专题08 数列（解答题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题08 数 列（解答题）
1．已知首项为的等比数列的前项和为．
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
【试题来源】山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考
【答案】（1）或；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，整理得，
解得或，因此，或；
（2），，，
，
因此，．
2．设等差数列的公差为d前n项和为，，等比数列的公比为q，已知，，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）当时，记，求数列的前n项和．
【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考
【答案】（1），或，；（2）
【解析】（1）由，则或，
当时，，；
当时，，；
（2）当时，由（1）可得，，，则，
所以，所以，
所以，所以．
3．设正项等比数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）记，为数列的前项和，求使得的的取值范围．
【试题来源】广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设公比为，依题意且，由已知，
可得，，所以；
（2）由（1）有，
所以是一个以4为首项，-1为公差的等差数列，所以．
于是等价于，解得．
所以的取值范围是．
4．已知数列，满足，且为等比数列，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求当时，正整数n的最小值．
【试题来源】陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考（理）
【答案】（1），；（2）6．
【解析】（1）因为，，所以．
因为，所以．
所以，解得，所以，所以．
（2）由（1）知，
所以，
所以可化为，解得，所以正整数n的最小值为6．
5．设是公差不为0的等差数列，，为，的等比中项．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【试题来源】河南省新乡市安阳市鹤壁市顶尖名校2020-2021学年高三10月联考数学（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为（），
因为，且为，的等比中项，
则，解得，所以，
（2）由（1）可得，
所以数列的前项和为
．
6．已知公差不为零的等差数列的前项和为，满足，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求数列的前项和．
【试题来源】安徽省淮北市、宿州市2018-2019学年高三上学期一模（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设数列的首项为，公差为，根据题中条件列出方程组求解，得出首项和公差，即可求出通项；（2）由（1）的结果，根据裂项相消的方法，可求出结果．
【解析】（1）设数列的首项为，公差为，
由题意可知：，所以，解得，故．
（2）由（1）可知，
所以
．
7．已知数列为等比数列，，其中，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】广西南宁三中2020届高三数学（（理））考试四试题
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以．
因为是和的等差中项，所以，
即，化简得．因为公比，所以．
所以．
（2）因为，所以．
所以，
则．
8．在数列中，，．
（1）设，证明：是等比数列，并求的通项公式；
（2）设为数列的前n项和，证明：．
【试题来源】山西省山西大学附属中学2020-2021学年高二上学期9月模块诊断（开学考试）
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，，所以．
又，所以是首项为，公比为的等比数列．
于是，故．
（2）．两边同乘以得．
以上两式相减得．
故．
9．已知数列的前项和为，且2，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意知，两式作差可得，从而得到数列的通项公式；（2）由（1）可得，用错位相减法得到数列的前项和．
【解析】（1）由题意知2，成等差数列，所以①，
可得②，①②得，又，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以
（2）由（1）可得，
用错位相减法得①
②
①②可得．
10．已知等比数列满足，，成等差数列，且；等差数列的前项和．求：
（1），；
（2）数列的前项和．
【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中模拟
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）设的公比为，利用等比数列的通项公式以及等差中项可得，再利用等差数列的通项公式即可求解．（2）利用错位相减法即可求解．
【解析】（1）设的公比为．
因为，，成等差数列，所以，即．
因为，所以，因为，所以．
因此．由题意，．
所以，，从而，所以的公差．
所以．
（2）令，则．
因此．
又
两式相减得
．所以．
11．已知等差数列前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，求数列的前项和．
【试题来源】四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（（文））（四模）试题
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列{}的首项为，公差为，
由题意得，解得所以；
（2）由（1）可得：，又，当时，；
当，，
故．
12．已知数列的前n项和为．
（1）若为等差数列，求证：；
（2）若，求证：为等差数列．
【试题来源】陕西省汉中市五校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1）已知数列为等差数列，设其公差为d，
则有，
于是，①
又，②
①+②得：，即．
（2）证明：因为，当时，，
所以，③
，④
④-③并整理，得，即，
所以数列是等差数列．
【名师点睛】本题考查了已知等差数列的通项公式，应用倒序相加法求证前n项和公式，由前n项和公式，结合等差数列的定义证明等差数列，属于基础题．
13．已知数列中，且(且)．
（1）求，的值；
（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）求通项公式
【试题来源】河南省周口市中英文学校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1），；（2）存在，实数；（3）．
【解析】（1）因为，所以，．
（2）假设存在实数，使得数列为等差数列．
设，由为等差数列，则有．所以，
即．解得．此时，
．
综上可知，存在实数，使得数列为首项是2，公差是1的等差数列．
（3）由（2）知，数列为首项是2，公差为1的等差数列，
所以，所以
【名师点睛】此题考查由递推式求数列的项，考查等差数的判断，考查等差数列的通项公式的计算，属于基础题．
14．已知数列的前n项和为，，，，，且当时，．
（1）求的值；
（2）证明：为等比数列．
【试题来源】陕西省汉中市五校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为，，，，
当时，，
即，解得．
（2）证明：由，得，即．
当时，有，所以，
所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
15．已知数列的前项和，数列满足：，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求．
【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
当时，，适合上式，所以；
因为，，所以，所以，
所以数列的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，
所以
（2）由（1）可得，，且，，
，
设，①
所以，②
①﹣②得，
所以，
所以，
，
所以．
16．已知数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）请判断是否存在正整数，，（），使得，，，成等差数列？若存在，求出，，的值；若不存在，请说明理由．
【试题来源】安徽省皖北名校2020-2021学年高二上学期第二次联考
【答案】（1）；（2）；（3）不存在，答案见解析．
【解析】（1）由题意有，，可得数列为公比为3的等比数列，
又由，所以，可得，
故数列的通项公式为；
（2），
，
作差得，
得，得；
（3）由正整数，，满足，得，，
可得，必有，
故不存在正整数，，（），使得，，成等差数列．
17．给出一下两个条件：①数列为等比数列，且，②数列的首项，且．从上面①②两个条件中任选一个解答下面的问题(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)．
（1）求数列的通项公式；．
（2）设数列满足，求数列的前n项和．
【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考
【答案】条件选择见解析，（1）；（2）．
【解析】若选条件①．
（1）由条件，得，
则公比，
令，可得，即，所以，从而有．
（2）由（1）得，，则有，
则其前n项和为．
若选条件②．
（1）令，可得，令，可得，依次类推可得：，
将这一系列等式求和可得：．
其中，故可得．
（2）由（1）得，，则有，
则其前n项和为．
18．已知数列，满足．
（1）若，，，求，的通项公式；
（2）若，数列是共有个项的有限数列，，，求的值．
【试题来源】浙江省高考选考科目2020-2021学年高三上学期9月联考（B卷）
【答案】（1）；；（2）9．
【分析】（1）由题意可求解等比数列的通项公式，从而即可推出的通项公式；
（2）通过数列累加求和计算并进行化简，即可得出k的值．
【解析】（1）由题意可知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以，所以．
令，则，，
，所以，所以．
又因为，所以，，所以，
即．因为也满足，所以
（2）由题意得，即．
又数列是共有k个项的有限数列，所以为末项，
，
相加可得，
由得，
解得或（舍），故．
19．已知数列的前项和为，，且满足．
（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【解析】（1）由题得，，
整理得，．
因为，，所以当时，，
当时，，所以当时，有，
因此是以2为首项，2为公比的等比数列．
所以，所以．
（2）由（1）知，则， ①
①×2，得，②
②-①，得
．
【名师点睛】本小题主要考查已知求，考查错位相减求和法，属于中档题．
20．已知函数（为常数，且）．
（1）在下列条件中选择一个______使数列是等比数列，说明理由；
①数列是首项为2，公比为2的等比数列；
②数列是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列是首项为2，公差为2的等差数列的前项和构成的数列．
（2）在（1）的条件下，当时，设，求数列的前项和．
【试题来源】湖北省黄石市第二中学2020-2021学年高三上学期10月测试
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【分析】（1）分别选择三个条件，先计算出，再利用等比数列的定义判断即可；
（2）先求出，再利用裂项相消法可求出．
【解析】（1）①③不能使成等比数列，②可以，
选①，则，即，得，
常数，此时数列不是等比数列；
选②，则，即，
得，且， ，
为非零常数，数列是以为首项，为公比的等比数列；
选③，则，即，
得，常数，此时数列不是等比数列．
（2）由（1）知，所以当时，．
因为，所以，所以，
．
21．已知数列的前项和为，， ．是否存在正整数（），使得成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
从①，②， ③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
【试题来源】北京市朝阳区2020届高三年级学业水平等级性考试练习二（二模）
【答案】若选①，不存在正整数（），使得成等比数列；
若选②，存在，使得成等比数列；
若选③，存在，使得成等比数列．
【解析】若选①，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，，所以，，
若成等比数列，则，
则，即，即，
解得，均不符合题意，
故不存在正整数（），使得成等比数列；
若选②，则当时，，
又符合上式，则，，所以，
所以，，
若成等比数列，则，即，
解得，或（舍去），故存在，使得成等比数列；
若选③，则当时， ，
又符合上式，则，，所以，，
若成等比数列，则，则，即，
解得，或（舍去），故存在，使得成等比数列．
22．已知数列满足，（，），
（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；
（2）数列的前项和为，求证：对任意，．
【试题来源】宁夏银川一中2021届高三第三次月考（文）
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析．
【解析】（1）由有，所以
所以数列是首项为，公比为2的等比数列．
所以，所以；
（2），
所以，
．
23．设数列的前项和为，且，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第二次大考（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，所以，
两式相减得，即．
又，所以．
故是首项为1，公比为3的等比数列，所以．
（2）因为 ，所以．
则，
两式相减得：．
所以．
24．已知等比数列满足，，在公差不为0的等差数列，中，，且，，成等比数列．
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，求．
【试题来源】云南省云南师范大学附属中学2021届高三月考
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
，，则得，，所以，
设等差数列的公差为，因为，且，，成等比数列，
，，，所以．
（2），
，①
，②
②−①得，
即，所以．
25．已知数列成等差数列，各项均为正数的数列成等比数列，，且，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【试题来源】云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测（理）
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1）因为是等比数列，所以，又，所以，
设等差数列的公差为，由，两式相减得，，
所以，，
所以，而，所以．
（2）由（1）得，
．
26．已知数列是递增等比数列，，且数列的前3项和，，点在直线上．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】河北省张家口市宣化区宣化第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1），；（2）．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用错位相减法在数列求和中的应用和放缩法的应用，利用恒成立问题的应用求出参数的取值范围．
【解析】（1）设数列是公比为且为递增等比数列，，且数列的前3项和，则，解得或，
由于数列为单调递增数列，所以，所以，
由于数列的，点在直线上．
所以(常数)，所以．
（2）由于数列，，所以，
①，
②，
①-②得：，
整理得，解得，
由于恒成立，所以，解得．
所以实数的取值范围是．
27．若等比数列的前项和为，满足，．
（1）求数列的首项和公比；
（2）若，求的取值范围．
【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三（上）模拟命题大赛（文）
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由已知得，解得，．
（2），由得，即，
设，则需．
，
显然时，，时，，
即，而，，
即时；当时，，故的取值范围是．
28．已知数列的前n项和为Sn，且．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，证明：．
【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末（理）
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】证明：（1）因为，所以时，，即；
时，，作差得，
化简得，
即，故数列是首项为-6，公比为2的等比数列；
（2）由（1）知，，即，
，，
故．
29．已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列前项和．
【试题来源】湖北省宜昌市2019-2020学年高三上学期元月调研考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式列出关于和的方程，解方程即可求出和的值，进而可得的通项公式；（2）由（1）可得，利用分组求和即可求解．
【解析】（1）设公差为d，由已知得，解得，．
（2），．
30．已知公比的等比数列的前n项和为，且，，．设（）．
（1）求，；
（2）设，若对都成立，求正整数的最小值．
【试题来源】安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期秋季联赛（文）
【答案】（1），；（2）1．
【解析】（1）数列的公比为q，则由，得：
，因为，所以．
又，，，
从而，
（2）

故不等式等价于对都成立，
令，，
令，得；令，得，
所以当时，；当时，
故，，
31．已知数列是单调递增的等比数列，其前项和为，且满足：，是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式及；
（2）记，求数列的前项和．
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（理）
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等比数列的公比为，
由题意得，因为，所以或（舍去），
又因为是，的等差中项，
所以，即，所以，
所以，；
（2）由题意，，
所以．
32．已知数列的前n项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前n项和为，求证：．
【试题来源】黑龙江省大庆中学2020-2021学年高三10月月考（理）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，数列前n项和满足，
当时，，解得；当时，，
则，
即，即，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为．
（2）由（1），可得，
则，所以数列的前n项和：

，
因为，所以，所以，即．
【名师点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，等比数列的定义和通项公式，以及数列的“裂项法”求和的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
33．已知为等差数列，且公差，是和的等比中项．
（1）若数列的前项和，求的值；
（2）若、、、、、成等比数列，求数列的通项公式．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第二次双基检测（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知，得：，
即，整理得，，解得．
，，即，
，解得；
（2）因为、、、、、成等比数列，
所以该数列的公比，所以，
又因为，所以，．
34．已知等比数列的前项和为，，是和的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【试题来源】天一大联考2021届高三（文）数学阶段性测试试题（二）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设数列的公比为．
因为是和的等差中项，所以，
即，整理得，解得．
所以，所以；
（2）由（1）可知．所以，①
，②
由①②，可得，
所以．
35．已知数列的前n项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前2020项和．
【试题来源】广西钦州市、崇左市2021届高三上学期第一次教学质量检测（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由递推关系可判断为等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出；
（2）求出，再利用裂项相消法即可求出．
【解析】（1）由题知，，，
，，当时，，
两式相减可得，即．
因为，数列为等比数列，首项为4，公比为4，所以通项公式为．
（2），，
，．
36．已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设求数列前2020项的和．
【试题来源】江苏省2020-2021学年高三上学期新高考质量检测模拟
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，
即，解得，
所以的通项公式为．
（2）的前2020项的和．
37．已知等差数列公差不为零，且满足：，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】广西南宁市第二中学2021届高三上学期数学（文）10月份考试试题
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再解方程即可得到答案．（2）根据题意得到，再利用错位相减法求和即可．
【解析】（1）由题知：，，解得或（舍去）．
所以．
（2），令其前项和为，
则①，
②，
①②得：，
，
所以．
38．已知等差数列的公差不为0，，是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题得，化简即得和数列的通项；
（2）利用裂项相消法求数列的前项和．
【解析】（1）由已知得，所以，
化简得，因为，所以，所以．
（2）由（1）知，
所以．
39．已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和．
【试题来源】安徽省淮北市、宿州市2018-2019学年高三上学期一模（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用与关系可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果；（2）整理得到，利用裂项相消法可求得结果．
【解析】（1）在中，
当时，，即，解得．
当且时，…①，…②
①②得：，整理得：，
，，数列是以为首项，为公差的等差数列，．
（2）由（1）得：，
．
【名师点睛】本题考查利用与关系求解数列通项公式、裂项相消法求解数列的前项和的问题，涉及到等差数列通项公式的求解；求解数列前项和的关键是能够根据数列的通项公式进行准确裂项，进而前后相消求得结果，属于常考题型．
40．已知等差数列的前n项和为，的通项公式为．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【试题来源】陕西省汉中市五校2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1），；（2），．
【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，结合已知条件求、d，进而得到通项公式；（2）由已知有，利用错位相减法，求前n项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，由，可得．①
由，可得．②，联立①②，解得，，
等差数列的通项公式为，．
（2）由，有，
故，
，上述两式相减，得
，所以．
41．记为公差不为零的等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求的最大值及对应的大小．
【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考
【答案】（1）（2）当或时，有最大值为20．
【解析】（1）设的公差为，且．
由，得，由，得，
于是，．所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
因为，所以当或时，有最大值为20．
42．已知数列的前项和为，满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设()，求数列的前项和．
【试题来源】陕西省西安交大附中、龙岗中学2020-2021学年高三上学期第一次联考（文）
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）当时，，所以；
当时，，所以，于是；
所以，是首项为3，公比是3的等比数列，于是，．
（2），

【名师点睛】本题考查数列的通项问题，以及数列的错位相减求和问题，其中错位相减法求数列的和是重点也是难点，相减时注意最后一项的符号，最后结果一定不能忘记等式两边同时除以，本题属于中档题
43．已知公差不等于零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用等差数列通项公式与等比中项即可得出；
（2），利用“裂项求和”即可得出．
【解析】（1）设公差为由题得，所以．
（2）由（1）得到，
所以．
44．已知正项数列的前项和为，如果都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）设， 数列的前项的和为，试证明：．
【试题来源】广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1）当时，，
整理得，因为，所以，当时，，
可得，所以，
即数列是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
由，可得，则．所以，当时，，
经验证，符合，
所以正项数列的通项公式是．
（2）由（1）得，
因为，所以，
所以，
即，从而．
45．已知为等差数列，且公差，是和的等比中项．
（1）若数列的前m项和，求m的值；
（2）若，，，，…，成等比数列，求数列的通项公式．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三第二次双基检测（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为是等差数列，所以，，，
因为是和的等比中项，所以，所以，
由化简得．所以，由，解得．
（2）因为，，，，…，成等比数列，
所以该数列的公比，所以；
又因为为等差数列，所以，所以．
46．已知等差数列是递增数列，其前项和为，若是方程的两个实根．
（1）求及；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二）
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为等差数列为递增数列，且，是方程的两根，
所以，，解得或
又，则，则
故，．
（2），
可得前n项和
．
47．已知等差数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，求证：．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由题可得，解出和，即可得出通项公式；
（2）可得为等比数列，由求和公式求出，即可证明．
【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，
则有，解得，故．
（2）证明：，首项为，公比为，所以，
又，所以．
48．设，正项数列的前n项和为，已知，___________．请在①，，成等比数列；②，，成等差数列；③这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，记数列前n项和为，求．
【试题来源】湖北省宜昌市夷陵中学、荆门市钟祥一中两校2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）．
【分析】（1）选①②③都可得，则数列是以为首项，2为公差的等差数列，其他条件求出，即可得解；（2）利用裂项相消法求和，再代入求值.
【解析】选①，（1）由得：，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
由，，成等比数列可得，即，解得．
所以．
选②，（1）由，得，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
由，，成等差数列，得，解得，
所以．
选③，（1）同理，由，得，
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
由得，，解得，
所以．
（2）由（1）得，，
数列前n项和为，
故为所求．
49．已知函数的图象经过点和，记，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
（3）在（2）的条件下，判断数列的单调性，并给出证明．
【试题来源】陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1），；（2）；（3）数列为递增数列，证明见解析．
【分析】（1）代入已知两点坐标求得，可得；（2）用错位相减法求得和；
（3）用作差法证明数列的单调性．
【解析】（1）由题意得，解得，
所以，，；
（2）由（1）得，所以，
，
（1）（2）得
，
所以；
（3）数列为递增数列，因为，令，，
所以，即．
所以，随的增大而减小，则数列为递增数列．
50．已知数列满足，且（且）．
（1）求，的值；
（2）设，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由．
（3）求的前项和．
【试题来源】广东省深圳实验学校高中部2021届高三上学期11月月考
【答案】（1），；（2）存在；；（3）．
【解析】（1）由，
令，，得，令，，得；
（2），，，
若是等差数列，则有，即，解得，
下证当时，是等差数列，当时，
，
所以是公差为1的等差数列，而，所以；
（3）由（2），所以，
令
则
两式相减得：

得，所以．
51．设数列前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和；
（3）若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一下学期期末
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由题意，，，
两式相减得．所以，
又，所以，
所以是首项为2，公比是4的等比数列．所以；
（2）由题意，，所以，
，
两式相减得
，故；
（3）结合（2）可知对任意的恒成立，
所以即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
当时，取最大值，所以．
52．已知数列满足，，设．
（1）求，，；
（2）判断数列是否为等比数列，说明理由；并求的通项公式．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末
【答案】（1），，；（2）是，理由见解析，．
【解析】（1）由条件可得，将代入得，
又，所以，，即，将代入得，
所以，即，又，所以．
综上：，，
（2）由条件可得，即，，
又，所以是首项为1，公比为3的等比数列，．
因为，所以．
53．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝6，Sn＝λn2+n，λ∈R．
（1）求λ的值及{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和．
【试题来源】陕西省西安市高新一中2019-2020学年高三上学期期末（文）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1），故．
所以，故即，故．
（2），设的前项和为，
故
．
【名师点睛】本题考查数列的通项与求和，一般地，知道，则其通项为（注意检验是否可以整合成统一的表达式），而求和的方法则依据通项的形式，本题属于中档题．
54．数列满足，且（）．
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，求数列的最大值与最小值．
【试题来源】上海市新场中学2021届高三上学期第一次月考
【答案】（1），，；（2）；（3）数列的最大值为，最小值为．
【解析】（1）当时，有，所以，
当时，，所以，当时，，所以，
（2）当时，①，②，
②式减①式可得：，即，由（1）知当时，上式不成立，
所以是以从第二项开始，公比为的等比数列，所以．
（3）当时，，当时，，
当时，且递减，，
当时，且递减，，
又，综上所述，数列的最大值为，最小值为．
【名师点睛】本题考查了数列求项，考查了利用数列的和求通项公式，以及求数列的最值，易错点是求通项时注意首项的是否满足，属于中档题．
55．在数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，且数列的前项和为，若为数列中的最小项，求的取值范围．
【试题来源】浙江省温州市龙港市第二高级中学2020-2021学年高三上学期期初测试
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
，……，，
上式累加可得：，，
又，所以；
（2）由（1）可得，所以，
因为为数列中的最小项，所以，即，
当时，得，所以；当时，；
当时，得，所以，令，
则，
当时，，，所以，
又可验证当时，也成立，所以当时，数列为递增数列，
所以，即．综上所述，的取值范围为．
【名师点睛】①已知数列递推公式求通项公式有多种方法，答题时要仔细区分，且最后一定要注意检验；②数列本质上是函数，因此具有一些函数的性质，解决某些数列问题时可以用上函数的相关方法．
56．已知数列满足，且，．
（1）求，的值；
（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式．
【试题来源】江苏省苏州市吴江汾湖高级中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；；（2）证明见解析，．
【解析】（1）由已知，，且，
得，则，又，所以，
由，得，所以．
（2）由已知，得，即，
所以数列是首项，公差的等差数列，
则，所以．
57．已知数列的前项和为，且，数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）若，，求数列的前项和．
【试题来源】海南、山东等新高考地区2021届高三上学期期中备考金卷数学（A卷）试题
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，；
当时，由可得出，
两式作差得，即，则，且，
所以数列是等比数列，且首项为，公比也为，；
（2）由题意得，，所以，且，
则，，，，，
所以，
所以，所以，
所以，易得也适合上式，所以的前项和为．
【名师点睛】本题考查利用与之间的关系求通项，同时也考查了并项求和法，考查计算能力，属于中等题．
58．设数列的前项和为，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，，，组成一个项的等差数列，记其公差为，求数列的前项和．
【试题来源】湖南省永州市2020-2021学年高三上学期第一次模拟
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为 所以，当时，
两式相减得，，即当时，
又当时，，而，则，满足上式，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 ．
（2）依题意可知，，由（1）得，，即，
则，，
两式相减得，
即，所以，．
59．在数列中，，．
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，即，
所以，…，，
累加得，
所以，
因为时也满足，所以．
（2）由（1）可得，
所以 ，
令，则，
相减得，
所以 ，又，
所以．
60．已知数列，其前项和为满足：，对任意的都有，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】山西省山西大学附属中学2020-2021学年高二上学期9月模块诊断（开学考试）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）对任意的都有，且．
当时，可得，整理得，，解得；
当时，由可得，
上述两个等式相减得，即，
显然，且，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差也为，因此，；
（2），则，
所以

，
，所以，数列单调递增，则．
要使不等式对任意正整数恒成立，只要．
由题意可得，解得，由可得，
所以，解得．综上所述，实数的取值范围是．
61．已知数列的前n项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前n项和为，求数列的前n项和．
【试题来源】安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期秋季联赛（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，①．②，
②①得（），
，即，成等比数列，公比为2，
（2）由题意，当时，，
当时，，，
，令，
③，
④，
③④得，
，
62．在①②③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，若问题中的存在，求出的值；若不存在，说明理由．
已知数列为等比数列，，，数列的首项其前项和为， ，是否存在，使得对任意恒成立．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】河北省石家庄正定中学2021届高三上学期第二次半月考
【答案】条件性选择见解析，存在，使得对任意恒成立．
【解析】设等比数列的公比为，因为，所以，
所以 故，①则
两式相减整理得又
所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以
所以
由指数函数的性质知，数列单调递增，没有最大值，
所以不存在，使得对任意恒成立．
②由知数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以 所以
因为当且仅当时取得最大值
所以存在，使得对任意恒成立．
③由可知是以为公差的等差数列，
又，所以设
则
所以当时，，当时，
则，所以存在，使得对任意恒成立．
63．已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高二上学期期中
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，当时，，，故解得，
，，所以，
所以，因为，所以，
所以(常数)，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以．
（2）由题得，
，
，
，
所以．
64．已知数列前项和，点在函数的图象上．
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
【试题来源】广东省中山市2021届高三上学期六校第一次联考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由点在函数的图象上，可得，
当时，，两式相减，可得，
当时，，不符合上式．所以的通项公式为，
（2）由（1）得时，，
可得，，
又由，因为，所以数列单调递增，所以，，要使不等式对任意正整数恒成立，只要，即，解得．
65．已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），当时，，
两式相减并化简得．当时，符合上式，故．
（2），即，
，


，．