专题14 数列（多选题）（11月）（人教A版2019）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题14 数 列（多选题）
1．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（ ）
A．8 B．12
C．－8 D．－12
【试题来源】江苏省淮安市涟水县第一中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测试
【答案】AC
【分析】求出等比数列的公比，再利用通项公式即可得答案；
【解析】，当时，，
当时，，故选AC．
2．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（ ）
A．可能为等差数列
B．可能为等比数列
C．中一定存在连续三项构成等差数列
D．中一定存在连续三项构成等比数列
【试题来源】湖北省武汉市部分学校2020-2021学年高三上学期9月起点质量检测
【答案】ABC
【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．
【解析】当时，．
当时，．
当时，上式＝．
所以若是等差数列，则
所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．故选A B C．
3．已知数列是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（　　）
A．数列是等比数列 B．数列是等比数列
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【试题来源】江苏省常州市第三中学2020-2021学年高二上学期10月学情检测
【答案】ABD
【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断．
【解析】根据题意，数列是等比数列，设其公比为q，则，
对于A，对于数列，则有，为等比数列，A正确；
对于B，对于数列，有，为等比数列，B正确；
对于C，对于，若， 是等比数列，但不是等比数列，C错误；
对于D，对于数列，有，为等比数列，D正确．故选ABD．
4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【试题来源】湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高二下学期6月第三次月考
【答案】BD
【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，记该等比数列为，公比为，前项和为，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果．
【解析】由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，
记该等比数列为，公比为，前项和为，
则，解得，
所以此人第三天走的路程为，故A错；
此人第一天走的路程比后五天走的路程多里，故B正确；此人第二天走的路程为，故C错；
此人前三天走的路程为，后三天走的路程为，，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正确；故选BD．
5．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【试题来源】湖南省长沙市宁乡一中2019-2020学年高一下学期选科摸底考试
【答案】AD
【分析】根据题意，，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可．
【解析】因为，，，所以，，所以，故A正确．，故B错误；
因为，，所以数列为递减数列，所以无最大值，故C错误；
又，，所以的最大值为，故D正确．故选AD．
6．数列对任意的正整数均有，若，，则的可能值为（ ）
A．1023 B．341
C．1024 D．342
【试题来源】江苏省无锡市宜兴市第二高级中学2020-2021学年高二上学期第一次基础检测
【答案】AB
【分析】首先可得数列为等比数列，从而求出公比、，再根据等比数列求和公式计算可得；
【解析】因为数列对任意的正整数均有，所以数列为等比数列，因为，，所以，所以，
当时，所以，
当时，所以，故选AB．
7．已知数列是是正项等比数列，且，则的值可能是（ ）
A．2 B．4
C． D．
【试题来源】江苏省徐州市新沂市第一中学2020-2021学年高二上学期10月抽测
【答案】ABD
【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出的范围，即可得到所求．
【解析】依题意，数列是是正项等比数列，，，，
，因为，
所以上式可化为，当且仅当，时等号成立．故选．
【名师点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题．
8．在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研B卷试题
【答案】ACD
【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可．
【解析】因为，所以有，因此选项A正确；
因为，所以，
因为常数，所以数列不是等比数列，故选项B不正确；因为，所以选项C正确；
，因为当时，，所以选项D正确．故选ACD
【名师点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力．
9．记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省常州市第三中学2020-2021学年高二上学期10月学情检测
【答案】BC
【分析】根据数列的增减性由所给等式求出，写出数列的通项公式及前n项和公式，即可进行判断．
【解析】数列{an}为单调递增的等比数列，且，
，，解得，
，即，解得或，
又数列{an}为单调递增的等比数列，取，，
，，．
故选BC
【名师点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题．
10．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．当 B．
C． D．
【试题来源】江苏省无锡市江阴市第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】BCD
【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项，公比不同情况的讨论即可求得答案．
【解析】，当时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确； ，当 ，时，为摆动数列，故错误；
，当，时，数列为递减数列，故错误；
，若，且取负数时，则为 摆动数列，故错误，故选BCD．
11．已知等比数列的公比为，前4项的和为，且，，成等差数列，则的值可能为（ ）
A． B．1
C．2 D．3
【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】AC
【分析】运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比的值．
【解析】因为，，成等差数列，所以，
因此，，故．
又是公比为的等比数列，所以由，
得，即，解得或．故选AC．
12．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】ABC
【分析】由题意，设数列的公比为，利用等比数列单调递增，则，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项．
【解析】由题意，设数列的公比为，因为，
可得，当时，，此时，
当时，，故不正确的是ABC．故选ABC．
13．下列命题正确的是（ ）
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列的公差，则是递增数列
C．若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
D．若数列是等差数列，则数列也是等差数列
【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期10月质量检测
【答案】BCD
【解析】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B选项：由等差数列性质知，必是递增数列；
C选项：时，是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立；
D选项：数列是等差数列公差为，所以也是等差数列；故选BCD
14．记为等差数列的前n项和．若，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】扬州市江都区邵伯高级中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测试
【答案】AC
【分析】根据已知条件，构造关于的方程组，即可求解出的值并完成选项的判断．
【解析】因为，所以，故选AC．
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式以及等差数列求和公式中的基本量的计算，难度较易．已知两个关于等差数列的等式，求解等差数列首项和公差的常见方法：（1）化简为关于首项、公差的方程组求解；（2）借助等差数列的性质进行求解．
15．记为等差数列的前项和．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】辽宁省辽阳市2021届高三9月联考
【答案】AC
【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式．
【解析】由题可知，，即，所以等差数列的公差，
所以，．故选AC．
16．已知无穷等差数列的前n项和为，，且，则（ ）
A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大
C． D．当时，
【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一次月考
【答案】AD
【分析】由已知得到，进而得到，从而对ABD作出判定．对于C，利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C错误．
【解析】由已知得：，结合等差数列的性质可知，，该等差数列是单调递减的数列，所以A正确，B错误，D正确，
，等价于，即，等价于，即，
这在已知条件中是没有的，故C错误．故选AD．
17．数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，以下运算和结论正确的是（ ）
A．
B．数列是等比数列
C．数列的前项和为
D．若存在正整数，使，则
【试题来源】湖南省长沙市宁乡一中2019-2020年高一下学期5月月考
【答案】ACD
【分析】依次判断每个选项的正误：计算；得出通项公式和前项和得到错误正确；计算得到，，；得到答案．
【解析】以为分母的数共有个，故，故正确；为等差数列，错误；
数列的前项和为，正确；
根据（3）知：即；，此时，正确；故选．
18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省苏州市第一中学2020-2021学年高二上学期期初
【答案】ABCD
【分析】由题意可得数列满足递推关系，对照四个选项可得正确答案．
【解析】对A，写出数列的前6项为，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，由，，，……，，
可得：．故是斐波那契数列中的第2020项．
对D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，
，故D正确；故选ABCD．
【名师点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换．
19．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省苏州市张家港市外国语学校2020-2021学年高三上学期期中模拟测试
【答案】ACD
【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案．
【解析】对于A，写出数列的前6项为，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，由，，，……，，可得：，
故C正确．
对于D，斐波那契数列总有，则，，，……，，，可得，故D正确；
故选ACD．
【名师点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题．
20．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，则（ ）
A． B．数列是递增数列
C．时，的最小值为13 D．数列中最小项为第7项
【试题来源】江苏省连云港市东海县第二中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】ACD
【解析】由已知得，，又，所以，故A正确；由，解得，又，当时，，时，，
又，所以时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，所以数列不是递增数列，故B不正确；
由于，而，所以时，的最小值为13，故C选项正确 ；
当时，，时，，当时，，时，，所以当时，，，，时，为递增数列，为正数且为递减数列，所以数列中最小项为第7项，故D正确；
21．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列．斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为，则的通项公式为（ ）
A．
B．且
C．
D．
【试题来源】福建省永泰一中2021届高三上学期数学月考试题
【答案】BC
【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；
【解析】斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，
显然，，，，，所以且，即B满足条件；由，
所以
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以,所以，
令，则，所以，
所以以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
即C满足条件；故选BC
【名师点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．
22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列． 并将数列中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为，则下列结论正确的是( )
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届高三第9次模拟考试
【答案】AB
【分析】由可得，可判断B、D选项；先计算数列前几项可发现规律，使用归纳法得出结论：数列是以6为最小正周期的数列，可判断A、C选项．
【解析】对于A选项：
，，所以数列是以6为最小正周期的数列，又，所以，故A选项正确；
对于C选项：，故C选项错误；对于B选项：斐波那契数列总有：，
所以，，
所以，故B正确；
对于D选项：，，
，，．
所以

，故D选项错误；故选AB．
【名师点睛】本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题．
23．已知数列满足
给出下列四个命题，其中的真命题是（ ）
A．数列单调递增 B．数列 单调递增
C．数从某项以后单调递增 D．数列从某项以后单调递增
【试题来源】2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试
【答案】BCD
【分析】计算得到，A错误，化简，B正确，，C正确，，
D正确，得到答案．
【解析】因为，所以，
当时， ，所以，所以A错误；
，，
所以是等比数列，，所以B正确；
，故，C正确；
因为，所以，
根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确．故选．
24．已知数列，均为递增数列，的前项和为，的前项和为．且满足，，则下列说法正确的有( )
A． B．
C． D．
【试题来源】江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高二上学期阶段考试
【答案】ABC
【解析】数列中，，两式相减得，所以数列为隔项以2为公差的等差数列形式；
数列中，，两式相除得
所以数列为隔项以2为公比的等比数列形式；
A选项因为，所以即，又数列为递增数列，所以即，所以，正确；
B选项因为，所以即，又数列为递增数列，所以，正确；
因为



因为CD选项中只有一个正确，取特值，当时，
所以C选项正确，D选项错误．故选ABC
【名师点睛】本题考查数列的综合问题，涉及由递推公式确定数列关系，递增数列的性质，分组求和求前n项和，还考查了基本不等式与数列的综合问题，属于难题．
25．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，，下列结论正确的是( )
A．S2019