专题02 解三角形（解答题）（理）（9月第02期）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题02 解三角形（解答题）
1．（甘肃省会宁县第四中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（文）试题）在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.
（1）求B；
（2）若，求sinC的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由，可得，
又由，得，
所以，得；
（2）由，可得，
则.
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.
2．（河北省唐山市开滦一中2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在中，，．
（1）求的值；
（2）若，求b的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据正弦定理可求得的值；（2）根据余弦定理列方程解得b的值.
【解析】（1）因为，所以由正弦定理得；
（2）因为，，所以
由余弦定理得

3．（天津市滨海新区2020届高三下学期居家反馈数学试题）如图，在四边形中，，，，，.

（1）求的长；
（2）求的面积.
【答案】（1）7；（2）.
【解析】（1）在中，因为，,
所以．根据正弦定理，有 ,
代入解得．
（2）在中，根据余弦定理．
代入，得，所以,
所以
【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式，考查学生计算能力，属于基础题．
4．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在中，点在边上，，．

（1）若，求；
（2）若，求的值．
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）在中，由余弦定理得，，
即，解得（负值舍去）．
（2）在中，，
在中，由正弦定理得，①，
在中，由正弦定理得，②，
由①②得，，
即，，
即，．
5．（辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末考试试题）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？

【答案】
【解析】如图，连接,由题意知,，所以.又，所以是等边三角形.
所以 .
由题意知，，
在中， ，所以.
因此，乙船速度的大小为.
答：乙船每小时航行.

6．（四川省南充市2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题）的内角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求；
（2）求中的最长边.
【答案】（1）；（2）最长边为.
【分析】（1）根据tanA和tanB的值计算出tanC.（2）由（1）可得C为钝角，c边最长，进而根据正弦定理求得c．
【解析】（1）因为.
（2）由（1）知为钝角，所以为最大角，
因为，所以，又，所以.
由正弦定理得：，所以为最大边.
7．（山东省菏泽市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在平面四边形中，已知，.

（1）若，求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）1.
【分析】（1）在中，利用余弦定理求出，进而在中求出；
（2）在和中分别使用余弦定理表示，联立方程组可得出的值．
【解析】（1）在中，，，，
，得，
所以，，；
（2）在中，由余弦定理得，
在中，由，，
得，所以为定值1.
8．（吉林省松原市扶余市第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）在中，角，，的对边分别是，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，，求，的长．
【答案】（1）；（2）；．
【分析】（1）首先利用正弦定理对题中所给的式子进行变形，整理得到，即可求得结果；（2）代入条件可直接求出，再由余弦定理可求出c.
【解析】（1）由及正弦定理，得，
又，所以，因为，所以；
（2）由，，，
得，解得,
由余弦定理，得，，
即．解得或，
又，，所以．
9．（河南省商丘一中2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知，，分别是中角，，的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由已知根据正弦定理得再根据余弦定理及三角形内角可求得角的大小；（2）将带入，得，由余弦定理可得再由及平方关系可得，则可求.
【解析】（1）由已知,
根据正弦定理得, 由余弦定理，得
，；
（2）将带入，得，
由余弦定理，得，
,，.
10．（江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期第二次月度质量检测数学试题）在中，角，，的对边分别是、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据正弦定理将边化为角,再由正弦的和角公式化简即可求得角的大小；
（2）根据三角形面积公式先求得，再代入余弦定理即可求得的值．
【解析】（1）∵，
由正弦定理代入化简可得，
即，
，即，
，，即，又，， 
（2） ，由（1）知，
结合三角形面积公式可知，，
由余弦定理有，.
11．（山西省2019-2020学年高一下学期期末数学（文）试题）在中,角所对的边分别为,且.
（1）求;
（2）若,求的周长.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用正弦定理，求得，即可求出A，根据已知条件算出，再由大边对大角，即可求出C；（2）易得，根据两角和正弦公式求出，再由正弦定理求出和，即可得到答案.
【解析】（1）由正弦定理得,又,所以，
从而,因为,所以.
又因为，，所以.
（2）由（1）得
由正弦定理得，可得,.
所以的周长为.
【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：
（1）已知两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；
（2）已知两角与一个角的对边，求另一个角的对边；
（3）证明化简过程中边角互化；
（4）求三角形外接圆半径.
12．（海南省临高中学2019-2020学年度高一下学期期末考试数学试题）已知的三个内角的对边分别为，且，，.
（1）求；
（2）求边上的高.
【答案】（1）；.（2）.
【分析】（1）先利用正弦定理得到的关系，再利用余弦定理求出即可；（2）由（1）的结论，再结合余弦定理即可求出，利用同角三角函数的基本关系求出，利用边上的高为，即可得出结果.
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，即，
又因为，，
则，
整理可得：.
（2）由（1）可得，则，
所以边上的高为.
13．（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一下学期学情检测数学试题）在△中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求△的面积．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理可得，，
则，
即，
则，所以，
因为，所以.
（2）由，可得，
由余弦定理，即，解得，
所以.
14．（江苏省南京师范大附中2020届高三下学期6月高考模拟（1）数学试题）一种机械装置的示意图如图所示，所有构件都在同一平面内，其中，O，A是两个固定点，米，线段AB是一个滑槽（宽度忽略不计），米，，线段OP，OQ，PQ是三根可以任意伸缩的连接杆，，O，P，Q按逆时针顺序排列，该装置通过连接点Q在滑槽AB中来回运动，带动点P运动，在运动过程中，始终保持．

（1）当点Q运动到B点时，求OP的长；
（2）点Q在滑槽中来回运动时，求点P的运动轨迹的长度．
【答案】（1）；（2）米．
【分析】（1）当Q运动到时，由条件可求得 在直角中，再利用，可得的长.（2）以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出，两点坐标，写出直线的方程，找出点轨迹的两个临界，即可得出P的运动轨迹的长度.
【解析】（1）在中，，设，则，
当点Q运动到B点时，，所以．
答：当点Q运动到B点时，OP的长为米．
（2）以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

设，，则．
因为线段AB的方程为，，
所以，，
因此，，整理得，
由得，
设直线和直线的交点为M，
直线和直线的交点为N，
则点P的运动轨迹为线段MN，易解得，，
所以．
答：点Q在滑槽中运动时，求点P的运动轨迹的长度为米．
15．（湖北省黄冈市黄梅县国际育才高级中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）在中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积，求的值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）把中的边化为角的正弦的形式，再经过变形可得，进而可求得．（2）由可得，再由余弦定理可求得．
【解析】（1）由正弦定理及得，
∵，∴，
∴，∴，
又，∴，∴，∴．
（2）∵，∴．
由余弦定理得，
又，∴，．
【点睛】解三角形经常与三角变换结合在一起考查，解题时注意三角形三个内角的关系．另外，使用余弦定理解三角形时，注意公式的变形及整体思想的运用，如等，可简化运算提高解题的速度．
16．（河北省枣强中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．

（1）求大学与站的距离；
（2）求铁路段的长．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在 中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（2）由，且 为锐角，可求 ，由正弦定理可得 ，结合，可求 ， ，结合AO=15，由正弦定理即可解得的值．
【解析】（1）在中，，且，，
由余弦定理得，，
．
∴，即大学与站的距离为．
（2）∵，且为锐角，∴，
在中，由正弦定理得，，
即，∴，∴，
∴，∵，∴，，
∴，又，∴，
在中，，由正弦定理得，，
即，∴，即铁路段的长为．
【点睛】本题以实际生活为背景考查了解三角形的应用，属于中等题．解三角形的核心问题就是处理好边和角的关系，即如何灵活的进行边角的转化，可以选择的知识有五点需要注意：内角和定理、面积公式（特别是正弦形式）、正弦定理、余弦定理、平面基本性质．我们的思路就是对这五点知识进行整合，同时，要注意对角的范围的挖掘，以及对局部小三角形性质的挖掘成为了解题的关键．
17．（湖北省孝感市应城市第一高级中学2019-2020学年高一下学期复学摸底测试数学试题）的内角对应边分别为，且．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围；
（3）若，且的面积为，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）由余弦定理和夹角公式可得，即可求出A的大小； （2）根据已知求出角B的范围，再根据，利用正弦函数的性质即可求出范围； （3）由余弦定理和三角形的面积公式求出b，c的值，再根据正弦定理即可求出B，C的值，从而问题得以解决.
【解析】（1）由余弦定理得：，
，， 
即，，
，；
（2）为锐角三角形， ，， 
，，
， 
，，
的取值范围为； 
（3）在中，由余弦定理可得，即，①
的面积为，， 即，②
由①②可得，，或，，不妨设，，
由正弦定理， ，，
，， .
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角函数的化简求值和三角函数的性质，考查了学生的逻辑推理能力和计算求解能力，本题的关键在于准确计算化简，属中档题.
18．（山东省潍坊市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试题）从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知中，，，分别是内角，，所对的边，且.
（1）求角；
（2）已知，且________，求的值及的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）；（2），.
【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得，再利用余弦定理可求出角；
（2）若选①，则可求出角，再利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求出结果；若选②，则先利用正弦定理求出，从而可求出，再利用正弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求出结果
【解析】（1）因为，
由正弦定理得，即，得，
又，所以；
（2）选择①时：，，
故；
根据正弦定理，故，故.
选择②时：，根据正弦定理，
故，解得，
，
根据正弦定理，故，故.
19．（山东省潍坊市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试题）某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深入.近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域（如图所示），其中三角形区域为健身休闲区，四边形区域为文娱活动区，，，，，，为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知，，，.

（1）求道路的长度；
（2）求道路，长度之和的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）如图，连接，由余弦定理求出，再利用正弦定理求出，即得的长度；（2）设，利用正弦定理求出，再利用三角函数求和的最大值.
【解析】（1）如图，连接，在中，
由余弦定理得
，所以，
因为，所以，
又，所以，
在中，，，，
由正弦定理得，
所以，或（舍去），
所以，，得，即的长度是.

（2）设，因为，所以，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，
即道路，长度之和的最大值为.
20．（山东省菏泽市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）为进一步增强全市中小学学生和家长的防溺水安全意识，特在全市开展“防溺水安全教育”主题宣传活动.该市水利部门在水塘等危险水域设置警示标志，警示标志如下图所示.其中，，均为正方形，且，.其中，为加强支撑管.

（1）若时，求到地面距离；
（2）若记，求支撑管最长为多少？
【答案】（1）米；（2）3米.
【分析】（1）由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算可得到的距离，即可求解；（2）在中，分别应用余弦定理和正弦定理，以及辅助角公式和正弦函数的值域，即可求得其最大值，得到答案.
【解析】（1）当时，，
点离的距离，所以点离地面的距离为米；
（2）在中，由于，
利用余弦定理得，
所以，设，
在中，利用余弦定理得，
所以，①
在中，由正弦定理得，
所以，②
②代入①式得，其中，
所以当时，最大，最大值为，所以加强钢管最长为3米.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
21．（吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学（理）试题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
（1）求角C；
（2）若，，求的周长.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由已知可得，
.
（2），
又，，
，的周长为.
22．（吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学（理）试题）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，.
（1）求b的值；
（2）求的值.
【答案】（1）； （2）.
【分析】（1）由余弦定理代入数据计算可得；（2）由可得，再根据正弦定理，代值计算即可.
【解析】（1）由余弦定理得，所以.
（2）因为，所以.
由正弦定理，得，所以.
【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用.在解三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更为方便、简捷，一般来说，当条件中出现，，时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数，再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
23．（吉林省辽源市田家炳高级中学等友好学校2019-2020学年高一下学期期末考试数学（文）试题）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）中，由正弦定理得，再由余弦定理求得，；（2）中，由正弦定理得到，进而得到角，再由内角和为得到角，由三角形面积公式即得结论．
【解析】（1）由已知及正弦定理可得，
整理得，所以．又，故．
（2）由正弦定理可知，
又，，，所以．
又，故或．
若，则，于是；
若，则，于是．
24．（贵州省铜仁市伟才学校2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）在△中，分别是内角的对边，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求△的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）直接根据余弦定理可得角的大小；（2）先根据两角和与差正弦公式化简得，或，再根据正弦定理得，结合条件可解得a,c，最后根据三角形面积公式求面积
【解析】（1）:，可得：，
∴由余弦定理可得：，∵，∴．
（2）∵，∴，
∴，
可得：，∴，或，
∴当时，，可得，可得；
当时，由正弦定理知，
由余弦定理可得：，
解得，，．
25．（江苏省南通市2020届高三下学期高考考前模拟卷（五）数学试题）在中，内角所对的边分别为 ，且的面积满足.
（1）求角的值；
（2）若边上的中线长为，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据三角形面积公式得：，
又因为，
∴ ，∵ ，∴.
（2）由（1）得，，设的中点为，则，
∵ ，∴
∴ ，∴ 根据余弦定理得：得，解得.
26．（辽宁省瓦房店市高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在直角三角形中，，点分别在边和上（与不重合），将沿翻折，变为，使顶点落在边上（与不重合），设.

（1）若，求线段的长度；
（2）用表示线段的长度；
（3）求线段长度的最小值
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）根据条件得到，然后得到，从而得到的长度；（2）设，则，在中，利用三角函数的关系，表示出与的关系，整理化简后得到答案；（3）在中，利用正弦定理，表示出，利用三角函数的公式求出其最小值.
【解析】（1）由翻折可知，所以，
所以在中，，
所以，即.
（2）由翻折可知，，
，设，则，
在中，，所以
因为点在线段上，与不重合，与不重合，
所以.所以.
（3）在中，由，可得，
所以根据正弦定理得：
所以，
设

因为，所以，
当且仅当，即时，有最大值，
所以有最小值为，即线段有最小值为.
【点睛】本题考查正弦定理解三角形，在实际问题中建立三角函数模型，利用三角函数中研究最值的方法解决最值问题，属于中档题.
27．（江苏省常州市高级中学2019-2020学年高三上学期期中数学（理）试题）如图，在中，,，点边上，，，为垂足.

（1）若的面积为，求的长；
（2）若，求角的大小.
【答案】（1），（2）.
【解析】（1）由已知得S△BCDBC×BD×sinB，
又BC，sinB，可得BD，
在△BCD中，CD，
所以CD的长为．
（2）在△ABC中，由正弦定理得，
又由已知得，E为AC中点，可得AC＝2AE，所以AE•sinA，
又tanA，所以AE•sinA＝DE•cosA，
即cosA，得cosA，可得A．
28．（辽宁省沈阳市第二中学2019-2020学年度下学期高一年级数学期末考试试题）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求A的值：
（2）若，点D在边BC上．且，求AD的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知及正弦定理得．
又，且，
∴，，即；
（2）由（1）可知，且，
由正弦定理得：，，
在中，，
在中，
所以，整理得，
所以

，
当，即时，取得最大值．
所以AD的最大值为．
29．（辽宁省辽阳市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知是上的一点，，，，若____，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】
【分析】首先根据已知条件选择①或②或③，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式得到，在中，利用余弦定理得到，再根据，利用正弦定理面积公式即可得到答案.
【解析】若选①，因为，
所以.
因为，所以，
即，，.
若选②，因为，
所以，
，
，
因为，所以，，.
若选③，因为，
所以，，
因为，所以，，.
在中，，，，
所以，解得或.
因为，所以.
所以
30．（贵州省贵阳市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知的内角，，的对边分别为，，，若，且有 （从①②③三个条件中选择一个条件，并将条件编号写在横线上）①；②；③，.
（1）求角的大小；
（2）求的面积.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）选择条件①
∵，，
∴，∴，又，∴.
选择条件②
由余弦定理，又，
∴，又，∴.
选择条件③
由正弦定理，又，
∴，即，又，∴，∴.
（2），
又由余弦定理得：∴，∴，
又，∴，解得，∴.
31．（四川省广元市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（已知sin41°，角度精确到1°）？

【答案】乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
【解析】连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=10.

∵, ∴sin∠ACB=,
∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°，∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
32．（四川省广元市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在中，角A,B,C，的对应边分别为，且.
（1）求角B的大小；
（2）若的面积为，，D为AC的中点，求BD的长．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由正弦定理得，展开结合两角和的正弦整理求解；
（2）由面积得，利用平方求解即可
【解析】（1），由正弦定理得
整理得
，则
，，.
（2），
，两边平方得


33．（黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在中，内角，，的对边分别为，，，外接圆的半径为，且.
（1）若的面积为，求，的值；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在中，由正弦定理可得：，，
∵ ，
∴ ，整理得：，
由余弦定理得：，∴
∵由外接圆的半径为，，，∴，
∵若的面积为，则，∴
由余弦定理得：，整理得：
∴ ，解得：.
（2）若为锐角三角形，则，∴，又
∴，
∴
因为为锐角三角形，故
∴，∴，∴
因此的取值范围是.
34．（山东省济南市2020年7月高一年级学情检测（期末）数学试题）在中，角，，所对的边分别为，，，为的中点.
（1）证明：.
（2）已知，，，求的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）利用向量的知识得到，两边平方后结合向量数量积的运算、余弦定理进行化简，由此证得等式成立.（2）根据（1）的结论列方程，解方程求得，利用余弦定理求得，由此求得，进而求得三角形的面积.
【解析】（1）因为为的中点，所以，
所以，
所以，由余弦定理得：；
所以，即.
（2）由（1）知，，所以，
所以，,
所以，
所以.
即的面积为.
35．（黑龙江省大庆第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）的内角，，的对边分别为，，，已知：.
（1）求；
（2）若面积为，求的周长的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得，结合B的范围求可求解;
（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac=4，利用余弦定理，基本不等式，即可计算得解△A BC周长的最小值.
【解析】（1）
，
由正弦定理得：
∵
∴①式可化为：，
∵，∴，∴，
即，，∴或，∴（舍）或.
（2），∴，∴，
，
∴，当且仅当等号成立，∴.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
36．（江苏省泰州市口岸中学2019-2020学年高一下学期第二次月度质量检测数学试题）一块成凸四边形的麦田，如图所示.为了分割麦田，将连接，经测量已知，.

（1）若，求麦田的总面积；
（2）求证：为一个定值；
（3）记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你求出的最大值.
【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）.
【分析】（1）由三角形的面积公式，求得，又由余弦定理求得，进而求得，得到，再由面积公式，求得的面积，即可求解；（2）分别利用余弦定理，分别在与求得，即可求得为一个定值；（3）求出的表达式，由，即可求得的最大值.
【解析】（1）由题意，在中，，且，
则
又由余弦定理，可得，
解得，又在中，，
可得，
所以，
所以的面积为，
所以麦田的总面积为.
（2）在中，因为，
由余弦定理，可得，
所以，在中，，
由余弦定理，可得，
所以，则，
整理得，所以为一个定值1.
（3）依题意，可得，
所以，
因为，所以，
解得，所以，
当时取等号，即的最大值为.
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
37．（江苏省南京市金陵中学2020届高三下学期6月考前适应性训练数学试题）在三角形中，已知，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求边的长.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题可知，，根据同角三角函数关系求出，在中，利用，代入求出；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式，即可求出的长.
【解析】（1）中，因为，
所以，.
所以；
（2）由（1）知，设，
利用正弦定理：得：，
又，解得，
所以的面积为：，
所以，即.
38．（湖南省娄底市2019-2020学年高二下学期期末数学试题）已知，，是中角，，的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，得.
即.即.
解得或（舍去）.因为，所以.
（2）由，得.因为，所以.
由余弦定理，得，故.
根据正弦定理，得.
39．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知中，角、、所对的边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，且，求边的长度.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理，得
，，
整理得，即，
即，，，，
，；
（2）的面积为，，可得，
由余弦定理，
因此，.
40．（安徽省黄山市屯溪第一中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，其外接圆半径满足.
（1）求的大小；
（2）已知的面积，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理计算得到答案.（2）根据面积公式化简得到，根据角度范围得到值域.
【解析】（1）∵，∴，即，
∴，又为锐角，∴.
（2）∵的面积，
∴，∴，又，，
∴
，由是锐角三角形得，
∴，∴，
∴，即的取值范围为.