专题4 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题4 空间向量及其运算的坐标表示
考点1空间直角坐标系
1.在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为(　　)
A．(0，，0)
B．(0，，)
C．(1，0，)
D．(1，，0)
【答案】D
【解析】点P(1，，)关于平面xOy的对称点是P1(1，，－)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，，0)，故选D.
2.如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B的中点，则点E的坐标为(　　)

A．(2，2，1)
B．(2，2，)
C．(2，2，)
D．(2，2，)
【答案】A
【解析】因为几何体是正方体，在坐标系中，E点的横坐标是2，纵坐标是2，竖坐标是1，所以E(2，2，1)．故选A.
3.如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′的边长AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则这个长方体中A′，B′，C′，D′的坐标分别为____________．

【答案】A′(0，0，5)，B′(12，0，5)，C′(12，8，5)，D′(0，8，5)
【解析】A′在z轴上，故A′(0，0，z)，又AA′＝5，故z＝5，故A′(0，0，5)；B′在xOz平面内，故B′(x，0，z)．
又AB＝12，则x＝12，AA′＝5，则z＝5.
故B′(12，0，5)．同理，C′(12，8，5)，D′(0，8，5)．
4.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有的棱长均为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当的坐标系写出各顶点的坐标．

【答案】取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.

因为三棱柱各棱长均为2，
所以OA＝OC＝1，OB＝，
可得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，
A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)．
考点2 空间中点的对称问题
5.以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为(　　)
A．(0，，)
B．(，0，)
C．(，，0)
D．(，，)
【答案】B
【解析】由题意如图，平面AA1B1B对角线交点的横坐标为AB的中点值，竖坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为(，0，)．故选B.

6.已知点A(－3，1，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为(　　)
A．(1，－3，－4)
B．(－4，1，－3)
C．(3，－1，－4)
D．(4，－1，3)
【答案】C
【解析】由题意可得点A(－3，1，4)，
所以根据空间中点的位置关系可得：点A关于原点的对称点A′的坐标就是取原来横坐标、纵坐标、竖坐标数值的相反数，所以可得A′(3，－1，－4)．
故选C.
7.在空间直角坐标系中，点P(2，3，5)与Q(2，3，－5)两点的位置关系是(　　)
A．关于x轴对称
B．关于平面xOy对称
C．关于坐标原点对称
D．以上都不对
【答案】B
【解析】因为在空间直角坐标系中，点P(2，3，5)与Q(2，3，－5)，两个点的横坐标，纵坐标相同，竖坐标相反，所以两点关于平面xOy对称，故选B.
8.在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于平面xOy的对称点的坐标是(　　)
A．(－2，1，－4)
B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1，4)
D．(2，1，－4)
【答案】A
【解析】过点P向平面xOy作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P′连线的中点，又N(－2，1，0)，所以对称点为P′(－2，1，－4)，故选A.
9.已知点A(－4，8，6)，则点A关于y轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－4，－8，6)
B．(－4，－8，－6)
C．(－6，－8，4)
D．(4，8，－6)
【答案】D
【解析】点A(－4，8，6)，则点A关于y轴对称的点的坐标是(4，8，－6)．故选D.
10.在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：
①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；
②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；
③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；
④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．
其中正确叙述的个数为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】C
【解析】对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.
11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和D1B1的中点，棱长为1，求E，F点的坐标．

【答案】解方法一　从图中可以看出E点在xOy平面上的射影为B，而B点的坐标为(1，1，0)，E点的竖坐标为，所以E点的坐标为(1，1，)；F点在xOy平面上的射影为G，而G点的坐标为(，，0)，F点的竖坐标为1，所以F点的坐标为(，，1)．
方法二　从图中条件可以得到B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，B(1，1，0)．E为BB1的中点，F为D1B1的中点，由中点坐标公式得E点的坐标为(，，)＝(1，1，)，F点的坐标为(，，)＝(，，1)
12.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1和D1B1的中点，棱长为1.

求：(1)点B1(1，1，1)关于平面xOy对称的点的坐标；
(2)点B1(1，1，1)关于z轴对称的点的坐标；
(3)点B1(1，1，1)关于原点D对称的点的坐标．
【答案】解(1)设所求的点为B0(x0，y0，z0)，由于B(1，1，0)为B0B1的中点，所以
解得所以B0(1，1，－1)．
(2)设所求的点为P(x1，y1，z1)，因为D1(0，0，1)为PB1的中点，所以
解得所以P(－1，－1，1)．
(3)设所求的点为M(x2，y2，z2)，因为D(0，0，0)为MB1的中点，所以
解得所以M(－1，－1，－1)．
13.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心为坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其它7个顶点的坐标．

【答案】解长方体的对称中心为坐标原点O，因为顶点坐标A(－2，－3，－1)，所以A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)．又因为C与C1关于坐标平面xOy对称，所以C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称，所以A1(－2，－3，1)．
又因为C与D关于坐标平面xOz对称，所以D(2，－3，－1)．
因为B与C关于坐标平面yOz对称，所以B(－2，3，－1)．
B1与B关于坐标平面xOy对称，所以B1(－2，3，1)．
同理D1(2，－3，1)．
综上可知，长方体的其它7个顶点的坐标分别为
C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(－2，3，－1)，B1(－2，3，1)，D(2，－3，－1)，D1(2，－3，1)．

考点3 空间向量运算的坐标表示
14.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是(　　)
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2)，若(ka＋b)⊥(2a－b)，则(ka＋b)·(2a－b)＝0，∴3(k－1)＋2k－4＝0，∴k＝，故选D.
15.已知点A(－3，－1，－4)关于原点的对称点为A1，点A在xOz平面上的射影为A2，则在y轴正方向上的投影为(　　)
A．2
B．－1
C．1
D．－2
【答案】B
【解析】A1的坐标为(3，1，4)，A2的坐标为(－3，0，－4).＝(－6，－1，－8)，
y轴正方向上的单位向量e＝(0，1，0)，∴投影为·e＝－1.
16.已知向量＝(2，－2，3)，向量＝(x，1－y，4z)，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则(x，y，z)等于(　　)
A．(－2，－4，－1)
B．(－2，－4，1)
C．(－2，4，－1)
D．(2，－4，－1)
【答案】A
【解析】由条件(2，－2，3)＋(x，1－y，4z)＝2，∴(x＋2，－1－y，3＋4z)＝(0，3，－1)，∴
17.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|等于(　　)
A．3
B．2
C．
D．5
【答案】A
【解析】∵a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)，
∴|a－b＋2c|＝3.
18.如下图AC1是正方体的一条体对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则PQ与AC1所成的角为(　　)

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设正方体棱长为1，以点A1为坐标原点，A1B1、A1D1、A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P，Q，A(0，0，1)，C1(1，1，0)，所以，＝(1，1，－1)，故·＝－×1＋1×1＋×(－1)＝0，
∴⊥，即PQ与AC1所成的角为.
19.以正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是(　　)

A．(1，，)
B．(1，1，)
C．(，，)
D．(，，1)
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为1，则点DB1的坐标为(1，1，1)，DB1＝(1，1，1)．
20.已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为⊥，所以·＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4，
因为BP⊥平面ABC，所以⊥，且⊥，即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，
且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.解得x＝，y＝－，于是＝.
21.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)

A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的的角为定值
【答案】D
【解析】如图，连接BD，易证AC⊥平面BB1D1D，又BE平面BB1D1D∴AC⊥BE，故A正确，∵B1D1∥平面ABCD，又E，F在B1D1上运动，∴EF∥平面ABCD，故B项正确．
由于点B到直线B1D1的距离不变，故△BEF的面积为定值，又点A到平面BEF的距离为定值，故VA－BEF为定值，故C项正确，当点E在D1处，F为D1B1的中点时，建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1，1，0)，B(0，1，0)，E(1，0，1)，F，

又||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝，
∴与BF成30°角；当E为D1B1中点，F在B1处时，E，F(0，1，1)，
∴＝，＝(0，0，1)，
∴·＝1，||＝，||＝1，
∴cos〈，〉＝≠，故选D.
22.某几何体如图所示，底面ABCD是边长为2的正方形，ACFE是平行四边形，AE＝2，∠EAB＝∠EAD＝60°.

(1)求·的值；
(2)求||.
【答案】解(1)如图所示，建立空间直角坐标系．

过点E作EO⊥平面ABCD，垂足为O，过点O分别作OM⊥AB，ON⊥AD，垂足分别为M，N，连接EM，EN.
则AB⊥EM，AD⊥EN.
在Rt△AEM中，AE＝2，∠EAM＝60°，则AM＝1，同理AN＝1.在Rt△AOM中，∠OAM＝45°，∴OM＝1，OA＝，∴在Rt△AEO中，∠EAO＝45°，
∴E(1，1，)，F(3，3，)，C(2，2，0)．
∴＝(1，1，)，＝(3，3，)，
∵·＝3＋3＋×＝8；
(2)由(1)可得：＝(3，3，)，∴||＝＝2.
23.在长方体AC1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于点N，BC1与B1C交于点M，且⊥，建立空间直角坐标系．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉
【答案】解(1)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

设AA1＝a，则B(4，4，0)，N(2，2，a)，A(4，0，0)，M，
所以＝(－2，－2，a)，＝.
由⊥，得·＝0，
所以4－8＋＝0，解得a＝2，所以的长为2.
(2)由(1)可得＝(－2，－2，2)，＝(－4，0，2)，
所以cos〈，〉＝＝.