专题02 解三角形（多选题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题02  解三角形（多选题）

1．在中，角所对的边分别为，已知，，下列判断正确的是（    ）

A．若，则角有两解 B．若，则角有两解

C．为等边三角形时周长最大 D．为等边三角形时面积最小

【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考

【答案】BC

【分析】根据正弦定理分析求解．

【解析】A．由得，又，所以，为锐角，只有一解，A错；

B．由，得，又，所以，角有两解，则角有两解，B正确；

C．由得

，

，当且仅当时，等号成立，此时三角形周长最大，三角形为正三角形．C正确；

D．由C的推导过程知，当且仅当时等号成立，即最大值是16，此时最大，又，三角形为正三角形，D错．

故选BC．

【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，有解三角形时，在已知两边和其中一边对称解三角形时，利用正弦定理求解，可能有两解．

2．在中，由已知条件解三角形，其中有唯一解的有（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末模拟

【答案】AB

【分析】在已知两边及一边对角时解三角形可能出现两解、无解等情况，这里可求出角的正弦值，根据三角形边角关系判断．

【解析】A已知两角，一边，三角形是确定的，只有唯一解；

B已知两边及夹角，用余弦定理解得第三边，唯一；

C由正弦定理得，

又，即，所以可能为锐角，也可能为钝角，两解；

D中，角只能为锐角，已知为钝角，三角形无解．故选AB．

【名师点睛】本题考查解三角形，考查三角形解的的个数问题，在解三角形中只有在“已知两边及一边对角时解三角形”可能出现两解、无解等情况，判断方法可根据三角形边角关系及正弦值判断．

3．已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（    ）

A．若，则一定是等腰三角形

B．若，则是等腰或直角三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，且，则是等边三角形

【试题来源】江苏省徐州市铜山区、南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期第一次抽测

【答案】ABD

【分析】A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；

B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；

C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；

D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果．

【解析】A．因为，所以，

所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；

B．因为，

所以，

所以，

所以，所以，

所以，所以或，

所以为等腰或直角三角形，故正确；

C．因为，所以，所以，

所以，所以，所以或，所以为等腰或直角三角形，故错误；

D．因为，所以，所以或（舍），所以，

又因为，所以且，所以，

所以，所以，所以，所以，

所以，所以为等边三角形，故正确．

故选ABD．

【名师点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般．利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“”．

4．下列结论正确的是（    ）

A．在中，若，则

B．在锐角三角形中，不等式恒成立

C．在中，若，，则为等腰直角三角形

D．在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为

【试题来源】湖北省武汉市江岸区2019-2020学年高一下学期期末

【答案】ABC

【分析】对选项A，利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确；对选项B，利用余弦定理，即可判断B正确，对选项C，首先根据余弦定理得到，利用正弦定理边化角公式得到，再化简即可判断选项C正确．对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D错误．

【解析】对选项A，在中，由，

故A正确．

对选项B，若，则，

又因为，所以为锐角，符合为锐角三角形，故B正确．

对选项C，，整理得：．

因为，所以，即．

所以，即，

，

即，又，所以．

故，则为等腰直角三角形，故C正确．

对选项D，，解得．

，所以．

又因为，，故D错误．故选ABC

【名师点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题．

5．对于，有如下命题，其中正确的有（    ）

A．若，则是等腰三角形

B．若是锐角三角形，则不等式恒成立

C．若，则为钝角三角形

D．若，，，则的面积为或

【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高三上学期10月检测

【答案】BCD

【分析】根据正余弦定理依次讨论各选项即可得答案．

【解析】对于A选项，由得或，故是等腰三角形或直角三角形，故不正确；

对于B选项，由锐角三角形得，故，故根据正弦函数性质得，故命题成立；

对于C选项，，，

由正弦定理得，又，所以角为钝角，所以为钝角三角形，故C正确；

对于D选项，，，，，

又，

或，或，或，

故D正确．故选BCD

【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生逻辑推理与运算求解能力．

6．在中，角所对的边分别为，给出下列四个命题中，其中正确的命题为（    ）

A．若，则；

B．若，则；

C．若，则这个三角形有两解；

D．当是钝角三角形．则．

【试题来源】湖北省武汉市蔡甸区实验高级中学2020-2021学年高二上学期10月联考

【答案】BCD

【分析】A，求出，即可由正弦定理求出；B，由得出，即得，由正弦定理即可判断；C，由正弦定理解三角形即可判断；D，由和的正切个数化简可判断．

【解析】对于A，若，，，由正弦定理可得，故A错误；

对于B，，且在单调递减，若，则，由三角形中大边对大角得，再由正弦定理得，故B正确；

对于C，由正弦定理得，则，

因为，故有两解，故C正确；

对于D，在中，，则，当是钝角三角形，若或为钝角，则，满足；若为钝角，则，即，满足，故D正确．故选BCD．

【名师点睛】本题考查正弦定理的应用，考查和的正切公式的应用，属于基础题．

7．在中，，则的面积可以是（    ）

A．  B．1

C．  D．

【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高一下学期6月月考

【答案】AD

【分析】由余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可求出答案．

【解析】因为，

由余弦定理得，

所以，所以，或，

所以由的面积公式得或，

故选AD．

【名师点睛】本题主要考查三角形的面积公式的应用，考查余弦定理解三角形，属于基础题．

8．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（    ）

A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形

C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形

【试题来源】专题14三角函数（3）-2020年新高考新题型多项选择题专项训练

【答案】ABC

【分析】由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各个选项即可得解．

【解析】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；

对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是等腰三角形，，

说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；

对于选项，当时，，

根据正弦定理不妨设，，，

可得，

说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；

对于选项，当时，，

根据正弦定理不妨设，，，

此时，不等构成三角形，故命题错误．故选．

【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，利用正弦定理进行边角转化，再利用余弦定理求出角度的范围即可判断三角形形状，意在考查学生对定理的掌握与应用，属于基础题．

9．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ）．

A．若，则

B．若，，，则为钝角三角形

C．若，，，则符合条件的三角形不存在

D．若，则为直角三角形

【试题来源】福建省三明第一中学2021届高三上学期第一次月考

【答案】ACD

【分析】利用正余弦定理逐一判断即可．

【解析】若，则，所以由正弦定理可得，故A正确；

若，，，则，所以角为锐角，即为锐角三角形，故B错误；

若，，，根据正弦定理可得

所以符合条件的三角形不存在，即C正确

若，则，

所以，所以，即，故D正确，故选ACD

【名师点睛】本题主要考查的是正余弦定理，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单．

10．在中，内角的对边分别为若，则角的大小是(    )

A．  B．

C．  D．

【试题来源】海南省临高二中2019-2020学年度高一下学期期末考试

【答案】BD

【分析】由正弦定理可得，所以，而，可得，即可求得答案．

【解析】由正弦定理可得， ，而，

， ，故或．故选BD．

【名师点睛】本题考查了根据正弦定理求解三角形内角，解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断，考查了分析能力和计算能力，属于中等题．

11．在中，角所对的边的长分别为，则满足下面条件的三角形一定为直角三角形的是（    ）

A． B．

C． D．

【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二上学期期末

【答案】ACD

【分析】根据选项的边角关系，结合正弦定理，判断选项是否为直角三角形．

【解析】对于A选项，，

利用正弦定理角化边有，

整理得，

有，因为，所以，故选项A正确，

对于B选项，可知当三角形为等边三角形时，等式同样成立，故选项B错误，

对于C选项，，根据半角公式有，

，

整理得，故选项C正确，

对于D选项，，

因为在任意的三角形中都有，

所以两式相加可得，

整理得，故选项D正确．故选ACD．

【名师点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，属于基础题．

12．根据下列条件解三角形，有两解的有（    ）

A．已知a，b＝2，B＝45° B．已知a＝2，b，A＝45°

C．已知b＝3，c，C＝60° D．已知a＝2，c＝4，A＝45°

【试题来源】江苏省苏州大学附属中学2020-2021学年高二上学期期初

【答案】BD

【分析】直接利用三角形的解的情况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果．

【解析】对于选项A：由于a，b＝2，B＝45°，利用正弦定理，解得sinA，由于a＜b，所以A，所以三角形有唯一解．

对于选项B：已知a＝2，b，A＝45°，利用正弦定理，解得，又，则或，故三角形有两解．

对于选项C：已知b＝3，c，C＝60°，所以利用正弦定理，所以sinB＝1．5＞1，故三角形无解．

对于选项D：已知a＝2，c＝4，A＝45°，由于a＞csinA，即以顶点B为圆心，a为半径的圆与AC射线有两个不同交点，故三角形有两解．故选BD．

【名师点睛】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角形的解的情况的判定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

13．在中，角、、的对边分别为、、，，则（    ）

A． B．

C． D．可能为锐角三角形

【试题来源】卓越联盟2020-2021学年新高考省份高三年级9月份检测

【答案】ABCD

【分析】根据题中条件，先由正弦定理，可判断A正确；根据余弦定理，可判断B正确；根据两角和与差的正弦公式，可判断C正确；根据特殊值可判断D正确．

【解析】因为，由正弦定理可得，，即A正确；

又由可得，即，所以B正确；

由可得，所以或（舍），故C正确；

由上推导可知，，所以可能为锐角三角形，如：，，，所以D正确；

故选ABCD．

【名师点睛】本题主要考查正余弦定理的简单应用，涉及两角和与差的正弦公式，属于常考题型．

14．已知双曲线的一条渐近线，设，是C的左右焦点，点P在l上，且，O为坐标原点，则（    ）

A．C的虚轴长为 B．

C． D．的面积为

【试题来源】河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底

【答案】ABD

【分析】求出双曲线的标准方程和基本量，根据双曲线的定义及直角三角形的有关性质逐一选择．

【解析】由渐近线，可得，，，所以虚轴长为，A正确；

由，为直角三角形，B正确；

因为点P不在双曲线上，根据双曲线的定义，C不正确；

由渐近线，知，，

，D正确．故选 ABD

【名师点睛】本题考查由根据渐近线方程确定双曲线的基本量，同时考查双曲线的定义，属于基础题．

15．已知中，角，，的对边分别为，，，且，则角的值不可能是（    ）

A．45°  B．60°

C．75°  D．90°

【试题来源】重庆市第一中学2021届高三上学期第一次月考

【答案】CD

【分析】先利用正弦定理得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，即可判断．

【解析】因为，由正弦定理得：所以，

所以，

当且仅当时取等号，又，故．故选CD．

【名师点睛】本题主要考查了正弦定理以及余弦定理，考查了基本不等式．属于较易题．

16．中，，，则下列叙述正确的是（    ）

A．的外接圆的直径为4．

B．若，则满足条件的有且只有1个

C．若满足条件的有且只有1个，则

D．若满足条件的有两个，则

【试题来源】江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末

【答案】ABD

【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．

【解析】由正弦定理得，故正确；

对于，，选项：如图：以为圆心，为半径画圆弧，该圆弧与射线的交点个数，即为解得个数．

易知当，或即时，三角形为直角三角形，有唯一解；

当时，三角形是等腰三角形，也是唯一解；

当，即，时，满足条件的三角形有两个．

故，正确，错误．故选．

【名师点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．

17．在中，角，，的对边分别为，，，则下列结论中正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则是等腰三角形

C．若，则是直角三角形

D．若，则是锐角三角形

【试题来源】江苏省南通市启东中学2019-2020学年高一下学期阶段调研测试

【答案】AC

【分析】对选项A，利用正弦定理边化角公式即可判断A正确；对选项B，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B错误；对选项C，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C正确；对D，首先根据余弦定理得到为锐角，但，无法判断，故D错误．

【解析】对选项A，，故A正确；

对选项B，因为

所以或，则是等腰三角形或直角三角形．故B错误；

对选项C，因为，

所以，

，，

因为，所以，，是直角三角形，故③正确；

对D，因为，所以，为锐角．

但，无法判断，所以无法判断是锐角三角形，故D错误．故选AC

【名师点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题．

18．下列命题中，正确的是（    ）

A．在中，，

B．在锐角中，不等式恒成立

C．在中，若，则必是等腰直角三角形

D．在中，若，，则必是等边三角形

【试题来源】江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一下学期4月阶段测试

【答案】ABD

【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得：，代入已知可得，又，即可得到的形状，即可判断出正误．

【解析】对于，由，可得：，利用正弦定理可得：，正确；

对于，在锐角中，，，，，

，因此不等式恒成立，正确；

对于，在中，由，利用正弦定理可得：，

，，，或，

或，是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，错误．

对于，由于，，由余弦定理可得：，

可得，解得，可得，故正确．故选．

【名师点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题．

19．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则以下结论正确的是（    ）．

A． B．

C． D．

【试题来源】福建省莆田第二十五中学2021届高三上学期月考二

【答案】ABC

【分析】结合向量知识判断，即可得出答案．

【解析】对A，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，，

所以，故A对；

由上得，，B对；

对C，与的夹角为90°，

又因，根据平行四边形法则，C对；

对D，，，

中，由余弦定理可得，，D错；故选ABC

【名师点睛】本题考查向量的基础知识，向量线性运算的基本法则，余弦定理解三角形，属于中档题．

20．在中，角所对的边分别为，以下结论中正确的有（    ）

A．若 ，则 ；

B．若，则一定为等腰三角形；

C．若，则为直角三角形；

D．若为锐角三角形，则 ．

【试题来源】江苏省南京市第二十九中学2020-2021学年高三上学期学情调研

【答案】AC

【分析】结合三角形的性质、三角函数的性质及正弦定理，对四个选项逐个分析可选出答案．

【解析】对于A，由正弦定理，所以由，可推出，则，即A正确；

对于B，取，则，而不是等腰三角形，即B错误；

对于C，，

则，由正弦定理可得，故为直角三角形，即C正确；

对于D，若锐角三角形，取，此时，即，故D错误．故选AC．

【名师点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数、解三角形知识，考查学生推理能力与计算求解能力，属于中档题．

21．以下关于正弦定理或其变形正确的有（　　）

A．在ABC中，a：b：c＝sin A：sin B：sin C

B．在ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则a＝b

C．在ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B，若A＞B，则sin A＞sin B都成立

D．在ABC中，

【试题来源】辽宁省瓦房店市高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试

【答案】ACD

【分析】对于A，由正弦定理得a：b：c＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；

对于B，由题得A＝B或2A+2B＝π，即得a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；

对于C，在ABC中，由正弦定理可得A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；

对于D，由正弦定理可得右边＝＝左边，故该选项正确．

【解析】对于A，由正弦定理，可得a：b：c＝2RsinA：2RsinB：2RsinC＝sinA：sinB：sinC，故该选项正确；

对于B，由sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A+2B＝π，即A＝B或A+B＝，所以a＝b或a2+b2＝c2，故该选项错误；

对于C，在ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，因此A＞B是sinA＞sinB的充要条件，故该选项正确；

对于D，由正弦定理，可得右边＝＝左边，故该选项正确．

故选ACD．

【名师点睛】本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．

22．在中，在线段上，且，若，，则（    ）

A． B．的面积为

C．的周长为 D．为钝角三角形

【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期9月月考

【答案】BCD

【分析】由已知结合余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可．

【解析】由可得，故错误；

设，，

在中由余弦定理可得，，

整理可得，，解得，即，，

所以，故正确；

由余弦定理得

即，解得

故周长，故正确；

由余弦定理可得，，

故为钝角，正确，故选．

【名师点睛】本题综合考查了余弦定理，三角形的面积公式及同角平方关系的应用，属于中档题．