专题07 直线和圆的方程（填空题）（11月）（人教A版2019）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题07 直线和圆的方程（填空题）
一、填空题
1．已知直线和直线互相平行，则的值为__________．
【试题来源】北京五十七中2020--2021学年高二上学期数学期中考试试题
【答案】
【分析】根据两直线平行可得出关于实数满足的等式与不等式，由此可解得实数的值．
【解析】由于直线和直线互相平行，则，解得．
故答案为．
2．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为__________．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（理）
【答案】
【分析】根据条件以及中点坐标公式可得，即可求解．
【解析】过点的直线与轴、轴分别交于、两点，恰为线段的中点，则，所以方程为，即．故答案为 ．
3．点到直线的距离为__________．
【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【分析】根据点到直线距离公式，直接求解，即可得出结果．
【解析】点到直线的距离为．
故答案为．
4．一束光线从点出发经轴反射到圆上，光线的最短路程是__________．
【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟
【答案】
【分析】求出点关于轴的对称点，则最短路径的长为（圆的半径），计算求得结果．
【解析】由题意可得圆心，半径，点关于轴的对称点，
如图：所以，

因此最短路径的长．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查反射定理的应用，求一个点关于直线的对称点的方法，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
5．直线的单位法向量是__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】或
【分析】由直线可得法向量，可得其单位法向量为．
【解析】由直线可得法向量，因此其单位法向量为，即或．故答案为或
6．若是直线的一个法向量，则的倾斜角大小为__________．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】
【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量，然后求出直线的斜率，从而可求出倾斜角．
【解析】因为是直线的一个法向量，所以直线的一个方向向量为，
所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角的正切值，
又，所以．故答案为．
7．平面直角坐标系中点（1，2）到直线的距离为__________．
【试题来源】四川省珙县中学2020-2021学年高二上学期数学9月月考
【答案】
【解析】因为点为，直线为，
所以点到直线的距离为．故答案为．
【名师点睛】本题考查点到直线距离公式的运用，难度较易．已知点，直线，则点到直线的距离为．
8．已知直线：与直线：垂直，则m的值为__________．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】
【分析】由两直线垂直的充要条件可得，从而可求得m的值．
【解析】因为，所以．故答案为．
9．如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则a的值为__________．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（文）
【答案】－6．
【分析】根据它们的斜率相等，可得﹣=3，解方程求a的值
【解析】因为直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y=0平行，
所以它们的斜率相等，所以﹣=3，所以a=﹣6．故答案为-6．
10．设为直线与圆的交点，则__________．
【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考
【答案】-1
【分析】将坐标代入直线和圆的方程，消去可得的值．
【解析】因为为直线与圆的交点，
将坐标代入直线和圆的方程得，①， ②
将①②得，得，故答案为
11．过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为__________．
【试题来源】湖北省武汉市钢城第四中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】2x＋y－7＝0
【分析】过一点作圆的切线只有一条，说明点在圆上，根据垂直关系即可求该切线方程．
【解析】因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，因为圆心与切点连线的斜率k＝＝，所以切线的斜率为－2，
则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0．故答案为2x＋y－7＝0
12．过圆上一点作圆的切线， 则该切线的方程为__________．
【试题来源】浙江省金华市江南中学2019-2020学年高二上学期12月月考
【答案】
【分析】求得圆心的坐标，进而求得直线的斜率，从而求得过点的圆的切线的斜率，由此求得切线方程．
【解析】依题意圆心为，故，所以过点的圆的切线的斜率为，由点斜式得切线方程为，即．故答案为．
13．已知直线：和直线：．若，则与的距离为__________．
【试题来源】湖北省宜昌市2019-2020学年高三上学期元月调研考试（文）
【答案】
【分析】根据求得，再根据平行线间的距离公式求解即可．
【解析】因为，故．故直线：和直线：．故与的距离为．故答案为
14．已知直线的倾斜角满足方程，则直线的斜率为__________．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末
【答案】
【分析】转化条件得，再由同角三角函数的关系即可得，即可求得斜率．
【解析】因为，所以，
所以，解得或，
当时，，不合题意；
当时，，所以，
所以直线的斜率为．故答案为．
【名师点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用及直线斜率的求解，考查了运算求解能力，属于基础题．
15．已知实数满足方程，则的取值范围是__________．
【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】
【分析】设，数形结合以及点到直线的距离即可求解．
【解析】，圆心为，，设，，

当直线与圆相切时，，，
所以的取值范围是．故答案为
16．已知、，点C为直线上的一动点，则的最小值为__________．
【试题来源】重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】
【分析】根据两点关于直线对称求出A关于直线的对称点M的坐标，当点C为直线BM和直线的交点时，距离最小，结合两点间距离公式即可求解．
【解析】由题意A、B两点在直线的同侧．设A关于直线的对称点M的坐标为，则解得，，关于直线的对称点M的坐标为，
故当点C为直线BM和直线的交点时，取得最小值，故答案为．
17．对任意实数k，圆：与直线：的位置关系是__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】相交
【分析】先求直线所过定点，再求圆的圆心，半径，最后求圆心到定点的距离并判断直线与圆的位置关系．
【解析】因为直线的方程，整理得，所以直线过定点，因为圆的方程为，整理得，所以圆的圆心，半径，所以圆心到定点的距离为，所以直线与圆的位置关系是相交，
故答案为相交．
【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系、求直线所过定点、两点间距离公式、由圆的方程确定圆心与半径，是基础题
18．函数的最小值为__________．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】根据题意，其几何意义为点到点，两点的距离之和，故，再根据距离公式求解即可．
【解析】因为，
几何意义为点到点，两点的距离之和，
关于轴的对称点，
，
当且仅当三点共线时的值最小为，故答案为
19．在中，、、，则的平分线所在直线的一般式方程是__________．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】
【分析】先利用向量，写出的平分线的一个方向向量，再根据方向向量设直线方程，点代入求得参数，即得一般式方程．
【解析】向量，，
故的平分线的一个方向向量为，
故的平分线所在直线的方程可设为，
将代入方程得， 故直线方程为，即．
故答案为．
20．已知直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则实数a＝__________．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】0或1
【解析】两直线互相垂直，满足，整理为，解得或．
21．点关于直线对称的点的坐标为__________．
【试题来源】四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二10月月考数学（文）
【答案】．
【分析】设关于直线的对称点的坐标为，再根据中点在直线上，且与直线垂直求解即可．
【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则中点为，则在直线上，故①，
又与直线垂直有②，
联立①②可得，故．故答案为．
22．经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线的一般式方程为__________．
【试题来源】山东省德州市夏津县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）
【答案】
【分析】首先联立方程求两直线的交点，再利用两直线垂直斜率之积为-1，可求得所求直线斜率，然后根据点斜式可得直线方程．
【解析】由方程组，得交点坐标为，
因为所求直线垂直于直线，故所求直线的斜率，
由点斜式得所求直线方程为，即．
【名师点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标的求法，考查从直线的一般方程求斜率，考查两条直线垂直斜率之积为，考查学生的运算能力，属于基础题．
23．当点到直线的距离最大值时，的值为__________．
【试题来源】湖北省黄石市重点高中2019-2020学年高二上学期第二次联考
【答案】
【解析】直线可化为，由点斜式方程可知直线恒过定点，且斜率为，结合图象可知当与直线垂直时，点到直线距离最大，此时，，解得．
24．已知是两两不等的实数，点，点，则直线的倾斜角为__________．
【试题来源】安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】
【解析】因为直线经过，点两点，所以直线的斜率，所以直线的倾斜角为．
25．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是__________．
【试题来源】安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】
【解析】直线为，倾斜角，．
26．两条平行直线＝与＝的距离是__________．
【试题来源】山西省运城市景胜中学2020-2021学年高二上学期10月月考（理）
【答案】
【分析】将直线＝化为，再根据平行线间距离公式即可求解．
【解析】可将直线＝化为，
所以两条平行直线间的距离为．故答案为．
27．直线x﹣4y+k＝0在两坐轴上截距之和为5，则k＝__________．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】
【分析】根据方程求解直线在两坐轴上截距，再相加等于5求解即可．
【解析】易得两坐轴上截距分别为．故
故答案为
28．已知直线的斜率为且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为__________．
【试题来源】广西兴安县第三中学2019-2020学年高一下学期开学适应性检测
【答案】或
【分析】设直线方程为，根据题设条件得到关于的方程组，解方程组后可得所求的直线方程．
【解析】设直线的方程为，则，且，解得或者，
所以直线l的方程为或，即或．
故答案为或．
【名师点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据问题的特征假设直线方程的形式，从而可简化计算过程．
29．直线2mx+y–m–1＝0恒过定点__________．
【试题来源】浙江省金华市江南中学2019-2020学年高二上学期12月月考
【答案】（）
【分析】直线方程对整理，令的系数为，从而得到关于的方程组，解出的值，得到答案．
【解析】直线2mx+y–m–1＝0，可化为（2x–1）m+（y–1）＝0，
由，解得，所以直线过定点（）．故答案为（）．
30．两条平行直线与间的距离是___________．
【试题来源】福建省厦门第一中学2020-2021学年高二分班摸底练习
【答案】
【分析】根据两直线与平行，由 解得a，然后再利用平行线间的距离公式求解．
【解析】因为两直线与平行，所以 解得，又直线可化为直线，所以直线与直线间的距离为，故答案为
31．已知直线与关于直线对称，与垂直，则__________．
【试题来源】江西省南昌外国语学校2019-2020学年高二10月月考
【答案】．
【分析】由题意利用两条直线关于直线对称的性质得到的方程为，两条直线垂直斜率之积为，计算可得，
【解析】直线与关于直线对称，的方程为，它的斜率为，与垂直，，则，故答案为．
32．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为__________．
【试题来源】黑龙江省双鸭山一中2020-2021学年高二（10月分）第一次月考（理）
【答案】
【分析】由已知设圆方程为，代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．
【解析】由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为，则半径为，．
即圆的方程为，再把点代入，得或1，
所以圆的方程为或，对应圆心为或；
由点线距离公式，圆心到直线的距离或；故答案为．
【名师点睛】本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标和半径的值，是解题的关键，属于基础题．
33．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0．直线l过点(0，3)，且与圆C交于A､B两点，|AB|=4，则直线l的方程__________．
【试题来源】天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考
【答案】或
【分析】根据题意，分析圆C的圆心以及半径，由直线与圆的位置关系可得点C到直线l的距离d=2，分直线l的斜率是否存在2种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案．
【解析】根据题意，圆C：x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0即(x﹣1)2+(y﹣1)2=8，圆心C(1，1)，半径r=2，又由直线l与圆C交于A､B两点，|AB|=4，则点C到直线l的距离，若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=0，点C到直线l的距离d=1，不符合题意；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0，
则有，解可得或；故直线l的方程为或．
34．若直线与圆相切，则__________．
【试题来源】北京市朝阳区2020届高三年级学业水平等级性考试练习二（二模）
【答案】
【分析】由题意结合圆的方程可得该圆圆心为，半径为，再利用圆心到直线的距离等于半径即可得解．
【解析】由题意圆的方程可转化为，
所以该圆圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离，解得．故答案为．
【名师点睛】本题考查了圆的方程的应用，考查了直线与圆的位置关系的应用以及运算求解能力，属于基础题．
35．若直线过，且被圆：截得的弦长为，则直线方程为__________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（理）试卷
【答案】或
【分析】将圆化为，求出圆心，半径，讨论直线的斜率存在或不存在，分别利用圆心到直线的距离，利用点到直线的距离即可求解．
【解析】圆：，即，
即圆心，半径，当直线的斜率不存在时，直线，
此时弦心距，弦长为，满足条件；
当所求直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由弦长公式可得弦心距，
再利用点到直线的距离公式可得，解得，
故此直线方程为，
综上可得，满足条件的直线方程为或．
故答案为或．
36．圆心在直线上的圆与轴交于两点，则圆的方程为__________．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】
【解析】先由条件求得圆心C的坐标，再求出半径r=|AC|，从而得到圆C的方程．
因为直线AB的中垂线方程为x=-3，代入直线x-2y+7=0，得y=2，
故圆心的坐标为C（-3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=
所以圆C的方程为．故答案为．
37．两圆和的公共弦长为__________．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】两圆方程作差得到公共弦方程，再求出圆心到直线的距离，从而求出弦长；
【解析】即①圆心为，半径；
②，①②得，即两圆公共弦方程为，圆心到直线的距离，所以公共弦长为，故答案为
38．过点的直线l与圆O：相交于M，N两点，且圆上一点Q到l的距离的最大值为4，则直线的方程为__________．
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（八）
【答案】或．
【分析】画出图形，确定点Q是过圆心O且与垂直的直线与圆的交点，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离为１，求出的斜率即可
【解析】 如图，易知的斜率存在，设直线的方程为，

过圆心O作，易得当Q位于的延长线上时距离最大，即，
所以，由点到直线的距离公式可得，
所以，直线的方程为或
故答案为 或．
39．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则__________．
【试题来源】2020届广东省华南师范大学附属中学高三年级月考（三）数学（理）
【答案】2
【解析】设切线为，因为过，故，所以切线为，又圆心到它的距离为，解得，故填2．
40．若圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是___________．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】(x－2)2＋(y＋)2＝
【解析】设圆的圆心坐标，半径为，因为圆经过坐标原点和点，且与直线相切，所以，解得，所求圆的方程为，故答案为．
41．已知直线：是圆：的一条对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则线段的长度为__________．
【试题来源】福建省厦门第一中学2020-2021学年高二分班摸底练习
【答案】3
【分析】根据直线：是圆：的一条对称轴，得到圆心在直线l上，解得，得到，然后再利用切线长公式求解．
【解析】圆：的标准方程是，圆心为，因为直线：是圆：的一条对称轴，所以圆心在直线l上，所以，解得，所以，
，故答案为3．
42．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是__________．
【试题来源】江西省南昌市第十中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】5
【解析】易得．设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，．
43．已知，，直线与的交点在直线上，则__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】0
【分析】联立方程求交点，根据交点在在直线上，得到三角关系式，化简得到答案．
【解析】
交点在直线上，



观察分母和不是恒相等
故，故答案为0
44．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】
【分析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标．
【解析】设，由重心坐标公式得，的重心为，
代入欧拉线方程得：，整理得： ①
的中点为，，的中垂线方程为，
即．联立，解得．的外心为．
则，整理得： ②
联立①②得：或．当时重合，舍去．
所以顶点的坐标是．
45．已知等腰三角形的底边所在直线过点，两腰所在的直线为与，则底边所在的直线方程是__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】或
【分析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，利用点到两腰所在直线的距离相等可求得顶角角平分线方程，再由底边所在直线过点且与顶角角平分线垂直可求得所求直线的方程．
【解析】在等腰三角形顶角角平分线上任取一点，
则点到直线与的距离相等，
由题意可得，所以，．
所以，或，
所以，该等腰三角形顶角角平分线所在直线的方程为或．
由于底边与顶角角平分线垂直．
当底边与直线垂直时，且直线的斜率为，
此时底边所在直线方程为，即；
当底边与直线垂直时，且直线的斜率为，
此时底边所在直线方程为，即．
故答案为或．
【名师点睛】本题考查等腰三角形底边所在直线方程的求解，考查了等腰三角形三线合一的性质以及点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
46．已知三条直线，，不能围成三角形，则__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】4或或或
【分析】首先根据三条直线不能构成三角形，得到三条直线的位置关系，根据位置关系列式求．
【解析】若三条直线不能围成三角形，则存在两条直线平行，或是三条直线交于同一点，
当时，，即，当时，，解得，
当时，，不成立，
当三条直线交于同一点时，联立直线和，则，解得，，即交点为，代入直线，，即，解得或，所以或或或．故答案为4或或或
47．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】或
【分析】分类讨论：直线过坐标原点、直线不过坐标原点，再根据截距的关系求解出直线的方程．
【解析】当直线过坐标原点时，显然直线的斜率存在，设，代入，
所以，所以，所以直线方程为；
当直线不过坐标原点时，设，所以横截距为，纵截距为，
所以，解得或（舍），所以直线方程为，
故答案为或．
【名师点睛】本题考查根据截距关系求解直线方程，难度一般．根据截距的倍数求解直线方程时，要注意直线过坐标原点的情况．
48．直线xcosθ＋y＋2＝0的倾斜角的范围是__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】
【解析】由题知k＝－cosθ，故k∈，结合正切函数的图象，当k∈时，直线倾斜角α∈，当k∈时，直线倾斜角α∈，故直线的倾斜角的范围是∪．
49．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】上海市华东师范大学第二附属中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】
【解析】由直线，即，此时直线恒过点，
则直线的斜率，直线的斜率，
若直线与线段相交，则，即，
所以实数的取值范围是．
【名师点睛】本题考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中把直线与线段有交点转化为直线间的斜率之间的关系是解答的关键，同时要熟记直线方程的各种形式和直线过定点的判定，此类问题解答中把直线与线段有交点转化为定点与线段端点斜率之间关系是常见的一种解题方法，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力．
50．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为__________．
【试题来源】浙江省丽水市五校共同体2020-2021学年高二上学期10月阶段性考试
【答案】或
【分析】点关于轴的对称点为，即反射光线过点，分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况，进而求解即可
【解析】点关于轴的对称点为，
（1）设反射光线的斜率为，则反射光线的方程为，即，
因为反射光线与圆相切，所以圆心到反射光线的距离，即，解得，所以反射光线的方程为；
（2）当不存在时，反射光线为，此时，也与圆相切，
故答案为 或
51．已知实数，原点到动直线的距离的取值范围为__________．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】
【分析】先整理方程求得直线恒过的定点P，则间的距离是原点到动直线的最大距离，又根据，得，即得结果．
【解析】依题意，设原点到动直线的距离为d，
动直线，即，
联立得，故动直线过定点，
故d的最大值为间的距离，而，故，
又，则不在直线上，故，即，
所以d的取值范围是．故答案为．
52．，动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点（异于点），则周长的最大值为__________．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】
【解析】由条件得直线过定点，直线过定点，且．
又直线， 所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，即周长的最大值为．答案：
53．直线l过点，且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线l的一般式方程是__________．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】或
【分析】先验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时再设直线方程，联立直线求交点，根据交点距离列关系求得斜率，即得方程．
【解析】当直线l斜率不存在时，方程为，与两直线交点分别是，，距离为9，符合题意；当直线l斜率存在时，方程可设为，，
直线l与直线联立，得交点，
直线l与直线联立，得交点，
故两点间的距离为，化简得，
即直线方程为，即，
综上，直线l方程为或．故答案为或．
【名师点睛】本题考查了直线方程的应用和两直线的交点求法，求解过程中要对斜率是否存在进行讨论，属于易错题．
54．过点且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程为__________．
【试题来源】上海市上海交通大学附属中学2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】或．
【分析】由过点且在两坐标轴上截距相等，分直线过原点和不过原点两种情况分类讨论，结合直线的点斜式和截距式方程，即可求解．
【解析】由题意，过点且在两坐标轴上截距相等，
（1）当直线过原点时，此时过点的直线方程为，即 符合题意；（2）当直线不过原点时，设直线方程为，
将点代入直线，即，解得，
所以所求的直线方程为，即，
综上可得，所求直线的方程为或．
故答案为或．
【名师点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中正确理解直线在坐标轴上的截距的概念，以及合理利用直线的点斜式和截距式方程求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力．
55．已知直线：与：互相垂直，其垂足为，则的值为__________．
【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】0
【分析】利用两直线垂直斜率的关系求出，再将点分别代入直线，的方程中求出，即可得出的值．
【解析】将直线，化为，
直线，相互垂直，，解得，
将代入，解得，
将代入，解得，
，故答案为．
56．点P（-1，1）为圆 的弦AB的中点，则直线AB的方程为__________．
【试题来源】安徽省合肥市肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（文）
【答案】2x-y+3=0
【解析】根据题意，设圆的圆心为 则的坐标 ，
则 由 为圆的弦的中点，则 ，则 ，
则直线的方程为y ，即 ；故答案为．
【名师点睛】本题考查直线方程的求法以及直线与圆的位置关系，解题的关键是利用垂径定理分析直线 的斜率．
57．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x，6)，且l1∥l2，则__________．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】－
【分析】利用直线与直线平行，可得，利用斜率计算公式可得，再利用对数的换底公式和运算法则即可得出．
【解析】因为直线与直线平行，所以．所以，解得，
所以，故答案为．
【名师点睛】本题考查了直线平行与斜率的关系、对数的换底公式和运算法则，考查了学生的运算能力，属于基础题．
58．已知圆，是轴上的动点，，分别切圆于，两点，则动弦的中点的轨迹方程为__________．

【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（文）
【答案】
【分析】转化条件点、、三点共线、即可得到点满足的条件，化简即可得解．
【解析】由圆的方程可知圆心，半径为．设点，，点、、三点共线，可得，由相似可得即，
联立消去并由图可知，可得．
故答案为
59．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为__________．
【试题来源】福建省厦门第一中学2020-2021学年高二分班摸底练习
【答案】或
【分析】讨论截距为零和不为零两种情况，为零时根据斜率直接得到直线；不为零时，假设直线的截距式方程，代入点求得结果．
【解析】若在坐标轴的截距均为，即过原点，满足题意，此时方程为，即，当在坐标轴截距不为时，设其在轴截距为，则方程为，代入，解得，方程为，
综上，直线方程为或，
本题正确结果：或.
【名师点睛】本题考查直线方程的求解问题，主要考察直线截距式方程的应用，易错点是忽略了截距为零的情况．
60．如图是一公路隧道截面图，下方是矩形，且，，隧道顶是一圆弧，拱高，隧道有两车道和，每车道宽，车道两边留有人行道和，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是__________(精确到，)

【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性学习效率检测调研
【答案】3.97
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，求出圆的方程，过点E作的垂线交于点M，延长交弧于点N，求出的纵坐标，结合题意可得结果．
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，

设弧所在圆的圆心坐标为，半径为r，则其方程为．
将，的坐标代入以上方程解得，，故圆的方程为．过点E作的垂线交于点M，延长交弧于点N，将代入圆方程，解得，即，则，
从而车辆的限高为．故答案为3.97．
【名师点睛】本题主要考查了圆的方程在实际中的应用，适当建立坐标系求出圆的方程是解题的关键，属于中档题．
61．已知直线和圆相交于、两点，则弦长__________．
【试题来源】四川省成都七中2020-2021学年度高二上期10月阶段性考试（理）
【答案】
【解析】由圆方可知其圆心坐标为，半径，弦心距，所以，故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了直线与圆相交求截得弦长问题，属于基础题；求直线被圆所截得的弦长时，根据圆的性质通常考虑由弦心距，弦长的一般作为直角边，圆的半径作为斜边，利用勾股定理来解决问题，通常还会用到点到直线的距离公式．
62．在边长为1的正方形ABCD中，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则的最大值为__________．
【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考
【答案】3
【分析】根据题意，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系，可得A、B、C、D的坐标以及直线BD的方程，进而可得圆C的方程，据此设P的坐标为；由向量的坐标公式可得的坐标，又由向量的坐标计算公式可得，进而可得的表达式，相加后分析可得答案．
【解析】根据题意，如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系：

则，，则BD的方程为x＋y＝1，
点C为圆心且与BD相切的圆C，其半径，
则圆C的方程为；
P在圆C上，设P的坐标为，
则，
若，则，
则有；
，即的最大值为3；故答案为3．
【名师点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及平面向量的基本定理，注意建立坐标系，分析P的坐标与的关系，是中档题．
63．已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l的方程是__________．
【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理）
【答案】x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0
【解析】由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r＝5，弦长m＝8．
设弦心距是d，则由勾股定理得r2＝d2＋2，解得d＝3．若l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＋3＝k(x＋4)，即kx－y＋4k－3＝0，则d＝＝3，即9k2－6k＋1＝9k2＋9，解得k＝－，则直线l的方程为4x＋3y＋25＝0．所以直线l的方程是x＋4＝0和4x＋3y＋25＝0．
64．已知点在圆上，点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为__________．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】
【分析】利用相关点法求出动点的轨迹方程为，当取最大值时，与相切，可得答案．
【解析】设，则 ， ，
又在圆上，，即，
的轨迹方程为，

所以当取最大值时，与相切，
此时 ，，故答案为
【名师点睛】本题考查利用相关点法求动点的轨迹方程及利用圆的切线求角的正切值最值问题，属于基础题．
65．圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交所得的弦长为，则圆的方程为__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】．
【解析】【分析】【解析】 设所求圆的圆心为，半径为 r，
因为点关于直线 的对称点A′仍在这个圆上，所以圆心在直线 x+y=0上，所以，①，且；②，又直线截圆所得的弦长为，且圆心到直线 的距离为，
根据垂径定理得：，即：③
由方程①②③组成方程组，解得，所以所求圆的方程为．
故答案应填：．
【方法点晴】本题考查了直线与圆位置关系的应用问题，求圆的方程的主要方法：待定系数法，在解题时应灵活运用垂径定理与对称知识化简求值，是中档题题目．利用已知条件列出关于未知量的方程组，解此方程组即可．
66．已知P是直线3x＋4y－10＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为__________．
【试题来源】江苏省徐州市市区部分学校2020-2021学年高三上学期9月学情调研考试
【答案】
【解析】圆的标准方程为，则圆心为，半径为1，则直线与圆相离，如图：

，而，，又，，所以当取最小值时，取最小值，即取最小值，此时，，则，则，即四边形PACB面积的最小值是，故答案为．
67．等腰直角三角形，，．，分别为边，上的动点，设，，其中，且满足，，分别是，的中点，则的最小值为__________．
【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末模拟
【答案】
【解析】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

因为，，，所以，，
因为，分别是，的中点，所以，，又，
所以点在单位圆上，所以由直线与圆的位置关系可知，，
当且仅当三点共线时取等号，故答案为．
68．如图放置的等腰直角薄片（，）沿轴滚动，点的运动轨迹曲线与轴有交点，则在两个相邻交点间点的轨迹曲线与轴围成图形面积为__________．

【试题来源】北京市清华附中2019-2020学年高一新生分班考试
【答案】
【分析】先根据题意画出点的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象，再根据图象求面积即可得答案．
【解析】根据题意得点的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象如图所示，

其轨迹与轴围成的图形是由以为半径的四分之一的圆弧，以为半径的的圆弧以及构成，故两个相邻交点间点的轨迹曲线与轴围成图形面积为
，故答案为．
69．若曲线与曲线有四个不同的交点，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】浙江省丽水市五校共同体2020-2021学年高二上学期10月阶段性考试
【答案】
【分析】由知曲线C1表示以为圆心以1为半径的上半圆，表示两条直线与，问题转化为与半圆有两个不同于半圆端点的交点，利用特殊位置过端点、相切的情况求出对应的k．
【解析】由得，
曲线C1表示以为圆心以1为半径的上半圆，
显然直线与曲线C1有两个交点，交点为半圆的两个端点，
所以直线与半圆有2个除端点外的交点，
当直线经过点时，，当直线与半圆相切时，，解得或（舍去），所以时，直线与半圆有2个除端点外的交点，故答案为
70．在平面直角坐标系中，给定两点，点P在轴的正半轴上移动，当取最大值时，点P的横坐标为__________．
【试题来源】浙江省三校（新昌中学、浦江中学、富阳中学）2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】3
【分析】根据题意，设圆心坐标为，得出圆的方程，根据圆的性质，得到圆和轴相切时，取得最大值，即可求解．
【解析】过点三点的圆的圆心在线段的中垂线上，设圆心坐标为，又由点在轴上移动，当圆和轴相切时，取得最大值，
设切点，圆的半径为，所以圆的方程为，
代入点代入圆的方程，可得，
整理得，解得或（舍去），所以点的横坐标为．
【名师点睛】本题主要考查了圆的标准方程，以及圆的性质的应用，其中解答中熟练应用圆的性质，以及圆的标准方程的求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
71．圆 关于直线对称，则的取值范围是__________．
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第一次月考（文）
【答案】
【解析】由题意得，直线经过圆心，所以，所以，则，当且仅当时取等号．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系、基本不等式求最值等知识的应用，其中解答中，利用直线与圆的位置关系，得出，利用基本不等式求解最值是解答的关键，同时利用基本不等式求解最值时，等号成立的条件是解答的一个易错点，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
72．圆心在轴上，且与直线和都相切的圆的方程为__________．
【试题来源】四川省珙县中学2020-2021学年高二上学期数学9月月考
【答案】
【分析】设所求圆的方程为，根据圆与直线、都相切可求得、的值，由此可得出所求圆的方程．
【解析】设所求圆的方程为，因为圆与直线和都相切，则，解得，，所以圆的方程为．
73．对任意的实数，直线被圆截得的最短弦长为__________．
【试题来源】湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】
【分析】由直线可知，直线过定点，可判断点在圆内，当圆心C与M连线与直线垂直时，直线截得弦长最短，利用半弦长、半径、弦心距构成直角三角形即可求解．
【解析】由直线可得，故直线过定点，
由圆C： ，可得：，圆心，半径，
由圆的性质知，当直线与垂直时，直线所截得弦长最短，设圆心到直线的距离为，弦长为，因为，，所以，解得，故答案为
74．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为__________．
【试题来源】浙江省嘉兴市海宁市上海外国语大学附属宏达高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】
【分析】中两系数不相同，需要转化为，可作出图形，取点，利用相似三角形性质得，这样有，结合图形得结论．
【解析】当在轴上时，有，，
，，
当不在轴上时，在轴上取点，连接，
则，又，所以，所以，即，所以，三点共线时等号成立．综上的最小值为．故答案为．

【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，求动点到两定点距离之和的最小值，解题关键是转化与化归，把表达式中两项系数化为相同．考查了数形结合思想，转化与化归思想，分类讨论思想，属于中档题．
75．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为__________．
【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（文）
【答案】相交
【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2，0)，(2，1)，故两圆的圆心距离为，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1