专题五 椭圆的几何性质（专题测试）-2020-2021学年高二数学知识串讲与专题测试（人教A版2019选择性必修第一册）（圆锥曲线篇）

专题五 椭圆的几何性质（专题训练）

一、单选题

1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设，则

由椭圆的定义，可以得到

,

在中，有，解得

在中，有

整理得，，故选C项.

2．已知正方体，P是平面上的动点，M是线段的中点，满足PM与所成的角为，则动点P的轨迹为（    ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

【答案】B

【解析】在正方体中，连接相交于点

所以，又平面，所以

又，所以平面

以为原点，分别为轴和轴，

然后过点作的平行线为轴

建立如图所示空间直角坐标系

设，

所以

由PM与所成的角为

所以

化简可得，即

所以点的轨迹为椭圆，故选：B

3．已知椭圆的离心率为，若面积为的矩形的四个顶点都在椭圆上，点为坐标原点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由椭圆的离心率为，解得，

所以椭圆的方程为，

不失一般性，设，

由椭圆与矩形的对称性可得该矩形的面积，

所以，即或，可得，

所以，故选：D.

4．定点，动点Q在圆上，线段的垂直平分线交于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（    ）

A．圆 B．直线 C．双曲线 D．椭圆

【答案】D

【解析】

如图所示：

因为，所以，因此点的轨迹是以为焦点，长轴长为，焦距为的椭圆．故选：D．

5．已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设椭圆的下焦点为，圆的圆心为，线段的中点为，

因为，所以，即；

所以，由于，所以；

因为线段PF与圆相切于点Q，

所以，所以，所以；

因为，所以；

根据椭圆定义可得，所以有，整理得，

所以离心率.故选：B.

6．已知椭圆的两焦点，和双曲线的两焦点重合，点P为椭圆和双曲线的一个交点，且，椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，，不妨设在第一象限，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，

则，解得，

在中由余弦定理得，

∴，，，

，　∴，

∴，当且仅当时等号成立．

所以的最小值为．故选：A．

7．已知椭圆C：的右焦点为F，O为坐标原点，C上有且只有一个点P满足，则C的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据对称性知在轴上，，故，，解得，，

故椭圆方程为：.

故选：D.

8．已知抛物线与椭圆交于点，若抛物线C的焦点F也是椭圆E的焦点，则实数a的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由题意：对于抛物线，有，

所以抛物线C的焦点为，

所以对于椭圆E，有，

解得或，

又因，即，

所以，

所以.故选：A

9．若方程C：（是常数）则下列结论正确的是（   ）

A．，方程C表示椭圆 B．，方程C表示双曲线

C．，方程C表示椭圆 D．，方程C表示抛物线

【答案】B

【解析】∵当 时，方程C：即 表示单位圆 使方程 不表示椭圆．故A项不正确；∵当a 时，方程C：表示焦点在 轴上的双曲线 方程表示双曲线，得B项正确； ，方程不表示椭圆，得C项不正确
∵不论 取何值，方程C：中没有一次项 方程不能表示抛物线，故D项不正确，综上所述，可得B为正确答案，故选B

10．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为3，则点到其另一个焦点的距离等于（    ）

A．2 B．3 C．1 D．

【答案】C

【解析】根据题意，椭圆的标准方程为：，则其焦点在轴上，且，

若椭圆上一点到它的一个焦点的距离等于3，那么点到另一个焦点的距离为，

故选：C．

11．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）

A．

B．

C．或

D．以上都不对

【答案】C

【解析】由题意可得：，解得：，

当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，

当椭圆焦点位于轴时，其标准方程为：，本题选择C选项.

12．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，椭圆的长轴长是短轴长的倍，即，

则椭圆的离心率为，故选B.

二、填空题

13．如图，过原点O的直线AB交椭圆于A，B两点，过点A分别作x轴、AB的垂线AP．AQ交椭圆C于点P．Q，连接BQ交AP于一点M，若，则椭圆C的离心率是__________．

【答案】

【解析】设），

则，

由，则，

再由B，M，Q三点共线，则，

故，故即

，

又因为，，

即，

所以，故椭圆C的离心率是．

故答案为：

14．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是_____

【答案】

【解析】由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，

即F点到P点与A点的距离相等，

而，

于是，即，

⇒，

又，故，

故答案为.

15．已知是椭圆的长轴的两个端点，是椭圆上的动点，且的最大值为，则椭圆的离心率为______．

【答案】

【解析】

因为是椭圆上的动点，当的最大值为，由椭圆性质得此时是短轴顶点

且 ，所以 ，解得

故答案为：

16．已知直线为经过坐标原点且不与坐标轴重合的直线，且与椭圆相交于两点，点为椭圆上异于的任意一点，若直线和的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.

【答案】

【解析】由题知：设，，.

则，.

因为，所以.

又因为，在椭圆上，所以，，

两式相减得，即.

所以，即.

则.

故答案为：

三、解答题

17．已知椭圆的短轴长等于，右焦点F距C最远处的距离为3．

(1)    求椭圆C的方程；

(2)    设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若，求四边形面积S的最大值．

【答案】（1）；（2）1

【解析】（1）由已知得，，

（2）因为过 的直线与交于两点（不在轴上），

所以设，

设

则

，

，由对勾函数的单调性易得当即

18．已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程.

【答案】（Ⅰ）y2=1；（Ⅱ）x﹣y0或x+y0.

【解析】（Ⅰ）直线x+y=1与y轴的交于（0，1）点，∴b=1，

设直线x+y=1与椭圆C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），

则x1+x2，y1+y2，

∴1，1，

两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）=0，

∴，

∴ 1，

解得a2=3，

∴椭圆C的方程为y2=1.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（，0），F2（，0），设A（x3，y3），B（x4，y4），

可设直线l的方程x=my，将直线l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y2﹣2my﹣1=0，

则y3+y4，y3y4，

|y3﹣y4|，

∴|F1F2||y3﹣y4|||y3﹣y4|，

当且仅当，即m=±1，△ABF2面积最大，

即直线l的方程为x﹣y0或x+y0.