专题08 直线和圆的方程（解答题）（11月）（人教A版2019）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题08 直线和圆的方程（解答题）
1．直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且．
（1）若，求的值；
（2）当时，求直线的斜率的取值范围．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据平面向量的坐标表示与数量积运算，列出方程即可求出的值；（2）根据题意求出与的斜率，写出斜率的取值范围，即可求出倾斜角的取值范围.
【解析】（1）由题意可得，，
，所以，
因为，则，所以，
解得；
（2）由，，可得点在线段上，由题中、、点坐标，
可得经过、两点的直线的斜率，经过、两点的直线的斜率，
则由图像可知，直线的斜率的取值范围为或．

2．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，
（1）求顶点的坐标；
（2）求的面积．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，因为直线与直线垂直，且点在直线上，
所以，解得，故．
（2）设由题知：，所以，解得，即．，直线，即：．
，
点到直线的距离，所以．
3．如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形的长为3，宽为2，边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合．将矩形折叠，使点落在线段上，已知折痕所在直线的斜率为．

（1）求折痕所在的直线方程；
（2）若点为的中点，求的面积．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设折痕所在的直线方程为，点落在线段上的对称点为，其中，由折痕垂直平分可列出关于和的方程组，解之即可；（2）由两点间距离公式求得的长，由点到直线的距离公式求得点到折痕的距离为，的面积，从而得解．
【解析】（1）设折痕所在的直线方程为，点落在线段上的对称点为，其中，则的中点的坐标为，，
，解得，折痕所在的直线方程为．
（2）由（1）知，折痕所在的直线方程为，
，，，，
为的中点，点，点到折痕的距离为，
的面积．
4．已知圆C过点，，它与x轴的交点为，，与y轴的交点为，，且．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若，直线，从点A发出的一条光线经直线l反射后与圆C有交点，求反射光线所在的直线的斜率的取值范围．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设圆C的一般式方程为，然后根据题意列出方程，解出D，E，F的值即可得到圆的方程；（2）先求出点关于直线l的对称点，设反射光线所在直线方程为，利用直线和圆的位置关系列出不等式解出k的取值范围即可．
【解析】（1）设圆C的一般式方程为，
令，得，所以，
令，得，所以，
所以有，所以，①
又圆C过点，，所以，②，③，由①②③得，，，
所以圆C的一般式方程为，标准方程为；
（2）设关于的对称点，
所以有 ，解之得，故点，
所以反射光线所在直线过点，设反射光线所在直线方程为，
所以有，所以反射光线所在的直线斜率取值范围为．
5．已知圆圆心为坐标原点，半径为，直线：交轴负半轴于点，交轴正半轴于点
（1）求
（2）设圆与轴的两交点是，，若从发出的光线经上的点反射后过点，求光线从射出经反射到经过的路程；

（3）点是轴负半轴上一点，从点发出的光线经反射后与圆相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点的坐标.

【试题来源】北京市清华附中2019-2020学年高一新生分班考试
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）直线：交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，
则，
由题，，所以，所以；
（2）如图（1）由对称性可知，点关于的对称点在过点且倾斜角为60°的直线上，在中，，，，
所以为直角三角形，．
所以光线从射出经反射到经过的路程为；

图（1） 图（2）
（3）如图（2）由对称性可知，点关于的对称点在过点且倾斜角为60°的直线上，所以路程最短即为上点到切点的切线长最短．连接，，在中，只要最短，
由几何知识可知，应为过原点且与垂直的直线与的交点，
这一点又与点关于对称，所以，故点的坐标为
6．一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射后与轴交于点．
（1）求反射光线所在直线的方程；
（2）求点关于直线的对称点的坐标．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用点关于线的对称，求出对称的点的坐标，再利用反射定理，求出直线的方程；（2）首先设出点，之后利用对称的关系，列出等量关系式，求得结果．
【解析】（1）作点关于轴的对称点的坐标，
则反射光线所在的直线过点和，
所以，所以直线的直线方程为．
所以反射光线的的直线方程为；．
（2）设，根据点和关于直线对称，
则有，解得，
点关于直线的对称点的坐标为．
7．已知直线：．
（1）证明：直线过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（3）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】（1）证明见解析；（2）（3）的最小值为4；直线方程为
【分析】（1）将直线方程整理变形，可得，即可证明过定点．（2）将直线方程化为斜截式，由不过第四象限可得关于的不等式组，即可求得的取值范围．（3）先求得直线与轴的交点，根据交点分别在轴负半轴和轴正半轴，可得关于的不等式组，即可求得的取值范围．表示出的面积，结合基本不等式即可求得最小值，并求得取最小值时的，即可得直线方程．
【解析】（1）证明：直线：，变形可得，
因为，所以，解得，所以直线过定点.
（2）将直线方程变形可得，
因为直线不经过第四象限，则，解得，所以的取值范围为，
（3）直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，
分别令代入可得，
由，解得，，
由基本不等式可得，
当且仅当时取等号，因为，即时取等号，
此时直线方程为，化简可得，
综上可知的最小值为4，直线方程为.
【名师点睛】本题考查了直线过定点问题，根据直线所过象限求参数的取值范围，直线与坐标轴围成三角形的面积最值问题，基本不等式求最值的应用，属于中档题．
8．已知直线与．
（1）若、两点分别在直线、上运动，求的中点到原点的最短距离；
（2）若，直线过点，且被直线、截得的线段长为，求直线的方程．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）的中点的运动轨迹为与、平行且在它们中间的直线得其斜率，再求两直线在y轴中点的坐标可得答案．（2）设的直线方程，分别于、联立，解得交点坐标，再利用两点之间的距离公式可得斜率，然后根据点斜式方程求得答案．
【解析】（1）因为、两点分别在直线、上运动，所以的中点的轨迹为与、平行且在它们中间的直线，设其方程为，
、与y轴的交点分别为、，两点的中点为，
且中点在直线，所以，所以，
的中点到原点的最短距离即为原点到直线的距离，为．
（2）过点且与x轴垂直的直线方程为，
与、的交点为和，两点之间的距离为不符合题意，
所以设的斜率为，直线方程为，
由直线与 即，交点为为，
由直线与 即，交点为
所以两交点之间的距离为，
解得，或，所求直线方程为，或，
即或．
9．已知圆．
（1）若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
【试题来源】浙江省丽水市五校共同体2020-2021学年高二上学期10月阶段性考试
【答案】（1）或；（2）最大值2，直线的方程为或．
【分析】（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况；（2）圆心到直线的距离为，然后利用的面积求得最值得到及k，求得答案．
【解析】（1）圆的圆心坐标为，半径，
直线被圆截得的弦长为，由勾股定理得到圆心到直线的距离
①当直线的斜率不存在时，，显然满足；
②当直线的斜率存在时，设，即，
由圆心到直线的距离得：，解得，故；
综上所述，直线的方程为或
（2）直线与圆相交，的斜率一定存在且不为0，设直线方程：，
即，则圆心到直线的距离为，
又的面积
当时，取最大值2，由，得或，
直线的方程为或．
10．（1）已知直线l过点，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，求直线l的一般式方程；
（2）已知直线l过点且与x轴，y轴的正半轴相交于A，B两点，求面积最小值及这时直线l的一般式方程；
（3）已知直线l经过点，且与第一象限的平分线，y轴（原点除外）分别交于A，B两点，直线l，射线，y轴围成的三角形的面积为12，则符合要求的直线共有几条，请说明理由．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】（1）或；（2）面积最小值为12，直线l的一般式方程；（3）符合条件的直线只有一条．
【分析】（1）先设直线截距式方程，再将点代入，结合条件，即得结果；（2）先设直线截距式方程，再将点代入，利用基本不等式求最值，即得面积最值和对应方程；（3）先设交点，利用面积和斜率列关系，计算参数，即得结果．
【解析】（1）设直线l的方程为，把点代入可得，
又因为，解得，或，
故直线l的方程为或，
直线l的一般式方程或；
（2）设，则直线l方程为，把点代入可得，所以，得当且仅当时等号成立，
即时，又，故最小值为12，此时直线l的方程为，即直线l的一般式方程．
（3）依题意，设，则，面积为，
易见，直线l斜率存在，三点都在线上，则，即，化简得，联立方程得，，两根之积，故只有一正解，即符合条件的直线只有一条．
11．设集合{直线l与直线相交，且以交点的横坐标为斜率}．
（1）是否存在直线使，且过点，若存在，请写出的方程；若不存在，请说明理由；
（2）点与集合L中的哪一条直线的距离最小？
（3）设，点与集合L中的直线的距离最小值为，求的解析式．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】（1）不存在；（2）点与集合L中的直线和的距离最小；（3）．
【分析】（1）先设直线，联立方程得交点横坐标，与斜率相等，解参数即可；（2）先设直线，联立方程得交点横坐标，与斜率相等，解参数得关系，再计算距离，研究何时最小即可；（3）先设直线，联立方程得交点横坐标，与斜率相等，解参数得关系，再计算距离，研究最值．
【解析】（1）假设存在直线使，且过点，设的方程：，
联立 得，则，化简得，
此方程无解，故不存在直线符合题意；
（2）设直线方程：，联立得，则，
化简得，故点到直线的距离为
，当且仅当时取等号．
当时，，直线方程为，
当时，，直线方程为，
故点与集合L中的直线和的距离最小；
（3）设直线l方程：，联立得，则，
化简得，故点到直线l的距离为
，
当时，，当且仅当时取等号，当时，令，则在递增，故时，即时d最小值为a．
综上，．
【名师点睛】本题考查了直线的综合应用，考查了函数最值和基本不等式，属于中档题．
12．已知直线和点，
（1）直线l上是否存在点C，使得为直角三角形，若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）在直线l上找一点P，使得最大，求出P点的坐标．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】（1） 存在，；（2） P．
【分析】（1）先计算线段长，再设点，对斜边分类讨论计算a值即可；（2）过A，B的圆与直线l相切于P时，最大，再利用圆的性质计算即可．
【解析】（1） 点，故，若直线l上存在点C，使得为直角三角形，设，则讨论以下三种情况：
①若AB是斜边，则，即，
，则，方程无解；
②若AC是斜边，则，即，
，符合题意，此时；
③若BC是斜边，则，即，
；
综上，若直线l上存在点，使得为直角三角形，AC是斜边；
（2）根据题意，过A，B的圆与直线l相切于P时，最大．
因为，，所以延长线与直线l相交于点，
根据圆的性质，而，
故切点P的坐标为，此时最大，为．
13．已知过点的直线与直线垂直．
（1） 若，且点在函数的图象上，求直线的一般式方程；
（2）若点在直线上，判断直线是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析
【解析】（1）点在函数的图象上，，即点
由，得，即直线的斜率为，
又直线与直线垂直，则直线的斜率满足：，即，
所以直线的方程为，一般式方程为．
（2）点在直线上，所以，即，
代入中，整理得，
由，解得，故必经过定点，坐标为．
14．已知直线，的交点为，求
（1）过点且与直线平行的直线的方程；
（2）以点为圆心，且与直线相交所得弦长为的圆的方程．
【试题来源】安徽省滁州市定远县民族中学2020-2021学年高二上学期10月月考（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求出点P的坐标，然后由直线平行可得出所求直线的斜率，最后由直线的点斜式方程写出所求直线方程即可；（2）先求出圆心P到直线的距离，然后由半弦长、弦心距和半径的关系建立方程求出半径，最后写出圆的标准方程即可．
【解析】（1）由题意得，直线与直线平行，，
直线的方程为即；
（2）由（1）得圆心，圆心到直线的距离，
半径，即，
圆的方程为．
15．（1）一条直线经过，并且它的斜率是直线斜率的倍，求这条直线方程；
（2）求经过两条直线和交点，且平行于直线的直线方程.
【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据斜率和点的坐标得到直线的点斜式方程，再化简为一般式方程即可；（2）先求出两直线的交点坐标，然后根据平行关系设出直线方程，再代入交点坐标即可完成求解．
【解析】（1）因为直线的斜率为，且过点，
所以直线的方程为，即；
（2）因为，所以，所以交点坐标为，
因为直线平行于，所以设直线方程为，
代入交点坐标可得：，所以，所以直线的方程为．
16．求圆心在直线上，与轴相切，被直线截得的弦长2的圆的方程.
【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】或
【分析】设圆心，由题意可得半径，求出圆心到直线的距离，再由，解得的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程．
【解析】由已知设圆心为， 与轴相切则 ，
圆心到直线的距离， 弦长为得： ，解得 ，
圆心为或， ，圆的方程为或．
17．（1）求圆的切线方程，使得它经过点
（2）圆的切线在轴上截距相等，求切线方程
【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）或或．
【分析】（1）因为点在圆上，由直线的斜率，则所求直线的斜率，根据点斜式即可得解；（2）根据题意，分切线过原点和不过原点进行讨论，即可得解．
【解析】（1）因为点满足圆的方程，
所以在圆上，则直线的斜率，
根据圆的切线的性质可得所求直线的斜率，
所以经过M的直线方程为，整理可得；
（2）由题意可得，当截距全为0时，即直线过原点，可设直线方程为，
则圆心到直线的距离，
即，解得，此时直线方程为，
当截距相等且不为0时，可设直线方程为，
则圆心到直线的距离，即，解得或，
此时切线方程为或，
综上可得切线方程为或或．
18．已知圆心在直线上的圆C与y交于两点，
（1）求圆C的标准方程
（2）求圆C上的点到直线距离的最大值和最小值
【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．
【解析】（1）由题意，圆心在直线上，
联立，解得，则圆心坐标为，
则圆的半径．则圆的方程为；
（2）圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则圆上的点到直线的距离最大值为，
最小值为．
19．求圆与圆的公共弦长．
【试题来源】河北省艺术职业中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程，计算出到公共弦的距离为，进而得公共弦长为．
【解析】因为圆与圆
两式相减得，公共弦所在直线的方程，
圆心，半径，
所以圆心到公共弦的距离为，
所以公共弦长为．
20．已知圆．
（1）求圆的圆心的坐标和半径长；
（2）若直线与圆相交于两点，求的长；
【试题来源】湖南省岳阳一中2019-2020学年高一下学期统考模拟
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由得，
所以圆心为，半径为，
（2）圆心在直线上，所以即为圆的直径，所以的长为．
21．已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上
（1）求圆的方程；
（2）若圆与圆：相交于、两点，求两圆的公共弦的长．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用两点式求出直线的方程，再根据圆心在上求出圆心即可求解．
（2）将与作差求出公共弦所在的直线方程，求出圆的圆心到直线的距离，再根据几何法求圆的公共弦长即可．
【解析】（1）经过点与点的直线的方程为
，即，由题意可得，圆心在直线上，
联立，解得圆心坐标为，
故圆的半径为，则圆的方程为．
（2）圆的方程为，即，
圆：，
两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为，
圆的圆心到直线的距离，
两圆的公共弦的长为.
22．已知圆过点，且圆心在直线，圆．
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆与圆的公共弦长；
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）（1）设圆心C1（a，1），则，
解得a＝0，此时圆的半径为r1，所以圆C1的方程为x2+（y﹣1）2＝5，
（2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即（x2+y2﹣4x+2y）﹣（x2+y2﹣2y﹣4）＝0，化简得x﹣y﹣1＝0，
所以圆C1的圆心（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离为d，
则d2＝5﹣2＝3，解得|AB|＝2，所以所求公共弦长为．
23．已知圆的圆心在轴上，且经过点．
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（理）
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）设的中点为，则，
由圆的性质得，所以，得，
所以线段的垂直平分线方程是，
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，所以圆的标准方程为；
（2）由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；故直线的方程为，即；
综上直线的方程为或．
24．已知点（）在圆C：上．
（1）求P点的坐标；
（2）求过P点的圆C的切线方程．
【试题来源】2020年安徽省普通高中学业水平考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）将点P代入圆的方程即得参数a的值；
（2）先根据圆的切线的性质求得切线的斜率，再利用点斜式写切线方程即可．
【解析】（1） P点在圆上，将代入圆的得，
解得，因为，；
（2） ，，，垂直切线，切线斜率，
故切线方程为，即．
25．已知直线，的方程分别为，，且，的交点为．
（1）求点坐标；
（2）若直线过点，且与，轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的方程．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（文）
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）联立方程组即可求解；（2）利用点斜式设出直线方程表示出直线与坐标轴的交点后即可得解．
【解析】（1）由解得，所以点坐标为．
（2）①当过点的直线与坐标轴平行时，不合题意；
②当过点的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为，
当时，；当时，；故：
，由，，解得或
故所求的直线方程为或，
即或；综上，所求直线方程为或
26．圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）圆内有一点，求以该点为中点的弦所在的直线的方程．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）圆心在直线上，设圆心，半径为，
则圆的方程为，
圆过，，
又 圆和直线相切，，解得，，
圆的方程为．
（2）点为弦的中点，由垂径定理得：，由（1）知点，
，，
即，
以点为中点的弦的方程为．
27．中，，边上的高线方程为，边上的中线方程为，求边所在的直线方程.
【试题来源】湖北省武汉市钢城第四中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】，，
【分析】先求出边上的高线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为-1，求出直线的斜率后可写出直线的方程；把直线与边上的中线方程联立求出交点的坐标，然后设出的中点和的坐标，根据中点坐标公式列出方程组，求出解即可得到的坐标，利用两点坐标写出直线的方程；由和的坐标写出直线的方程即可．
【解析】直线的斜率为2，所以边所在的直线方程为，
由 可得直线与边中线的方程交点为．
设边中点，
因为为的中点，由中点坐标公式得，
边所在的直线方程为，边所在的直线方程为．
【名师点睛】本题考查直线的方程的求法以及中点坐标公式，此类问题注意分析直线方程的已知量和未知量，从而选择合适的计算方法，本题属于中档题．
28．根据下列条件求直线方程：
（1）已知直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1；
（2）已知直线过两直线和的交点，且垂直于直线．
【试题来源】天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】（1）x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0；（2）3x-y+2=0
【解析】（1） 设直线方程y-2=k（x+2），令x=0得令y=0得，由题意得，所以，即解得，所以所求直线方程为x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0．
（2） 联立直线方程
①+②×（-3）得：y=-1，把y=-1代入②，解得x=-1，原方程组的解为所以两直线的交点坐标为（-1，-1），又因为直线x+3y+4=0的斜率为，所以所求直线的斜率为3，则所求直线的方程为y+1=3（x+1），即3x-y+2=0．
29．已知直线，，．
（1）若点在上，且到直线的距离为，求点P的坐标；
（2）若//，求与的距离．
【试题来源】安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】（1） P的坐标为或；（2） 与的距离．
【解析】（1）设P（t，t），由，得
所以或6 所以P的坐标为或
（2）由//得，所以，即，
所以与的距离.
30．如图，在中，，，且边的中点在轴上，的中点在轴上．

（1）求点的坐标；
（2）求的面积．
【试题来源】湖北省黄石市重点高中2019-2020学年高二上学期第二次联考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设点，
因为边的中点在轴上，的中点在轴上，，，
，解得，所以点的坐标是；
（2）由题设，，
，所以直线的方程为，即；
故点到直线的距离为，
所以，
【名师点睛】本题主要考查求直线三角形顶点坐标，以及三角形面积，考查点到直线的距离公式，考查两点间距离公式，以及中点坐标公式，属于常考题型．
31．已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为C．
（1）求中过，边上中点的直线方程；
（2）求边上高线所在的直线方程．
【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二10月月考数学（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）点关于轴的对称点，关于原点的对称点C
的中点，的中点，，
过中点的直线方程为；
（2）直线的斜率，边上高线所在直线的斜率为．
边上高线所在的直线方程为．
32．已知直线与．
（1）当时，求直线与的交点坐标；
（2）若，求a的值．
【试题来源】浙江省丽水市五校共同体2020-2021学年高二上学期10月阶段性考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）当时，直线与联立即可．（2）两直线平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可．
【解析】（1）当时，直线与，联立，解得，故直线与的交点坐标为．
（2）因为，所以，即解得．
33．已知直线的方程为．
（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（2）求过与的交点，且倾斜角是直线的一半的直线的方程．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】由题意设直线为，则
，得，所以直线方程为，
（2）由，得，所以，
设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，，
因为，所以，即，
解得或，
因为，所以，所以，所以，
所以直线的方程为，即
34．已知点，求的边上的中线所在的直线方程．
【试题来源】湖南省岳阳一中2019-2020学年高一下学期统考模拟
【答案】
【解析】设边 的中点 ，则由中点公式可得： ，即点 坐标为 所以边 上的中线先 的斜率 则由直线的斜截式方程可得： 这就是所求的边 上的中线所在的直线方程．
35．已知的顶点坐标为，，．
（1）求边上的高线所在的直线方程；
（2）求的面积．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）x+6y﹣22=0；（2）16．
【解析】（I）由题意可得，所以AB边高线斜率k=，
所以AB边上的高线的点斜式方程为，
化为一般式可得x+6y﹣22=0；
（2）由（1）知直线AB的方程为y﹣5=6（x+1），即6x﹣y+11=0，
所以C到直线AB的距离为d=，
又因为|AB|==，
所以三角形ABC的面积S=
36．已知直线及点
（1）证明直线过某定点，并求该定点的坐标
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程
【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【解析】（1）直线方程可化为
由，解得且，所以直线恒过定点．
（2）因为直线恒过定点，
所以当点在直线上的射影点恰好是时，即时，点到直线的距离最大，
因为，所以直线的斜率
由此可得点到直线的距离最大时，直线的方程为，即．
37．如图所示，在平行四边形中，点．

（1）求直线的方程；
（2）过点C作于点D，求直线的方程．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先求直线的斜率，先求直线的斜率，最后求所在直线方程
（2）先求所在直线的斜率，再求所在直线方程．
【解析】（1）因为点，点，所以直线的斜率，
因为，所以，所以所在直线方程为即．
（2）在平行四边形中，，
因为，所以所在直线的斜率，
所以所在直线方程为，即．
38．求适合下列条件的直线方程：
（1）已知，，求线段的垂直平分线的方程；
（2）求经过点并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）由题知线段的中点坐标为，，
所以线段的垂直平分线的方程为，即．
（2）设直线在轴的截距为，轴截距为，当时，设，
因为过，所以，即，直线．
当时，设，
因为过，所以，即，直线．
综上直线或．
39．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为．
（1）求顶点的坐标；
（2）求直线的方程．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（理）
【答案】（1）．（2）．
【解析】（1）设顶点的坐标为；
因为顶点在直线上，所以，由题意知的坐标为，
因为中点在直线上，所以，即；
联立方程组，解得顶点的坐标为
（2）设顶点关于直线的对称点为，
由于线段的中点在在直线上，得方程，即
由直线与直线垂直，得方程，即；
联立方程组，得 ，
显然在直线上，且顶点的坐标为，
所以直线的方程为，整理得．
【名师点睛】本题主要考查直线的方程以及解析几何中的轴对称问题，属于中档题． 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解．
40．已知点，直线：．
（1）求直线关于点对称的直线方程；
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的重心坐标．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（理）试卷
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设为所求直线上一点，
其关于点对称的点为在直线上，则，所以，
又，所以，
整理得，即所求直线方程为；
（2）记直线与轴交点为，与轴交点为，
由，令得，即；令得，即，
又原点为，记中点为，则，连接，则三角形的重心点在线段上， 且满足，设，
则，所以，即．

41．已知两个定点，，动点满足，设动点的轨迹为曲线，直线：．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）若与曲线交于不同的、两点，且（为坐标原点），求直线的斜率；
【试题来源】四川省成都七中2020-2021学年度高二上学期10月阶段性考试（文）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）设点的坐标为，
由，可得，
整理得，所以所求曲线的轨迹方程为．
（2）依题意，，且，
在△中，，取的中点，连结，则，
所以，

即点到直线：的距离为，解得，
所以所求直线的斜率为．
42．已知圆C经过点和点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点的直线被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程．
【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由于圆心C在直线上，可设圆心
圆C经过点和点，故有，
，
求得，故圆心，半径为，
故要求的圆的方程为．
（2）过点的直线1被圆C截得的弦长为6，故圆心C到直线的距离为，
显然直线l的斜率存在，设为k，则直线l即；，即．
由，求得，故直线l的方程为，即．
43．已知圆C： ，直线
（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；
（2）设直线与圆交于两点，若，求直线的方程．
【试题来源】安徽省滁州市定远县民族中学2020-2021学年高二上学期10月月考（文）
【答案】（1）证明见解析；（2）或
【分析】（1）确定直线过定点，计算定点在圆内，得到证明．
（2）计算圆心到直线的距离为，利用弦长公式计算得到答案．
【解析】（1）直线，经过定点，，
定点在圆内，故对，直线与圆总有两个不同的交点．
（2）由圆心到直线的距离，
而圆的弦长，
即，，，解得，
故所求的直线方程为或
44．某高速公路隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成（如图所示）．已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙面高，为，弧顶高为．

（）建立适当的直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程．
（）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）3．5
【解析】（1）以所在直线为轴，以所在直线为轴，以1m为单位长度建立直角坐标系，则，，，由于所求圆的圆心在轴上，所以设圆的方程为，因为，在圆上，所以，解得，，所以圆的方程为．
（2）设限高为，作，交圆弧于点，则，将的横坐标代入圆的方程，得，得或（舍），所以（m）．
答：车辆通过隧道的限制高度是米

45．已知圆过点，，且圆心在直线上，圆．
（1）求圆的标准方程；
（2）求圆与圆的公共弦长；
（3）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）求出的坐标及其圆的半径，从而可得圆的标准方程；（2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，利用垂径定理可求弦长．（3）设所求的圆的方程为，求出圆心的坐标，利用该圆心在已知直线上可求的值，从而得到圆的方程．
【解析】（1）设，则，
解得，圆，
所求的标准方程为．
（2）圆的一般方程为，
将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即

即，故到直线的距离为，
所以所求公共弦长为．
（3）设所求的圆的方程为，
整理得到，该圆圆心为，
因为该圆心在直线，故，解得，
故所求圆的方程为．
【名师点睛】本题考查圆的方程的求法、以及圆的公共弦的方程及弦长的求法，注意公共弦的直线方法可以由两个圆的一般方程相减得到，在求过已知直线和圆的交点的圆的方程时，注意利用圆系方程降低运算量，本题属于基础题．
46．已知直线与圆相交于点，且（为坐标原点）．
（1）求圆的标准方程；
（2）若，点分别是直线和圆上的动点，求的最小值及求得最小值时的点的坐标．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】（1）（2），
【解析】（1），得圆心，
直线与直线垂直，，
又，所以，所以圆心，圆的方程为，经验证符合.
（2）设点关于直线的对称点，
则解得，，如图所示：

又
，直线的方程为，
由，解得得，所以.
47．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，点是圆上一点．
（1）若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值；
（2）过点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】（1）；（2）是定值，理由见解析．
【解析】（1）圆的方程可变为，
所以点，半径，则到的距离，
所以，当且仅当时取等号，
由即，解得，
由，在两侧，，所以，
因为到的距离，到的距离，
所以四边形的面积，
所以当时，四边形面积最大为；
（2）由题意可设，
由，可得，
设，则，所以，
所以，同理，
因为，所以，
所以为定值．
48．已知坐标平面上两个定点，，动点满足：．
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，过点的直线被所截得的线段的长为，求直线的方程．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】（1） ，轨迹为圆；（2） 或．
【解析】（1） 由得，
化简得：，轨迹为圆；
（2）当直线的斜率不存在时，直线符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
由圆心到直线的距离等于，
解得，直线方程为，
所求的直线的方程为或．
【名师点睛】直接法求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；（3）化简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程．直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为“建系，设点，列式，化简”．
49．如图，圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为．

（1）若，求两条切线所在的直线方程；
（2）求直线的方程，并写出直线所经过的定点的坐标；
（3）若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】（1）和；（2），直线过定点，；（3）．
【解析】（1）时，，设圆的过点的切线方程为，即，故到直线的距离，
解得或，切线方程为和．
（2），，，
故以为圆心，以为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
直线的方程为，
即，所以，所以直线过定点，．
（3）设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，
把代入，得，
，
当时，取得最小值．
50．已知动圆过定点，且在x轴上截得的弦长为4．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；
（2）设不与x轴垂直的直线l与轨迹C交手不同两点，．若，求证：直线l过定点．
【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考
【答案】（1）（2）证明见解析
【分析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；
（2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点．
【解析】（1）设动圆圆心为，则，化简得；
（2）易知直线l的斜率存在，设，则
由，得，由韦达定理有：，．
从而，即，则
则直线，故直线过定点．
51．如图，已知圆，直线的方程为，点是直线上一动点，过点作圆的切线､，切点为､．

（1）当的横坐标为时，求的大小；
（2）求证：经过､､三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析，．
【分析】（1）由题可知，圆的半径，，，根据，可得，从而可求的大小；（2）设的坐标，求出经过､､三点的圆的方程即可得到圆过定点．
【解析】（1）由题可知，圆的半径，，
因为是圆的一条切线，所以
又因，又，所以；
（2）设，因为，所以经过､､三点的圆以为直径，
方程为，即
由，解得或，所以圆过定点．
52．圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
（1）若，求切线和直线的方程；
（2）若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（理）试卷
【答案】（1）切线：或；；（2）．
【解析】（1）时，，设圆的过点的切线方程为，即，故到直线的距离，
解得或，切线方程为和．
，，，
故以为圆心，以为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
直线的方程为，即．
（2）设直线与的直线方程分别为，又与圆相切，
所以，即．
所以，，，
，
，所以面积的最小值为．

53．已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且（O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由．
【试题来源】四川省成都七中2020-2021学年度高二上期10月阶段性考试（理）
【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点．
【解析】（1）设点的坐标为，由可得，
整理可得，所以曲线的轨迹方程为．
（2）依题意，，且，则点到边的距离为，
即点到直线的距离，解得，
所以直线的斜率为．

（3）依题意，，则都在以为直径的圆上，
是直线上的动点，设
则圆的圆心为，且经过坐标原点，即圆的方程为，
又因为在曲线上，由，
可得，即直线的方程为
由且可得，解得，
所以直线是过定点．
54．已知的顶点边上的中线所在直线方程为边上的高所在直线方程为，求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程．
【试题来源】湖北省新高考联考协作体2020-2021学年高二上学期开学联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，根据点C在直线上，以及直线AC和直线BH，其斜率相乘为建立方程组可求出；（2）设，利用点B在直线上，中点在直线上，即可建立方程求出，根据坐标即可求出方程．
【解析】（1）设，可知点C在直线CM上，且，
，解得．即：．
（2）设，则AB中点，
可知点B在直线上，中点在直线上，
，解得．．．
直线的方程为，即为．
55．已知三角形的三个顶点，，．
（1）求线段的垂直平分线所在直线方程；
（2）求过边上的高所在的直线方程；
【试题来源】浙江省绍兴市诸暨中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性考试
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为中点为，，
所以的中垂线的斜率为，直线方程为，即；
（2），边上高所在直线的斜率为，
边的高所在直线方程为即．
【名师点睛】本题考查求直线方程，考查由垂直关系求直线方程．两条斜率均存在的直线垂直的充要条件是它们的斜率之积为．
56．已知直线l过点P(2，3)且与定直线l0：y=2x在第一象限内交于点A，与x轴正半轴交于点B，记 的面积为S( 为坐标原点)，点B(a，0)．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求当S取得最小值时，直线l的方程．
【试题来源】浙江省台州市洪家中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当直线与直线平行时，不能构成，此时，解得，所以，又因为点在轴正半轴上，且直线与定直线再第一象限内交于点，所以．
（2）当直线的斜率不存在时，即，，此时，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
由于直线的斜率存在，所以，且，又，或，
由，得，即，
则，即，
当时，，
整理得，得，即的最小值为3，此时，解得，
则直线的方程为，即．
57．在平面直角坐标系中，已知点坐标分别为，为线段上一点，直线与轴负半轴交于点，直线与交于点．

（1）当点坐标为时，求直线的方程；
（2）求与面积之和的最小值．
【试题来源】福建泉州一中2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当点坐标为时，的方程为，
所以，故直线的方程为，
又直线的方程为，所以直线与直线联立得，
所以直线的方程为．
（2）直线的方程为，设，
所以直线的方程为，故，
由于直线与轴负半轴交于点，所以，故
所以


．
当且仅当时，即时等号成立，
所以与面积之和的最小值为．
58．已知.
（1）为何值时，点Q(3，4)到直线距离最大，最大值为多少；
（2）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于AB两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程．
【试题来源】福建泉州科技中学2020-2021学年高二年第一学期第一次月考
【答案】（1），；（2）4；．
【分析】（1）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．
（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．
【解析】（1）点到直线的距离最大，可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，即为最大值．
，的斜率为，
可得，解得．
（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，直线方程为，，则，，，
，
当且仅当时取等号，面积的最小值为4．此时直线的方程为．
59．已知的三边所在直线的方程分别是，，．
（1）求与边平行的中位线方程；
（2）求边上的高所在直线的方程．
【试题来源】福建泉州科技中学2020-2021学年高二年第一学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）直线与直线方程联立得；
直线与直线方程联立得，所以线段的中点为 ，
由于直线的方程为，其斜率为，
所以与边平行的中位线方程为，整理得：．
所以与边平行的中位线方程为．
（2）由（1）知直线的斜率为，边上的高所在直线的斜率为
所以边上的高所在直线的方程为，整理得．
60．已知的三个顶点为，，．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求的外接圆的方程．
【试题来源】福建省三明第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，利用点斜式方程可得出直线的方程；（2）设的外接圆的方程为，将该三角形的三个顶点坐标代入所求圆的方程，可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的外接圆的方程．
【解析】（1）直线的斜率为，
所以，边上的高所在直线的斜率为，
因此，边上的高所在直线的方程为，即；
（2）设的外接圆的方程为，
将的三个顶点坐标代入圆的方程得，解得，
因此，的外接圆方程为．
61．已知直线经过点．
（1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
【试题来源】福建省厦门第一中学2020-2021学年高二分班摸底练习
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）①直线的斜率不存在时，显然成立，直线方程为．
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
由原点到直线的距离为2得，解得，
故直线的方程为，即，
综上，所求直线方程为或．
（2）设直线夹在直线，之间的线段为（在上，在上），
、的坐标分别设为、，
因为被点平分，所以，，于是，
由于在上，在上，即，解得，，
即的坐标是，故直线的方程是，即．
【名师点睛】本题考查直线的方程的求法，主要考查直线的点斜式方程以及直线的两点式方程，考查中点坐标的相关性质以及点到直线的距离公式的应用，考查计算能力，在计算过程中要注意斜率不存在的情况，是中档题．
62．直线l1过点A(0，1)， l2过点B(5，0)， l1∥l2且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的一般式方程．
【试题来源】广西兴安县第三中学2019-2020学年高一下学期开学适应性检测
【答案】或
【解析】当l1、l2的斜率存在时，因为l1∥l2，所以可设两直线的斜率为k．由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0．由点斜式得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0．由两平行线间的距离公式得＝5，
解得k＝，所以l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0．
若l1、l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：
l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；或l1：x＝0，l2：x＝5．
63．已知的三个顶点，，，求：
（1）边上的高所在直线的方程；
（2）的垂直平分线所在直线的方程；
（3）边的中线的方程．
【试题来源】天津市武清区天和城实验中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由斜率公式易知kAC，由垂直关系可得直线BD的斜率kBD，代入点斜式易得；（2）同理可得kEF，再由中点坐标公式可得线段BC的中点，同样可得方程；
（3）由中点坐标公式可得AB中点，由两点可求斜率，进而可得方程．
【解析】（1）由斜率公式易知kAC=-2，所以直线BD的斜率．
又BD直线过点B（-4，0），代入点斜式易得直线BD的方程为x-2y+4=0．
（2）因为，所以．又线段BC的中点为，
所以EF所在直线的方程为y-2=-（x+）．整理得所求的直线方程为6x+8y-1=0．
（3）因为AB的中点为M（0，-3），kCM=-7
所以直线CM的方程为y-（-3）=-7（x-0）．
即7x+y+3=0，又因为中线的为线段，故所求的直线方程为7x+y+3=0（-1≤x≤0）.
64．已知圆：
（1）求过点且与圆相切的直线方程．
（2）若为圆上的任意一点，求的取值范围．
【试题来源】湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】（1）或（2）
【解析】（1）圆：的圆心为，半径，
当经过点的直线l与x轴垂直时，方程为x=2，恰好到圆心C到直线的距离等于半径，此时直线l与圆相切，符合题意；
当经过点的直线l与x轴不垂直时， 设直线l为，
即，由圆C到直线的距离d=r，得，解得，
此时直线的方程为，化简得，
综上圆的切线方程为或，
（2）可以看作圆上动点与定点距离的平方，
设圆心与点的距离为，则，
所以圆上动点与定点距离的最大值为，最小值为，
故的最大值为，最小值为，
即的取值范围．
65．已知中，顶点，点在直线上，点在轴上，求周长的最小值．
【试题来源】山西省大同市第一中学2019-2020学年高二下学期3月网上考试（文）
【答案】
【分析】利用中垂线的性质，设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，连接交于点，交轴于点，则此时的周长取最小值，且最小值为，进而求解即可．
【解析】设点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，连接交于点，交轴于点，则此时的周长取最小值，且最小值为，如图所示，

与关于直线对称，，解得，
，易得，周长的最小值为．
66．已知的三个顶点、、．
（1）求边所在直线的方程；
（2）边上中线的方程为，且，求点的坐标．
【试题来源】安徽省铜陵市第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考（文）
【答案】（1）；（2）点坐标为、
【分析】（1）利用两点式求得边所在直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，根据面积以及点在直线上列方程组，解方程组求得点的坐标．
【解析】（1）由、得边所在直线方程为，
即．
（2），到边所在直线的距离为，由于在直线上，故，
即，解得或．
67．已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）若，求点坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第一次月考（文）
【答案】（1）或；（2）或；（3）
【解析】（1）由条件可知，设，则，
解得或，所以或；
（2）由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，
则，解得或，所以直线的方程为或.
（3）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，
其方程为
整理得与相减得
，即，
由得，所以两圆的公共弦过定点．
【名师点睛】本题第一、二小题较容易，第三小题较难．但第三小题解法巧妙，使得问题简化．这种解法是这样的，将两圆的方程相减，得到一条直线的方程，由于两圆相交于两点，因而这条直线也经过这两点，故这条直线就是弦所在的直线．
68．已知直线经过点，斜率为
（1）若的纵截距是横截距的两倍，求直线的方程；
（2）若，一条光线从点出发，遇到直线反射，反射光线遇到轴再次反射回点，求光线所经过的路程．
【试题来源】安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）由题意得．直线的方程为，
令，得，令，得
因为的纵截距是横截距的两倍，，解得或，
所以直线或，
即或，
（2）当时，直线，
设点关于的对称点为，则，解得，
，关于轴的对称点为
光线所经过的路程为
【名师点睛】（1）第一问中容易忽视直线过原点的情形；
（2）光的反射的问题实际上就是解析几何中的对称问题，由对称的特点，结合垂直、平分可得一对对称点的坐标之间的关系，然后在根据反射原理将光线所经过的路程转化为两点间的距离求解．
69．已知圆，圆过作圆的切线，切点为（在第二象限）．

（1）求的正弦值；
（2）已知点，过点分别作两圆切线，若切线长相等，求关系；
（3）是否存在定点，使过点有无数对相互垂直的直线满足，且它们分别被圆、圆所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
【试题来源】江苏省苏州大学附属中学2020-2021学年高二上学期期初
【答案】（1）；（2）；（3）存在且其坐标为或者．
【解析】（1）连接，因为与相切于，故．
又，在中，，故．
（2）因为过作两圆的切线且切线长相等，
故，整理得到，
故的关系为．
（3）设的斜率为且，则，，
因为它们分别被圆、圆所截得的弦长相等且两圆半径相等，
所以到直线的距离等于到直线的距离，
故即对无穷多个恒成立，
所以对无穷多个恒成立．故，解得或者．
故存在且其坐标为或者．
【名师点睛】本题考查直线圆的位置关系中的相切问题、定点问题以及动点的轨迹问题，注意直线与圆相切可用圆心到直线的距离等于半径来刻画，直线与圆相交后的弦长问题可用垂径定理来考虑，本题属于难题．
70．圆：，点为轴上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
（1）若，求切线方程；
（2）若两条切线，与直线分别交于，两点，求面积的最小值．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（文）试卷
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）当切线斜率存在时，可设切线方程为y＝k（x-1），即kx-y-k＝0，
则圆心到切线的距离，解得，
当切线斜率不存在时，直线也符合题意，
故所求切线方程为或，即或；
（2）当两条切线斜率都存在，即时，
设切线方程为，即kx-y-kt＝0，PM，PN的斜率为，
故圆心C到切线的距离，得，
所以，在切线方程中令y＝1可得，
故，
所以，此时t＝0，当两条切线斜率有一条不存在，即时，
不妨拿来计算，由（1）得切线方程为即或，
令y＝1可得，此时，综合得，
故的面积最小值为．

71．已知圆C轨迹方程为
（1）设点，过点作直线与圆C交于，两点，若，求直线的方程；
（2）设是直线上的点，过点作圆的切线，，切点为，．求证：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）或；（2）证明见解析，定点坐标为．
【分析】（1）设出直线的方程，注意讨论斜率是否存在，再由点到直线的距离公式和弦长公式，列出方程，即可求得直线的方程；（2）设出点的坐标，根据切线的性质，可得经过的三点的圆，即为以为直径的圆，求得圆的方程，结合院系方程，即可求解．
【解析】（1）根据题意，圆轨迹方程为，可得圆心，半径为，
①若直线的斜率不存在时，即，代入圆的方程，
可得，即，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
设圆心的距离为，
因为，由圆的弦长公式可得，解得，
所以，解得，
所以直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或．
（2）由点是直线上的点，设点，
根据切线的性质，可得，经过的三点的圆，即为以为直径的圆，
则圆的方程为，整理
得，令，
解得或，即经过的三点的圆必经过定点．