专题03 数列（选择题、填空题）（理）（9月）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题03 数列（选择题、填空题）
一、单选题
1．（山西省太原市2019-2020学年高一年级下学期期末质量检测数学试题）在等比数列中，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用等比中项的性质求得的值，进而利用等比中项的性质可求得的值.
【解析】由等比中项的性质可得，解得，因此，.
故选B.
【点睛】本题考查利用等比中项求值，考查计算能力，属于基础题.
2．（四川省眉山车城中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）已知等比数列的各项均为正，且成等差数列，则数列的公比是（ ）
A． B．2
C． D．或
【答案】C
【分析】成等差数列，得，利用基本量，求出.
【解析】成等差数列，
，
，即，
，故.
故选C
【点睛】本题考查等比数列通项公式即等差中项的性质.
等解决等比数列基本量计算问题利用方程的思想.等比数列中有五个量一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量和；成等差数列.
3．（山西省太原市2019-2020学年高一年级下学期期末质量检测数学试题）在等差数列中，，，则（ ）
A．5 B．7
C．8 D．16
【答案】B
【分析】直接根据等差数列的通项公式计算可得结果.
【解析】因为，，
所以.
故选B.
【点睛】本题考查了利用等差数列的通项公式计算数列的某一项，属于基础题.
4．（福建省2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟试题（b卷））等差数列的前项和为，若 是方程的两实根.则（ ）
A．10 B．5
C．﹣5 D．﹣10
【答案】C
【分析】由题意利用韦达定理求得的值，再利用等差数列的性质、等差数列前项和公式，即可求出．
【解析】∵等差数列的前项和为，若是方程的两实根，
∴， 则.
故选C．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列前项和公式的应用，属于基础题．
5．（陕西省西安市2020届高三下学期第三次质量检测文科数学试题）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a1＝1．且an＝，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．13
C．16 D．22
【答案】C
【分析】根据已知的递推关系求，从而得到正确答案.
【解析】，
，，，,
所以解下5个环所需的最少移动次数为16.
故选C.
【点睛】本题考查以数学文化为背景，考查递推公式求指定项，属于基础题型.
6．（河北省保定市曲阳县第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知数列，，…，…是首项为1，公比为2的等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出的通项，再利用累乘法求出的通项，从而可得的表达式.
【解析】由题设有，
而，
当时，也满足该式，故，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查数列通项的求法，一般地，如果数列满足，那么我们用累乘法求数列的通项，注意验证是否满足求出的通项.
7．（湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一6月月考数学试题）九连环是我国古代至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环的次数决定解开圆环的个数. 在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的最少移动次数，数列满足，且，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）
A．7 B．10
C．16 D．31
【答案】C
【分析】根据题意，由逐项地推到，再利用的值即可算出结果．
【解析】∵，



故选C.
【点睛】本题主要考查数列的递推关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
8．（四川省眉山车城中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）数列满足，，则的值为（ ）
A．1 B．-1
C． D．
【答案】B
【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项.
【解析】因为，，所以，
故选B.
【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.
9．（金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题）已知在等差数列中，，，记，则下列关于数列的前项和的说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设数列的公差为，由已知条件可求出，得到，求出，利用裂项相消法求出判断选项即可.
【解析】设数列的公差为，有，
解得，，，
，
故B错误，C D正确.则，故A正确.
故选B.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项相消法求和的问题.属于较易题.
10．（浙江省嘉兴市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知数列的前项和，且满足，则（ ）
A．192 B．189
C．96 D．93
【答案】B
【解析】， 时，，解得 ．
时，， 时，，可得：，又
∴数列是等比数列，首项为3，公比为2．
，选B.
11．（安徽省黄山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的倍，已知她天共织布尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，该女子第二天织布多少尺？( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意，得到该女子每天所织布的长度构成等比数列，根据题意求出首项和公比，即可求出结果.
【解析】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，
设公比为，首项为，前项和为，
由题意可得，解得，
所以第二天织的布为.
故选B
【点睛】本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.
12．（安徽省黄山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）在等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质化简已知条件，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，进而得到的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将的值代入即可求出值．
【解析】根据等差数列的性质得：，
变为：，
解得，（舍去），
所以，
则．所以
故选C．
【点睛】本题考查灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
13．（河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）数学（文）试题）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an+an+1＝2n（n∈N*），则S2020＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据递推公式an+an+1 ＝2n（n∈N *）的特点在求S2020时可采用分组求和法，然后根据等比数列的求和公式即可得到正确选项．
【解析】由题可知

．
故选C.
【点睛】本题考查递推公式、分组求和法、等比数列前n项和公式，属于基础题.
14．（四川省成都七中2019-2020学年高一下学期6月考试数学试题）已知等比数列的公比为正数，且，则的值为（ ）
A．3 B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等比数列通项公式列方程计算即可.
【解析】因为等比数列中，
所以根据等比数列的通项公式得：，
由于等比数列的公比为正数
所以解方程组得.
故选D.
【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，考查运算能力，是基础题.
15．（2020年普通高校招生全国统一考试猜题密卷B卷理科数学试题）在等比数列中，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先对题中所给的条件进行转化，得到，从而得到，根据题意可以确定，进而求得.
【解析】由等比数列的性质可知，
又，所以，易知，
所以，
故选D．
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的性质，属于基础题目.
16．（四川省眉山车城中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）已知数列-1，，，，-3成等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等比数列性质有，结合等比数列通项公式确定y的值，进而求的值
【解析】∵数列-1，，，，-3成等比数列
∴由等比数列性质知：，有,
若等比数列公比为q则：，故
∴
故选B
【点睛】本题考查了等比数列，应用的等比数列的性质及等比数列通项公式求目标代数式的值.
17．（2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（二）文科数学试题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．16 B．19
C．33 D．35
【答案】D
【分析】将等差数列的通项公式与前项和公式带入等式，即可解出首项与公差，则可解出.
【解析】因为，
所以，
所以公差，
又，
所以，解得，
所以.
故选D.
【点睛】本题考查等差数列，属于基础题.熟练掌握其通项公式与前项和公式是解本题的关键.
18．（2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（三）文科数学试题）记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A．28 B．31
C．38 D．41
【答案】C
【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.
【解析】由题知：，解得.
所以.
故选C.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于简单题.
19．（2020年普通高等学校招生伯乐马模拟考试（五）数学（文）试题）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．180 B．
C．162 D．
【答案】B
【分析】先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前项和公式即可求出.
【解析】，，
,
解得，
，，
，
.
故选B.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题.
20．（河南省濮阳市2019-2020学年高二下学期升级考试（期末）数学（文）试题）已知等比数列的前n项和为，且，，依次成等差数列，若，则( )
A．63 B．32
C．31 D．16
【答案】C
【分析】根据题意，用基本量进行计算，求出公比，代入即可.
【解析】，，依次成等差数列，则，
设公比为，则：，解得
，解得.
故.
故选C.
【点睛】本题考查等比数列中基本量运算，涉及等差中项，属综合基础题.
21．（2020届山西省太原市第五中学高三第二次模拟（6月） 数学（理）试题）设等差数列的前n项和为，若，，，则的值为（ ）
A．2020 B．4032
C．5041 D．3019
【答案】B
【分析】根据已知条件列出关于的方程，求出的通项，即可求出.
【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，
则 ，
解得 ，所以 ，
所以.
故选B
【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的求解，通项公式的求法，由通项公式求某一项，属于基础题.
22．（四川省广元市苍溪县实验中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷）下列说法中正确的是（ ）
A．若，，成等差数列，则，，成等差数列
B．若，，成等差数列，则，，成等差数列
C．若，，成等差数列，则，，成等差数列
D．若，，成等差数列，则，，成等差数列
【答案】C
【分析】ABD通过举反例即可判断，C利用等差关系可证明.
【解析】对于A，，，成等差数列，而，，不成等差数列，所以A 不正确；
对于B，，，成等差数列，而，，不成等差数列，，所以B不正确；
对于C，若，，成等差数列，则，
所以有： ，
所以，，成等差数列.
对于D，，，成等差数列，而，，不成等差数列，所以D不正确.
故选C.
【点睛】本题主要考查了判断等差数列，属于基础题.
23．（四川省广元市苍溪县实验中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷）数列满足且，则的值是（ ）
A．-2 B．
C．2 D．
【答案】C
【分析】由题意知该数列为等差数列，再由下标和性质得，从而得，又，从而得解.
【解析】由，可知数列是公差为3的等差数列，
因为，所以，所以
.
故选C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的下标性质，涉及对数的运算，属于基础题.
24．（四川省眉山车城中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）设等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，值为（ ）
A．6 B．6或7
C．8或9 D．9
【答案】A
【分析】设等差数列的公差为，根据，，求得，再由前项和公式求解.
【解析】设等差数列的公差为，因为，
，所以
所以
所以当时，取得最小值，
故选A.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式以及二次函数最值问题，属于基础题.
25．（湖北省武汉市外国语学校2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题）数列4，6，10，18，34，……的通项公式等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据前五项的规律，即可得出.
【解析】
，
故选C.
【点睛】本题主要考查了通过观察法求数列的通项公式，属于基础题.
26．（浙江省金华市兰溪市第三中学2020届高三下学期寒假返校考试数学试题）已知数列满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】首先根据题意，分别令和，求出的值，比较可得答案.
【解析】因为，，
所以当时，，，满足，
当时，，不满足；
故选D.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有比较项之间的大小，在解题的过程中，注意小题小做思想的应用，注意特值法的应用.
27．（金科大联考2020届高三5月质量检测数学（文科）试题）已知数列满足，且，，则数列前6项的和为（ ）
A．115 B．118
C．120 D．128
【答案】C
【分析】由题干条件求得，得到，构造等比数列可得数列的通项公式，再结合等比数列求和公式即可求得数列前6项的和.
【解析】，则，可得，
可化为，有，得，
则数列前6项的和为.
故选C.
【点睛】本题考查由递推公式求数列通项公式以及求数列前n项和，属于基础题.
28．（安徽省黄山市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）数列的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式.
【解析】，，，
所以其通项公式是：
故选B
【点睛】本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.
29．（黑龙江省哈尔滨市德强高中2019-2020学年高一下学期数学期末试题）设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（ ）
A．290 B．
C． D．
【答案】C
【分析】由得为等差数列，求得，得利用裂项相消求解即可
【解析】由得，
当时，，整理得，
所以是公差为4的等差数列，又，
所以，从而，
所以，
数列的前10项的和.
故选.
【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式，准确得是等差数列是本题关键，是中档题.
30．（2020年普通高等学校招生伯乐马押题考试（二）理科数学试题）已知无穷等比数列满下列足条件：当时，；当时，，则首项的最小值是（ ）
A． B．4
C． D．
【答案】A
【分析】结合数列递推式，分类讨论，时，由递推式求出，不成等比数列，不成立，在时，，再分类，及，可得出结论．
【解析】∵下面分情况讨论：
当时，，∴，∴，但是，不可能组成等比数列，矛盾；
当时，，当时，，因为是等比数列，此时，这与矛盾；当时，，∴，∴，
时，，，…，，满足题意．
故选A．
【点睛】本题考查数列的递推公式、等比数列的概念，解题方法是分类讨论，根据的不同取值范围，由递推式确定数列各项，验证是否构成等比数列，或由等比数列得出结论，验证是否满足题设要求．
31．（四川省成都七中2019-2020学年高一下学期6月考试数学试题）设等差数列的前项和，且，则满足的最大自然数的值为（ ）
A．6 B．7
C．12 D．13
【答案】C
【解析】由,利用等差数列的性质可得：,又<0,>0，
∴>0,<0.
∴，
则满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
故选C.
【点睛】求解等差数列问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.
由此得：，
当为奇数时，，
当为偶数时，.
32．（山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题数学试题）已知等差数列，公差不为0，若函数对任意自变量x都有恒成立，函数在上单调，若，则的前500项的和为（ ）
A．1010 B．1000
C．2000 D．2020
【答案】B
【分析】由已知得函数关于对称，因为，则，再由等差数列性质求得前500项的和.
【解析】对任意自变量x都成立，函数对称轴为
因为，，

故选B.
【点睛】本题考查函数对称性及利用等差数列性质求和.属于基础题.
函数 对任意自变量x都有，则函数对称轴为，
为等差数列，若，则 ．
33．（四川省宜宾市2019届高三调研数学（理）试题）已知“整数对”按如下规律排列：，…，则第个“整数对”为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设“整数对”为，由已知可知点列的排列规律是的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项．
【解析】设“整数对”为，由已知可知点列的排列规律是的和从2开始，依次是3，4，…，其中m依次增大．
当时只有1个；
当时有2个；
当时有3个；
…；
当时有个；
其上面共有个数对．
所以第个“整数对”为，第个“整数对”为，
故选C．
【点睛】本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题.
34．（浙江省数海漫游2020届高三下学期模拟卷（二）数学试题）已知负实数列满足，，则下列可能作为的值的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数列的递推关系式，结合，逐次计算，即可求解.
【解析】由题意，数列满足，即，且
若，则，则，因为，所以不符合题意；
若，则，此时不成立；
若，则，因为，所以，
由，因为，所以，
又由，因为，所以，满足题意；
若，则，因为，所以，
又由，所以不成立，
综上可得，的值的.
故选C.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中利用数列的递推公式，准确计算与判定是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
35．（2020年普通高校招生全国统一考试猜题密卷A卷理科数学试题）数列中，，，则（ ）
A．2019 B．2020
C．4039 D．4040
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件，类比着写出，两式相减可得，从而可得数列隔项成等差数列，即其偶数项成等差数列，利用题中条件求得，利用通项公式求得，得到结果.
【解析】∵①，
∴②，
②①得，
∴数列的偶数项是以为首项，2为公差的等差数列.
∴.
故选B.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有数列通项公式的基本量的计算，利用递推公式判断数列的特征，属于简单题目.
36．（2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（二）理科数学试题）已知数列的前项和为，且是和的等差中项.用表示不超过的最大整数，设，则数列的前项和（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得的关系式，利用的关系求得；再根据题意，求得，利用等比数列的前项和，即可求得结果.
【解析】由是和的等差中项，得.
当时，所以，即，
因为，所以，所以是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以.，
所以，，，，，，
所以，所以，即.
所以
.
所以.
故选D.
【点睛】本题考查利用关系求数列的通项公式，涉及等比数列前项和的求解，本题中通项公式的归纳总结，是解题的关键，属综合中档题.
37．（山西省太原市2019-2020学年高一年级下学期期末质量检测数学试题）在数列中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】计算出数列前项的值，可得出，由此可计算得出的值.
【解析】，，，，，，
因此，.
故选A.
【点睛】本题考查利用数列递推公式求值，推导出数列的周期性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
38．（辽宁省锦州市黑山县黑山中学2020届高三下学期考前模拟训练数学（文）试题）己知函数的最小值为，最大值为，若，则数列是（ ）
A．公差不为零的等差数列 B．公比不为1的等比数列
C．常数列 D．以上都不对
【答案】C
【分析】先根据判别式法求出的取值范围,进而求得和的关系,再展开算出分析即可.
【解析】设，则，该方程必有解，故，化简整理得，所以根据题意得，与是方程的两根，所以.
故选C.
【点睛】本题主要考查判别式法求分式函数范围的问题,再根据二次函数的韦达定理进行求解分析即可.
39．（四川省成都七中2019-2020学年高一下学期6月考试数学试题）已知数列满足，则 ( )
A．4 B．2
C．5 D．
【答案】A
【解析】，数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，，故，故选A.
40．（福建省2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟试题（b卷））原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据画圆弧的规律：分别以B，C，A 为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交点情况，再根据当“螺旋蚊香”与直线 恰有 21个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最后圆弧的半径即可 .
【解析】如图所示：
当以B为圆心，半径为：1，4， 7，10，…除起点外，与直线无交点，①
当以C为圆心，半径为：2，5， 8，11，…与直线有一个点，②
当以A为圆心，半径为：3，6， 9，12，…除终点（即①的起点，点A 除外）外，与直线无交点，③
所以当“螺旋蚊香”与直线恰有 21个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，
则完成整数个循环，
所以以B为圆心的弧与直线只有交点A，以C 为圆心的弧与直线10个交点，以A为圆心的弧与直线有10 个交点，
即数列②有10项，数列③有10项，
所以最后一个圆弧的半径为 ，
所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为
.
故选A
【点睛】本题主要考查数列的抽象与等差数列的通项公式和前n项和的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.
41．（安徽省黄山市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题）已知数列满足，，则当时，下列判断一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据特殊值法，分别令，，即可判断ABD错误，故C选项正确.
【解析】因为数列满足，，
若，则，不满足，故A错误；
若，则，，，
不满足，故D错误；
又此时，不满足，故B错误；
故选C.
【点睛】本题主要考查数列递推式的应用，涉及数学归纳法证明不等式，属于常考题型.
42．（2020年普通高等学校招生伯乐马模拟考试（六）数学（理）试题）已知数列满足，，若数列的前50项和为，则数列的前50项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题设条件，化简得到，在由，化简得出，结合“裂项法”求和，即可求解.
【解析】由题意，数列满足，，若数列的前50项和为，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，即，
所以数列的前50项和为
.
故选B.
【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及熟练的“裂项法”求和，其中解答中合理化简数列的递推公式，以及熟练应用熟练的“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
43．（浙江省之江联盟2020届高三下学期4月开学考试数学试题）数列满足，且，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数分析出该函数的单调性，由可得出，进而可推导出，，由此可得出结论.
【解析】令，当时，，
所以，函数在区间上单调递减，
同理可知，函数在区间上单调递增，
，且，
则，且，即；
，且，即；
同理，因此，.
故选D.
【点睛】本题考查递推公式的应用，考查利用导数求数列中相关项的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.
44．（甘肃省兰大附中2020届高三5月月考数学（理科）试题）已知数列满足条件，，，则的最小值为（ ）
A．3 B．2
C．1 D．0
【答案】C
【分析】根据递推公式，即可求得，再根据其最小值的取得对整数的敏感性，即可容易求得.
【解析】因为，所以，
故，又因为，所以，

所以，
由题知，数列为整数列，所以，
当时，等号成立，下面举例说明可以取到3，
，
所以的最小值为1.
故选C.
【点睛】本题是以绝对值为背景的数列的综合应用，综合性较强，本题有两个难点；第一，通过两边平方转化为，进一步利用累加求和的形式求数列前项和；第二，最小值的取得对整数的敏感性较强，后面需要简单验证取等号的条件，即列举某个特殊数列，使得.
45．（浙江省嘉兴市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）对于数列，若存在常数，使对任意，都有成立，则称数列是有界的.若有数列满足，则下列条件中，能使有界的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用放缩法及数列性质进行验证选项得解
【解析】对于A选项，假设有界，即存在常数，对任意，都有，
则.由于左边递增到无穷大，而右边为常数，从而A项错误；
同理，C项，错误；
对于B项， ，累加可得，，，显然不是有界的；
对于D选项，， ，
累乘可得 ，
，从而,D正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查数列的性质应用、及转化与化归的数学思想以及运算求解能力.
二、多选题
46．（湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一6月月考数学试题）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法正确的是（ ）
A．此人第六天只走了5里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
【答案】BCD
【分析】设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列，由求得首项，然后逐一分析四个选项得答案.
【解析】根据题意此人每天行走的路程成等比数列，
设此人第天走里路，则是首项为，公比为 的等比数列.
所以，解得.
选项A：,故A错误,
选项B：由，则，又，故B正确.
选项C：,而，,故C正确.
选项D：,
则后3天走的路程为,
而且,故D正确.
故选BCD.
【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的前项和，是基础题.
47．（2020届海南省天一大联考高三年级第四次模拟数学试题）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
【答案】BD
【分析】由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.
【解析】由得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；
因为，，所以
，故，
故C错误；因为，所以的前项和，
故D正确.
故选BD.
【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
48．（山东省聊城市2019-2020学年高二上学期期末数学试题）已知数列满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前项和
【答案】ABD
【分析】原等式变形为，因为，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，求出通项公式即可求出及的通项公式，再利用分部求和法及等比数列的前n项和即可求出的前n项和.
【解析】因为，所以，又，
所以是以4为首项，2位公比的等比数列，即，为递减数列，
的前项和
.
故选ABD.
【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n项和，分组求和法，属于中档题.
49．（辽宁省实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题）已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】设等差数列的公差为,根据,,是一个等比数列中的相邻三项求得或1,再分情况求解的前项和即可.
【解析】设等差数列的公差为,又,且,,是一个等比数列中的相邻三项
,即,化简得：,所以或1,
故或,所以或,设的前项和为,
①当时,；
②当时,（1）,
（2）,
（1）（2）得：,
所以,
故选BD
【点睛】本题主要考查了等差等比数列的综合运用与数列求和的问题,需要根据题意求得等差数列的公差与首项的关系,再分情况进行求和.属于中等题型.
50．（江苏省南通市启东市启东中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题）将个数排成行列的一个数阵，如下图：

该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，逐项求解，即可得到答案.
【解析】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，
可得，，所以，
解得或（舍去），所以选项A是正确的；
又由，所以选项B不正确；
又由，所以选项C是正确的；
又由这个数的和为，
则

，所以选项D是正确的，
故选ACD.
【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
51．（广东省汕尾市海丰县2019-2020学年高一下学期”线上教育“教学质量监测数学试题）已知等比数列，公比为，其前项积为，并且满足条件：，，，则下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C． D．的值是中最大的
【答案】BD
【分析】结合已知条件，判断出，由此判断AB选项的正确性.根据等比数列的性质，判断出，由此判断出CD选项的正确性.
【解析】依题意等比数列满足条件：，，：
若，则，则，则与已知条件矛盾.所以不符合，故A选项错误.
由于，，，所以，，，.所以B选项正确，C选项错误.
因此，前项都大于，从第项开始起都小于，因此的值是中最大的.所以D选项正确.
故选BD
【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于中档题.
52．（河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．若是等差数列，则是等方差数列
B．是等方差数列
C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列
D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
【答案】BCD
【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.
【解析】对于A选项，取，
则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；
对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；
对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；
对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，
则，
由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，
则对任意的恒成立，则，得，
此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.
【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.
53．（山东省青岛市2020届高三自主检测数学试卷）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（ ）
A． B．是等比数列
C． D．
【答案】BD
【分析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，求出，再证明数列是等比数列，选项正确；，选项错误；，选项错误；，选项正确.
【解析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，
由题意可得，解得，
，
，（非零常数），
则数列是等比数列，选项正确；
，，，选项错误；
，，选项错误；
，，
所以，，选项正确.
故选BD
【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法及其应用，考查等比数列的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
54．（河北省沧州市第一中学2019-2020学年高一下学期第二次学段检测数学试题）已知数列an的前n项和为SnSn≠0，且满足an+4Sn-1Sn=0   (n≥2),a1=14，则下列说法正确的是（ ）
A．数列an的前n项和为Sn=14n B．数列an的通项公式为an=14n(n+1)
C．数列an为递增数列 D．数列{1Sn}为递增数列
【答案】AD
【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求Sn，最后根据和项与通项关系得an.
【解析】∵an+4Sn-1Sn=0   (n≥2),∴Sn-Sn-1+4Sn-1Sn=0  ，
∵Sn≠0   ∴1Sn-1Sn-1=4  ，因此数列{1Sn}为以1S1=4为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；
所以1Sn=4+4(n-1)=4n∴Sn=14n，即A正确；
当n≥2时an=Sn-Sn-1=14n-14(n-1)=-14n(n-1)
所以an=14,n=1-14n(n-1),n≥2，即B，C不正确；
故选AD.
【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
55．（2020届山东省青岛市高三4月统一质量检测（一模）数学试题）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等比数列
C．数列的通项公式为 D．
【答案】BCD
【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，，由数列的裂项相消求和可得．
【解析】由即为，
可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，
又，
可得，
故错误，，，正确．
故选BCD．
【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
56．（广东省佛山市三水中学2019-2020学年高一下学期第二次统考数学试题）意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据题中递推公式，求出，，数列的前项和，数列的奇数项和，与选项对比即可.
【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足，
所以，，
，
类似的有，，
累加得，
由题知，故选项A正确，
对于B选项，因为，，，类似的有，
累加得，故选项B正确，
对于C选项，因为，，，类似的有，
累加得，故选项C错误，
对于D选项，可知扇形面积，
故，
故选项D正确，
故选ABD.
【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列的性质，属于一般题.
57．（江苏省南通市如皋中学2019-2020学年高一下学期6月第四次阶段考试数学试题）已知数列满足，，，，若存在正整数，，使得等式成立，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】时，根据可求出，利用累乘法可求得，
【解析】时，，而，，∴，故A选项正确；
∴，即，
∴，
故C选项正确，B选项错误；
假设存在正整数，，使得等式成立，
∴，化简整理得，
令，解得，取，时，成立，
故D选项正确.
故选ACD.
【点睛】本题主要考查数列的基本知识，考查通项公式的求解，属于中档题.
58．（江苏省南通市如皋市2019-2020学年高一下学期教学质量调研（二）数学试题）数列的前项和为，若，，则有（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
【答案】ABD
【分析】由数列中和的关系式，求得数列的通项公式，可判定D正确；再利用题设条件，求得的表达式，可判定A正确，最后结合等比数列的定义，可判定B正确.
【解析】由题意，数列的前项和满足，
当时，，
两式相减，可得，可得，即，
又由，当时，，所以，
所以数列的通项公式为；
当时，，
又由时，，适合上式，所以数列的的前项和为；
又由，所以数列为公比为3的等比数列，
综上可得选项是正确的.
故选ABD.
【点睛】本题主要考查了数列的通项公式的求解，等比数列的定义及应用，以及数列的递推关系式的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
59．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一）数学试题）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第20项是200
B．此数列的第19项是182
C．此数列偶数项的通项公式为
D．此数列的前项和为
【答案】AC
【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．
【解析】观察此数列，偶数项通项公式为，奇数项是后一项减去后一项的项数，，由此可得，A正确；，B错误；C正确；是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，不可能有，D错．
故选AC．
【点睛】本题考查数列的通项公式，要求从数列的前几项归纳出数列的通项公式．这里我们只能从常见的数列出发，寻找各项与项数之间的关系，归纳结论．有时需要分奇数项与偶数项分别讨论归纳出结论，或者寻找两者的关系，从而得出结论．
60．（江苏省南京师大附中2019-2020学年高二上学期期初模拟数学试题）等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（ ）
A． B．
C．当时最小 D．时的最小值为
【答案】ABD
【分析】由题设可得基本量的关系，再把看成关于的二次函数.
【解析】由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；
因为，
由可知，当或时最小，故错误，
令，解得或，即时的最小值为，故正确.
故选ABD.
【点睛】数列的函数观，通项是关于的一次函数；前项和是关于的二次函数.
61．（2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题）已知数列满足
给出下列四个命题，其中的真命题是（ ）
A．数列单调递增 B．数列 单调递增
C．数从某项以后单调递增 D．数列从某项以后单调递增
【答案】BCD
【分析】计算得到，A错误，化简，B正确，，C正确，，
D正确，得到答案.
【解析】因为，所以，
当时, ,所以，所以A错误；
，，
所以是等比数列，，所以B正确；
，故，C正确；
因为，所以，
根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D正确.
故选BCD.
【点睛】本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.
62．（2020高考命题专家预测密卷文科数学（一）试题）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是( )
A．S2019 C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值
【答案】AB
【分析】计算排除和的情况得到，故，得到答案.
【解析】当时，，不成立；
当时，，不成立；
故，且，故，正确；
，故正确；
是数列中的最大值，错误；
故选AB
【点睛】本题考查了数列知识的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.
三、填空题
63．（2020年普通高校招生全国统一考试猜题密卷B卷理科数学试题）在等差数列中，，则数列的前7项和为___________．
【答案】14
【分析】先根据等差数列的性质由得；再由得，再根据等差数列的前项和公式可求出前7项和．
【解析】由已知得，即，
所以数列的前7项和
．
故答案为： 14
【点睛】本题主要考查等差数列的基本性质以及前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
64．（四川省广元市苍溪县实验中学校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷）已知数列2，，4，…，，…，则8是该数列的第__________项.
【答案】
【分析】由即可得解.
【解析】令，解得，
所以8是该数列的第11项，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了对通项公式的理解，属于基础题.
65．（2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化）已知数列的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，设bn＝1＋log2an，则数列的前n项和Tn＝__________．
【答案】
【分析】先根据和项与通项关系得an，再根据裂项相消法得Tn.
【解析】因为Sn＝2an－1(n∈N*)，
所以当n＝1时，a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，得an＝2an－1，
所以an＝2n－1，从而bn＝1＋log2an＝n.
故Tn＝＝＝.
故答案为：
【点睛】本题考查利用和项与通项关系求数列通项、利用裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
66．（2020高考命题专家预测密卷文科数学（一）试题）已知函数，若公比为等比数列满足，，则__________.
【答案】1010
【分析】求得为定值2，再根据，用倒序相加法即可求得结果.
【解析】，
∵，设
即
故，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的性质，涉及倒序相加法求数列的前项和，属综合基础题.
67．（2020年高考命题专家押题卷文科数学试题）设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则______．
【答案】1
【分析】根据等差数列前项和的性质可得，即可得解；
【解析】由已知得的图象关于对称，
所以，，则．
故答案为：1
【点睛】本题通过等差数列的性质，考查了学生的逻辑推理与数学运算等数学核心素养．
68．（2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试（二）理科数学试题）已知等差数列的前项和为，若，则________.
【答案】35
【分析】利用等差数列的前项和公式和通项公式求得首项和公差，易得的值．
【解析】因为，所以，所以公差，又，所以，解得，
所以.
故答案为：35.
【点睛】本题考查等差数列的前项和，考查运算求解能力，属于基础题.
69．（四川省眉山车城中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题）设等差数列的前项和为，若，，则________.
【答案】90
【分析】根据，，利用等差数列的性质得到，再由求解.
【解析】因为，，所以
所以
故答案为：90
【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，属于基础题.
70．（吉林省长春市农安县实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知数列满足，则数列的前n项和__________.
【答案】
【分析】由得，得出数列是以3为公比的等比数列，其中首项，根据等比数列的通项公式求得，从而可得，再运用分组求和可得.
【解析】由得，
所以数列是以3为公比的等比数列，其中首项，
所以，所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】本题考查根据数列的递推式构造新数列，使所构造的新数列是等差数列或等比数列，从而得原数列的通项公式的问题，属于中档题.
71．（江苏省南通市2020届高三（3月份）尖子生班高考数学模拟试题（一））定义数列，先给出，接着复制该项，再添加1的后继数2，于是，接下来再复制前面所有项，之后再添加2的后继数3，如此继（1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1．．．），设是的前项和，则__________.
【答案】3990
【分析】设每操作一次形成的数列和为，的前项和为，计算得到，，设每操作一次形成的数列的个数为，前项和为，计算得到，，计算得到答案.
【解析】根据题意设每操作一次形成的数列和为，的前项和为，
故，，，，两式相减得到.
即，故是首项为，公比为的等比数列，，
验证时成立，故，.
设每操作一次形成的数列的个数为，其前项和为，故，，
故，相减得到：，故，验证时满足.
，，，，
故

.（括号内是开始的倒数个数）.
故答案为：.
【点睛】本题考查了数列的前项和，意在考查学生的计算能力和应用能力.
72．（2020届山西省太原市第五中学高三第二次模拟（6月） 数学（理）试题）记为正项等比数列的前n项和.若，，则____________.
【答案】
【分析】应用等比中项可知，由知，根据等比通项公式列方程求出、，进而可求
【解析】由为正项等比数列，知：，
又∵，即有，∴解得：，
故，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列，应用等比中项、等比通项公式求等比数列的基本量，求等比数列的前n项和.
73．（江苏省扬州市2020届高三（5月份）高考数学模拟试题）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1a6＝3a3，且a4与a5的等差中项为2，则S5＝__________.
【答案】121
【分析】等比数列的公比设为，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【解析】等比数列的公比设为，前项和为，
，可得，即，①
与的等差中项为2，可得，即，②
由①②解得，，
则．
故答案为：121．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．
74．（山西省太原市2019-2020学年高一年级下学期期末质量检测数学试题）若、、成等比数列，、、成等差数列，、、成等差数列（、均不为），则___________.
【答案】
【分析】由题意可得出，，，代入计算可得出的值.
【解析】由题意可得出，，，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用等差中项和等比中项求值，考查计算能力，属于中等题.
75．（安徽省庐巢六校2019-2020学年高一下学期6月联考数学试题）已知数列满足，且，则该数列的前9项之和为__________.
【答案】34
【分析】对分奇偶进行讨论，得出数列是常数列，数列是公差为的等差数列，然后用分组求和法，即可求解.
【解析】，
当为奇数时，，
则数列是常数列，；
当为偶数时，，
则数列是以为首项，的等差数列，


.
故答案为：34.
【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想，属于中档题.
76．（上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一下学期线上教学评估数学试题）已知数列中，，，则=____________.
【答案】
【分析】对已有的递推关系取倒数，则可构建新数列，它是等差数列，求出其通项后可求的通项.
【解析】因为，所以，
所以，故是以为首项，为公差的的等差数列，
所以，所以，填.
【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：
（1），取倒数变形为；
（2），变形为，也可以变形为.
77．（上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一下学期线上教学评估数学试题）正整数列满足，且对于有，若，则的所有可能取值为___________.
【答案】4、5或32
【分析】由正整数列满足，且对于有，结合,逐步逆推即可得解.
【解析】因为正整数列满足，且对于有，
由,则或（舍），则，
则，，或，，或，，，
即的所有可能取值为4、5或32，
故答案为：4、5或32.
【点睛】本题考查了数列的递推关系，重点考查了运算能力，属基础题.
78．（山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）数列满足，，写出数列的通项公式__________．
【答案】
因为,
所以,
两式相减得，即，
又，所以，因此
【点睛】给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.
79．（江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学（文科）试题）在数列中，已知，，则____________．
【答案】
【分析】（1）直接根据已知条件得到，即，进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之间的关系即可求出数列的通项公式；
【解析】∵，
∴，，
数列是以为首项，以3为公比的等比数列，
．当时，．
不适合上式，数列的通项公式为
故答案为：
【点睛】本题考查递推公式求数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将数列写成分段的形式.
80．（河北省石家庄市第二中学2020届高三下学期3月内部考试数学（理）试题）设正数数列的前n项和为数列的前n项积为若，则数列中最接近2020的数是___________．
【答案】1980.
【分析】先根据及得：，化简整理得出：是公差为1的等差数列，进而求出，再由得出，最后由得出，从而得出，最后取值判断即可.
【解析】，整理得：，
由且得，.
，.
从而，因为.
故答案为：1980．
【点睛】本题考查了数列求通项的方法，关键在于把一般数列转化为等差或等比数列，属于中档题.
81．（2020年高考全国卷考前冲刺演练精品密卷Ⅱ数学（理）试题）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此，分子是1的分数叫做埃及分数（也称为单位分数），如，，，等都是埃及分数．现从，，，，…，这19个分数中，找出3个不同的分数，使它们的和为，则这3个分数的分母从小到大可以依次是______．（只写出一种情形即可）
【答案】4，6，12．（答案不唯一）
【分析】假设这三个分数的分母分别为，，，若成立，则这三个数不能都小于，取其中一个数为，利用方程思想解出另外两数即可.
【解析】设（，，，），三个分数的和为，平均值为，三个分数不能都小于（否则三个分数的和小于），所以至少有一个是，或，或，或，若，则，从而，；同理可得4，5，20；3，9，18；3，10，15等．
【点睛】本题考查合情推理，属于基础题，只需要根据题目意思列出满足题目条件的方程组求解即可.
82．（浙江省嘉兴市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）数列满足，，且（），则_________.
【答案】2020
【分析】当n为偶数时，可得出，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解.
【解析】当n为偶数时，
，
即，故数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，
所以，
所以.
故答案为：2020.
【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n为偶数时，可得出与的关系式，进而求出的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
83．（云南省红河州2020届高三高考数学（文科）一模试题）已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足，，且．若对，恒成立，则实数的最小值为____________．
【答案】
【分析】当时，解得，当时，由化简得，利用累乘法求得，进而得，利用裂项求和法得，因此利用对，恒成立即可求解.
【解析】当时，，解得．
当时，由，得．
依据叠乘法（累乘法）可得．
由，得，
于是
．
由于对，恒成立，，
故实数的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和，以及数列的函数特征，考查满足条件的实数值是否存在的判断与求法，综合性强，难度大.
84．（江苏省扬州市2020届高三（5月份）高考数学模拟试题）数列中，，，设的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【分析】，，可得： ，，，可得，，又，可得，， 由恒成立，只需即可，通过作差可得其单调性，即可得出最大值.
【解析】由，，
可得： ，，，
所以，
，又
所以，
所以

，
由恒成立，即恒成立
，设，
则，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
由二次函数的性质可知当时，
可得，且，
所以，.
故答案为：
【点睛】本题考查了数列的恒成立问题、等差数列的前项和公式，数列的单调性，考查了转化与划归的思想，属于难题.
四、双空题
85．（浙江省金华十校2019-2020学年高二下学期期末数学试题）已知数列满足：，的前项和为，则当时，________；当时，数列的通项公式为________.
【答案】
【分析】首项将代入，得到，并项求和得到，将代入，求得，构造等比数列求得结果.
【解析】当时，，即，
所以，
时，，所以有，
所以是以为首项，以3为公比的等比数列，
所以，所以，
故答案为：①；②.
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有并项求和法，构造等比数列求通项，属于简单题目.
86．（湖南省长沙市长郡中学2020届高三下学期高考模拟卷（二）文科数学试题）十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前n项和为，
（1）___________．
（2）设，（，y为常数），___________．
【答案】1
【分析】由斐波那契数列满足以下关系，利用迭代法可得，从而可得；利用迭代法可知奇数项的和为，偶数项的和为，进而可求解.
【解析】因为斐波那契数列满足，，，
∴；；
；
…
；
故．
所以，
因为．
．
故答案为：1，．
【点睛】本题考查了数列的递推关系式、数列的和，考查了计算能力，属于中档题.
87．（黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高二（下）期末数学（文科）试题）某生物病毒繁殖规则如图，现有一个这种生物病毒，初始状态为t＝0（t表示时间，单位：小时），请写出4小时后此病毒的个数_____，由此推测n小时后此病毒的个数为_____.

【答案】
【分析】根据图形分析，找出规律，再利用累加法求出通项公式；
【解析】根据图分析可知，
，病毒的个数是1个；
，病毒的个数是5个；
，病毒的个数是13个；
，病毒的个数是29个；
可推出，病毒的个数是个；
可得，，，，可得
所以小时后病毒的个数：

故答案为：；
【点睛】本题考查数与式中的归纳分析，累加法求数列的通项公式，属于中档题.
88．（浙江省舟山市2019-2020学年高二下学期期末数学试题）等差数列的前项和为，，，则______；______．
【答案】
【分析】首先根据题意，列出关于的关系式，之后利用等差数列的求和公式求得，之后裂项相消求和得结果.
【解析】由题可得：，，解得，
得：，
则，
即．
故答案为：①；②．
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式和求和公式，裂项相消法求和，属于基础题目.
89．（浙江省台州市书生中学2020届高三下学期高考模拟数学试题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍．请问塔顶层有______盏灯，塔底层有_______盏灯．
【答案】
【分析】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为的等比数列，利用等比数列求和公式可求得的值，进而可求得的值，由此可得出结果.
【解析】设塔的顶层共有盏灯，则数列是公比为的等比数列，设其前项和为，
由题意可得，解得，则.
因此，塔顶层有盏灯，塔底层有盏灯.
故答案为：；.
【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，考查等比数列前项和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
90．（浙江省2020届高三下学期4月适应性测试数学试题）《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺.
【答案】
【分析】设该女子每天的织布数量为，转化条件得数列为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n项和公式求得后即可得解.
【解析】设该女子每天的织布数量为，由题可知数列为公比为2的等比数列，
设数列的前n项和为，则，解得，
所以，.
故答案为：，.
【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题.
91．（浙江省金华十校2019-2020学年高一下学期期末数学试题）1和4的等差中项是____________；4和_____________的等比中项是.
【答案】
【分析】根据等差中项和等比中项的定义直接计算即可.
【解析】1和4的等差中项是；
设和4的等比中项是，所以有，解之得：.
故答案为：；.
【点睛】本题考查等差中项和等比中项，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
92．（浙江省湖州中学2020届高三下学期高考模拟测试（三）数学试题）《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是_____；得到橘子最少的人所得的橘子个数是_____ .
【答案】18 6
【分析】假设得橘子最少的个数为，根据等差数列的前项和公式可得，然后简单计算可得结果.
【解析】设得橘子最少的个数为，公差为3
所以
所以得橘子最多的个数为
故答案为：18，6
【点睛】本题考查等差数列的应用，掌握公式，审清题意，属基础题.
93．（浙江省温州市平阳中学2020届高三下学期3月高考模拟数学试题）设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差________，通项公式________.
【答案】2
【分析】直接利用等差数列公式计算得到答案.
【解析】，，解得，，故.
故答案为：2；.
【点睛】本题考查了等差数列的基本计算，意在考查学生的计算能力.
94．（浙江省嘉兴市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知等差数列的前3项依次是，则_________；通项公式_________.
【答案】1
【分析】利用等差中项的性质即可得到的值，再根据首项和公差即可得到通项公式.
【解析】因为构成等差数列，所以，解得.
因为，，所以.
故答案为：；
【点睛】本题主要考查等差中项的性质，同时考查了等差数列的通项公式，属于简单题.
95．（浙江省温州市十五校联合体2019-2020学年高一下学期期末数学试题）设数列满足，且，则数列中的最小项为__________，最大项为__________（要求写出具体的值）.
【答案】 1
【分析】由已知条件可知数列是等差数列，可求出其通项，从而可求出数列的通项，结合反比例函数的性质分析可得答案.
【解析】因为数列满足，且，
所以数列是以2为公差，为首项的等差数列，
所以 ，
所以，
令，此函数在上单调递减，且
在上单调递减，且
所以对于，当时，其有最小值，
当时，其有最大值，
所以数列中最小项为，最大项为1，
故答案为：；1
【点睛】此题考查数列的函数特性，涉及等差数列的通项公式，考查转化思想，属于基础题.
96．（浙江省超级全能生2020届高三下学期3月联考数学试题（B卷））十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，斐波那契数列满足以下关系：，，，记其前项和为，设(为常数)，则______；______.
【答案】
【分析】因为斐波那契数列满足，，通过归纳可以得出，,代入即可求解
【解析】因为斐波那契数列满足， ，，
∴；；； …；
所以，
因为
．
故答案为：，．
【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用，考查化简和运算能力，属于中档题．
97．（浙江省台州市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，，则________， ________.
【答案】2 6
【分析】根据等比数列的通项公式和前项和公式，列方程组，即可得答案；
【解析】
，，解得：；
故答案为：2；6.
【点睛】本题考查等比数列基本量运算，考查运算求解能力.
98．（黑龙江省哈师大附中2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟试题）等差数列中，且，则______；若集合中有2个元素，则实数的取值范围是______.
【答案】12
【分析】空1：根据等差数列的通项公式，结合已知，得到关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组，最后根据等差数列的通项公式进行求解即可；
空2：常变量分离，根据等差数列的前项和公式，构造新数列，利用新数列的单调性结合已知进行求解即可.
【解析】空1：设等差数列的公差为，
因为，且，
所以有：，
因此；
空2：由（1）知：
由，设，
，
显然当时，，
当时，，因此从第2项起，数列是递减数列，
，所以数列的最大项为，
因为中有2个元素，
所以不等式 只有两个不同正整数根，
而数列的最大项为，因此一定是不等式的解，
因此一定有：.
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列通项公式和前项和公式的应用，考查了数列单调性的应用，考查了数学运算能力.
99．（浙江省宁波市九校2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知数列的前项和，则数列满足________，若，数列的前项和为，则_______．
【答案】
【分析】令可求得的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列是等比数列，确定数列的首项和公比，可求得数列的通项公式，进而可求得，利用裂项相消求和法可求得.
【解析】当时，，可得；
当时，由可得，
两式相减得，得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，.
，，
因此，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查利用与的关系求通项，同时也考查了裂项相消求和法，考查计算能力，属于中等题.
100．（四川省遂宁市船山区第二中学校2020届高三高考适应（二）考试数学（理）试卷）已知正项数列的前n项和为，且是4和的等比中项，数列，其前n项的和为，则__________，__________.
【答案】5
【分析】根据已知条件，利用一般数列的和与项的关系可以得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，进而得到，将数列的相邻的奇偶项结合，可得，然后裂项相消求和即的.
【解析】,取n=1得，
当n≥2时，,
化简得：，∵数列各项都是正数，
∴，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，∴；
，，
∴.
故答案为：5；.
【点睛】本题考查求递推数列的通项公式，涉及等比数列的性质，数列的递推关系，数列的和与项的关系，等差数列的判断和通项公式，裂项相消求和法，关键难点在于裂项求和，属较难试题.