或．又数列单调递增，所以，所以，解得．所以，，所以．故选BC
62．（广东省深圳市宝安区2021届高三上学期期末调研（9月开学考试））已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由条件可得，解出，然后依次计算验证每个选项即可．
【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；
，选项B正确；，所以，选项C错误；，而，选项D正确．故选ABD
63．（广东省佛山市南海区2019-2020学年高一下学期期末）已知数列满足，，，是数列的前n项和，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】因为数列满足，，，所以，
两式相减得：，所以奇数项为1，3，5，7，…．的等差数列；
偶数项为2，4，6，8，10，…．的等差数列；所以数列 的通项公式是，
A． 令时， ，而 ，故错误；
B． 令时， ，而 ，故错误；
C． 当时， ，而 ，成立，当时，，因为，所以，所以，故正确；
D． 因为，
令，
因为，所以得到递增，所以，故正确；故选CD.
64．（山东省泰安第二中学2020届高三11月月考）已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】时，，数列不一定是等比数列，
时，，数列不一定是等比数列，
由等比数列的定义知和都是等比数列．故选AD．
三、填空题
65．（江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期学情分析（一））已知数列中，，，则__________．
【答案】
【分析】由已知递推关系变形凑出一个等差数列的形式，然后利用等差数列通项公式求解．
【解析】∵，∴，∴数列是等差数列，公差为，又，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，考查等差数列的通项公式．解题关键是构造一个新数列是等差数列．
66．（安徽省六安中学2020-2021学年高三上学期开学考试数学（理））设是等比数列，公比不为1．已知，且成等差数列，则数列前项和=__________．
【答案】
【分析】由成等差数列，可得，即，可求出，进而利用等比数列的求和公式，求出即可．
【解析】由题意，，即，因为，所以，解得或（舍去），所以，则．
故答案为：．
67．（江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第一次大考数学（理））已知数列满足，，则__________．
【答案】
【解析】依题意数列满足，，所以，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以．故答案为：
68．（贵州省思南中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知数列中，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以且，
所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，故答案为：．
【点睛】本题考查利用递推公式构造等比数列求解数列通项公式，难度一般．满足的数列可以通过构造等比数列求解出其通项公式．
69．（福建省莆田一中2019-2020学年高一（下）期中）设数列的前项和为，若，且，则__________．
【答案】
【分析】用，代入已知等式，得，变形可得，说明是等差数列，求其通项公式，可得的值．
【解析】，，
整理可得，则，即，
所以是以为公差的等差数列，又，
，则．
故答案为：．
70．（宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若数列满足，若，则 的值为__________．
【答案】
【解析】因为数列中，满足，
所以，，
，，
所以数列是以3为周期的周期数列，所以，故答案为：
71．（河南省豫西名校2020-2021学年高二10月联考）已知数列满足：，数列的前n项和为，则__________．
【答案】
【分析】由得，两式相减化为，则，由裂项相消法可得，然后利用累乘法可得结果．
【解析】，，
，，
，，
，故答案为．
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
72．（新力量联盟2019-2020学年第二学期期中联考高一）已知数列的前项和为，，且对任意的，都有．则__________．
【答案】1306
【分析】根据可得，则可分组求和后由等差数列求和公式求出，再求出即可．
【解析】，，

，

， ．故答案为：1306．
73．（天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试（一）理科试题）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第次得到数列1，，，…，，4，并记，其中，．则的通项__________．
【答案】
【分析】先由，结合题意得到，再设求出，得到数列是首项为，公比为的等比数列，进而可求出结果．
【解析】由题意，根据，可得

，
设，即，可得，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
故，所以．故答案为：．
74．（江西省南昌市2021届高三摸底测试数学（理））无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．已知为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，，，则__________．
【答案】7576
【解析】∵成等比数列，，∴，
又，为“和谐递进数列”，∴，，，，…，
∴数列是周期数列，周期为4．∴．故答案为7576．
75．（江西省上饶市横峰中学（统招班）2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理））在数列中，，，则__________．
【答案】
【分析】由已知得：当时，，与原式相减得，即，递推可得答案．
【解析】由题意得：当时，，所以，即，也即是，
所以，所以，故答案为：．
76．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__________项．
【答案】13
【解析】先根据题意求出a1+an的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．根据题意可知解：依题意 =34， =146，∴ =34+146=180，又∵=∴、= =60，∴Sn= ∴n=13，故填写13．
77．（江苏省盐城市伍佑中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试）若数列满足，，则使的值为__________．
【答案】23
【分析】根据数列满足，，得到数列是等差数列，进而求得通项公式，然后由求解．
【解析】因为数列满足，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，
因为，且数列是递减数列，所以，解得，
因为，所以，故答案为：23．
78．（新疆哈密市第十五中学2021届高三上学期第一次质量检测）对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【分析】计算，得到，，根据题意，，计算得到答案．
【解析】由题意，当时，，
由，可得，
两式相减可得，
整理得，
由于，则数列的通项公式为，则，
由于对任意的恒成立，则且，，
解得．故答案为：．
【点睛】本题考查了数列的新定义，求数列的通项公式，求和公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用．
79．（湖北省武汉市江岸区2019-2020学年高一下学期期末）在等比数列中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式__________．
【答案】
【解析】因为公比q=4，且前3项之和等于21，所以，
该数列的通项公式为，故答案为
80．（宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考数学（文））设为等比数列，其中，则__________．
【答案】25
【解析】由等比数列性质可得，所以.
故答案为25
81．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）数列中为的前n项和，若，则__________．
【答案】6
【解析】由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得．
82．（江西省信丰中学2020届高三上学期第三次月考数学（文））若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．
【答案】50
【解析】由题意可得，=，填50．
83．（甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S4=__________．
【答案】
【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【解析】设等比数列的公比为，由已知，即，解得，所以．
【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
【一题多解】本题在求得数列的公比后，利用，可避免繁分式计算．
四、双空题
84．（浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期起始考试）已知等差数列的前3项依次是，则__________；通项公式__________．
【答案】1
【解析】因为构成等差数列，所以，解得．
因为，，所以．故答案为：；
85．（广东省佛山市南海区2021届高三上学期8月摸底）等比数列中，，，，则__________，__________．
【答案】
【解析】在等比数列中，因为，，所以，，，
，，，
故答案为：；．
86．（浙江省山水联盟2020-2021学年高二上学期开学考试）已知等比数列的公比为q(q>0)，前n项和为．若，则__________，q=__________．
【答案】
【解析】若，则，无解，故．
当且时，，解得．故答案为：；
87．（江西省南昌市2021届高三摸底测试数学（文））无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且，，，，则__________；__________．
【答案】1 4714
【分析】根据条件求出数列的前几项，得到数列为周期数列，从而得到答案．
【解析】数列满足：只要，必有，
由，，，则，所以，，
，，又，可得，
即，，，，，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
所以.故答案为：1 ；4714
88．（福建省福州第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试）已知数列的前项和为，，，则__________；__________．
【答案】
【分析】根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义与通项公式求，即得结果，最后根据条件直接求
【解析】，
所以，，
故答案为：，.
89．（浙江省浙考交流联盟2020-2021学年高三上学期8月线上考试）古代的商人在堆放物品时，为了节约空间，常把物品垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成三角形的就叫做“三角垛”．在一个“三角垛”中，自上而下的第一层摆放1个，第二层摆放个，第三层摆放个，以此类推．13世纪，我国数学家杨辉在《详解九章算法》中介绍了计算“三角垛”物体总个数的方法：记“三角垛”的层数为，“三角垛”的物体总数为，则．由上述材料可知层数为9的“三角垛”的第四层物体数为__________，物体总数为__________．
【答案】
【分析】由题意即为第四层物体数；再由，代入运算即可得物体总数．
【解析】由题意该“三角垛”的第四层物体数为，
物体总数为．故答案为：；．
90．（江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高二上学期9月月考）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是__________，九节总容量是__________．
【答案】
【分析】由题分析设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，进而求得等差数列基本量，最后带入前n项和求和公式求得九节总容量．
【解析】设由下到上九节容量分别记为，则成等差数列，设公差为，且，，即，，所以，，故
故答案为：；.
91．（新力量联盟2019-2020学年第二学期期中联考高一）等差数列，，且是与的等比中项，则__________；__________．
【答案】
【解析】由且是与的等比中项，可得，
解得，所以，所以，
故
，故答案为：；
92．（浙江省名校协作体2020-2021学年高三上学期开学考试）已知等比数列的前n项和，，则__________，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数的取值范围为__________．
【答案】1
【分析】根据等比数列的性质，结合，有，即可求值，进而有即，结合对恒成立求的范围即可；
【解析】由，而，，
∴，即；由上知：，则，
∴，即，所以；故答案为：1，；
93．（吉林省长春市普通高中2021届高三一模数学文科）已知是数列的前项和，满足，则__________；数列的前项和__________．
【答案】
【分析】利用数列的通项与前n项和的关系，由，求得，然后由，再利用裂项相消法求解．
【解析】因为，当时，，
又适合上式，所以， 所以，
故的前项和．
故答案为：；．
94．（浙江省名校协作体2020-2021学年高二上学期开学考试）已知数列中，，，则__________；设数列的前项的和为，则=__________．
【答案】
【分析】根据题中条件，得到，，则列的奇数项和偶数项分别成以为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式，即可得出结果．
【解析】因为，，所以，，则；
即数列的奇数项和偶数项分别成以为公比的等比数列，
则当为奇数时，；当为偶数时，；
因此；则

．故答案为：；．
95．（湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考理科）记为等比数列的前n项和，且，，则公比__________，__________．
【答案】2 126
【解析】因为等比数列，所以，，
解得，所以．