专题14 圆锥曲线与方程（多选题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题14 圆锥曲线与方程（多选题）
1．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的坐标为
B．若直线过点，则
C．若，则的最小值为
D．若，则线段的中点到轴的距离为
【试题来源】湖北省宜昌市葛洲坝中学2020-2021学年高三上学期9月月考
【答案】BCD
【分析】由抛物线标准方程写出焦点坐标判断A，根据焦点弦性质判断B，由向量共线与焦点弦性质判断C，利用抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，结合中点坐标公式判断D．
【解析】易知点的坐标为，选项A错误；
根据抛物线的性质知，过焦点时，，选项B正确；
若，则过点，则的最小值即抛物线通经的长，为，即，选项C正确，抛物线的焦点为，准线方程为，过点，，分别做准线的垂直线，，，垂足分别为，，，所以，．所以，所以线段
所以线段的中点到轴的距离为，选项D正确．故选BCD．
【名师点睛】本题考查抛物线的定义与标准方程，考查抛物线的焦点弦性质，对抛物线，是抛物线的过焦点的弦，，则，，，最小时，是抛物线的通径．
2．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】BCD
【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．
【解析】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误
点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，
把代入抛物线，消去y并整理得，
因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；
把代入抛物线，消去y并整理得，
因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确．故选BCD．
【名师点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题．
3．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．的面积为1
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】ACD
【分析】求出双曲线C渐近线方程，焦点，的面积即可判断．
【解析】A．代入双曲线渐近线方程得，正确．B．由题意得，则以为直径的圆的方程，不是，错误．C．，渐近线方程为，距离为1，正确．D． 由题意得，设，根据，解得，，则的面积为1．正确．故选ACD．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点，且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考
【答案】ABCD
【分析】根据余弦定理列方程得出a，c的关系，再计算离心率．
【解析】由双曲线的定义知：，
由可得，
在中，由余弦定理可得：，解得或，
或，或，
又，可得或，故选ABCD．
5．已知椭圆C：()的左､右端点分别为，点P，Q是椭圆C上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆C的离心率不确定 B．椭圆C的离心率为
C．的值受点P，Q的位置影响 D．的最小值为
【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性调研
【答案】BD
【分析】根据题中条件可求出，继而可求出离心率，由此可判断AB；根据题意可得出为定值，可判断C；由和的正切公式可建立关系判断D．
【解析】设，则，因为，，
故，
依题意有，即，所以离心率，故A不正确，B正确；

因为点P，Q关于原点对称，所以四边形为平行四边形，即有，代入题干条件可得；，不受点P，Q的位置的影响，故C不正确；
设为，为，由题意可得，则有，
从而有，
当，即当点P为短轴端点时最大，此时最小，计算得，故D正确．故选BD．
6．如图，过点作两条直线和分别交抛物线于和(其中位于x轴上方)，直线交于点Q．则下列说法正确的是（ ）

A．两点的纵坐标之积为
B．点Q在定直线上
C．点P与抛物线上各点的连线中，最短
D．无论旋转到什么位置，始终有
【试题来源】湖南师大附中2021届高三（上）月考（二）
【答案】AB
【解析】设点，将直线l的方程代入抛物线方程得：
．则．故A正确；
由题得，直线的方程为，
直线的方程为，消去y得，
将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确；
计算可知C错误；因为，但，所以D错误．故选AB．
7．设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若点，则的最小值是3
D．的面积的最小值是2
【试题来源】湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（理）
【答案】ACD
【解析】F（1，0），不妨设A在第一象限，
（1）若直线l无斜率，则A（1，2），B（1，−2），
则|AB|＝4，|OA|＋|OB|＝2|OA|＝，，显然B错误；
（2）若直线l存在斜率，设直线l斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x−1），显然k≠0，
联立方程组，消元得：，
设，则，所以|AB|＝＋2＝4＋＞4，
原点O到直线l的距离，
所以，
综上，|AB|≥4，≥2，故A正确，D正确，
过点A向准线作垂线，垂足为N，则|PA|＋|AF|＝|PA|＋|AN|，
又P（2，2）在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，|PA|＋|AF|取得最小值3，故C正确．故选ACD．

8．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（ ）
A．当轴时， B．离心率
C． D．点I的横坐标为定值a
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（二）
【答案】BCD
【解析】当轴时，，此时，所以A错误；
因为，所以，整理得（为双曲线的离心率），因为，所以，所以B正确．
设的内切圆半径为r，由双曲线的定义得，，
，，，
因为，所以，
故，所以C正确．
设内切圆与、、的切点分别为M、N、T，
可得，．
由，，
可得，可得T的坐标为，即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；故选BCD．

【名师点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简运算能力和推理能力，属于中档题．
9．已知双曲线的左右两个顶点分别是A1，A2，左右两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）
A． B．直线的斜率之积等于定值
C．使为等腰三角形的点有且仅有4个 D．焦点到渐近线的距离等于b
【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】BD
【分析】A． 由双曲线的定义判断；B．设，利用斜率公式求解判断；C．利用双曲线的对称性判断；D．利用点到直线的距离公式求解判断；
【解析】A． 因为，故错误；
B．设，则，所以，故正确；
C．若点P在第一象限，若，为等腰三角形；若，为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点有且仅有8个，故错误；
D．不妨设焦点坐标为 ，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故正确；故选BD．
10．已知抛物线C：y2＝2px (p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为y＝1 B．线段PQ长度的最小值为4
C．M的坐标可能为(3，2) D．＝－3
【试题来源】江苏省徐州市市区部分学校2020-2021学年高三上学期9月学情调研考试
【答案】BCD
【分析】根据条件可得出，易得A、B的正误，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，算出即可得出C、D的正误．
【解析】焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A错误；
当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确；
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px ，
消去y可得x2－(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，所以x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，
当m=1时，可得M(3，2)，则选项C正确；
又x1x2=1，y1y2=－4，所以＝x1x2+y1y2=－3，则选项D正确；故选BCD
11．已知P是双曲线C：右支上一点，分别是C的左，右焦点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的离心率为 B．C的渐近线方程为
C．点p到C的左焦点距离是 D．的面积为
【试题来源】江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】AD
【分析】对于AB，直接利用双曲线的性质判断；对于C，取线段的中点，连接，利用中位线和双曲线的定义计算判断；对于D，在，利用余弦定理求出，进而可得，再用三角形的面积公式计算．
【解析】由已知，离心率，故A正确；
渐近线方程为，故B错误；
如图，取线段的中点，连接，则，且
，，则，故C错误；在中，，
则，
则的面积为，故D正确．故选AD．

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值（）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，、，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为3
C．在上存在点，使得
D．在上存在点，使得
【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】ABD
【分析】设点P的坐标，利用，即可求出曲线C的轨迹方程，然后假设曲线C上一点坐标，根据BCD选项逐一列出所满足条件，然后与C的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．
【解析】设点P（x，y），、，由，得，
化简得x2+y2+8x＝0，即：（x+4）2+y2＝16，故A选项正确；
曲线C的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为，与圆上的点的距离的最小值为﹣4，最大值为+4，而3∈[﹣4，+4]，故B正确；
对于C选项，设M（x0，y0），由|MO|＝2|MA|，得，
又 ，联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，故C选项错误；
对于D选项，设N（x0，y0），由|NO|2+|NA|2＝4，得 ，
又，联立方程消去y0得x0＝0，解得y0＝0，故D选项正确．故选ABD．
13．已知曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线为圆
B．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的充分而不必要条件
D．存在实数使得曲线为双曲线，其离心率为
【试题来源】湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试
【答案】AB
【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解．
【解析】由题意，曲线的方程为，
对于A总，当时，曲线的方程为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，所以是正确的；
对于B中，当时，曲线的方程为，可得，此时双曲线渐近线方程为，所以是正确的；
对于C中，当曲线的方程为表示焦点在轴上的双曲线时，则满足，解得，所以 “”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；
对于D中，当曲线的方程为表示双曲线，且离心率为时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时，解得，此时方程表示圆，所以不正确．故选AB．
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力．
14．已知椭圆的离心率，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初
【答案】AB
【分析】分焦点在、轴上讨论，分别求出的值．
【解析】由题意知，当时，，，，
所以，解得；当时，，，，
所以，解得；故选AB．
15．已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的焦点在轴上 B．
C．的实轴长为6 D．的离心率为
【试题来源】河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考（新高考）
【答案】AD
【解析】由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；
根据题意得，所以，故B错误；
双曲线的实轴长为，故C错误；
双曲线的离心率，故D正确．故选AD．
16．方程所表示的曲线可能是（ ）．
A．双曲线 B．抛物线
C．椭圆 D．圆
【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟
【答案】ACD
【解析】是任意实数，，
当时，方程所表示的曲线是圆；
当且不等于1时，方程所表示的曲线是椭圆；
当时，方程所表示的曲线是双曲线；
当时，方程所表示的曲线是两条直线．故选ACD．
【名师点睛】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．
17．双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的离心率为，双曲线的焦点到渐近线的距离为，则（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】湖北省黄冈市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】AC
【分析】利用双曲线的渐近线方程求出，然后转化求解离心率，求出双曲线的焦点到渐近线的距离为，判断选项即可．
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，
可得，，所以．双曲线的右焦点，
双曲线的焦点到渐近线的距离为．故选．
18．已知双曲线的两条渐近线分别为直线，，则下列表述正确的有（ ）
A．
B．
C．双曲线的离心率为
D．在平面直角坐标系中，双曲线的焦点在轴上
【试题来源】辽宁省朝阳市凌源市2019-2020学年高二下学期期末联考
【答案】CD
【分析】由已知可得，所以，由此可判断AB选项，再由双曲线的方程和双曲线的离心率公式可判断CD选项．
【解析】因为双曲线的两条渐近线方程分别为，，所以，所以，故AB不正确；所以双曲线的离心率；在平面直角坐标系中，双曲线的焦点在轴上．故CD正确 ．故选CD．
19．已知双曲线的方程为，则双曲线的（ ）
A．离心率为 B．渐近线方程为
C．共轭双曲线为 D．焦点在曲线上
【试题来源】湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】AD
【分析】由双曲线的离心率的定义，可判定A正确；由双曲线的渐近线方程，可判定B不正确；由双曲线的共轭双曲线的定义，可判定C不正确；根据双曲线的焦点为，代入验证，可判定D正确．
【解析】由双曲线的方程为，可得，且，
所以双曲线的离心率为，故A正确；
双曲线的渐近线方程为，所以B不正确；
由双曲线的方程为，则其共轭双曲线为，所以C不正确；
由双曲线的方程为的焦点为，代入曲线，满足方程，所以D正确．故选AD．
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质，以及共轭双曲线的定义的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．
20．若椭圆的离心率为，则m的取值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
【试题来源】江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高二上学期学情调研测试
【答案】AC
【分析】分焦点在x轴或y轴上，即，或结合离心率讨论求解．
【解析】当时，焦点在x轴上，此时离心率为，解得，满足
当时，焦点在y轴上，此时离心率为，解得，满足
综上m的值为或3，故选AC．
21．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则（ ）
A．的准线方程为
B．点的坐标为
C．
D．三角形的面积为（为坐标原点）
【试题来源】金太阳2020-2021学年高三第一次检测考试
【答案】ACD
【解析】如图，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点．由抛物线的解析式可得准线方程为，
点的坐标为，则，，
在直角梯形中，中位线，
由抛物线的定义有，结合题意，有，
故，，
．故选ACD．

22．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底
【答案】AB
【分析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得关系，再计算离心率即可．
【解析】若双曲线焦点在轴上，因为渐近线方程为，故，；若双曲线焦点在轴上，由渐近线方程为，得，．故选AB．
23．设定点、，动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．线段
C．椭圆 D．不存在
【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】BC
【分析】由基本不等式可得，可得或，即可判断轨迹．
【解析】、，，
，，当且仅当，即时等号成立，
当时，即，此时点的轨迹是线段，
当时，即，此时点的轨迹是椭圆．故选BC．
24．已知方程，则（ ）
A．当时，方程表示椭圆
B．当时，方程表示双曲线
C．当，n＞0时，方程表示两条直线
D．方程表示的曲线不可能为抛物线
【试题来源】江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2020-2021学年高二上学期教学质量调研（二）
【答案】BCD
【分析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项即可得出答案．
【解析】A：取，此时表示圆，故A错误；
B：当时，方程表示焦点在轴或轴上的双曲线，故B正确；
C：当，，方程表示两条直线，故C正确；
D． 方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，故D正确；故选B C D．
25．已知双曲线，则（ ）
A．的离心率为 B．的虚轴长是实轴长的6倍
C．双曲线与的渐近线相同 D．直线上存在一点在上
【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷）
【答案】AC
【分析】根据双曲线方程求得，，进而可得，即可判断A与B；分别求两双曲线渐近线方程可判断C；根据渐近线可判断D．
【解析】因为，，所以，则，，所以A正确，B错误．双曲与的渐近线均为，所以C正确，
因为C的的渐近线的斜率小于的3，所以直线与相离，所以D错误．故选AC
26．在平面直角坐标系中，已知双曲线则（ ）
A．实轴长为4
B．渐近线方程为
C．离心率为2
D．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3
【试题来源】江苏省镇江市大港中学2020-2021学年高二上学期10月学情检测
【答案】AC
【分析】由双曲线的方程可得，的值，求出离心率、实轴长，以及准线方程与渐近线的方程可得正确答案．
【解析】由双曲线的方程可得，，，，所以，，， 所以实轴长，离心率，渐近线方程为，所以，正确，错误；因为准线方程为，设渐近线与渐近线的交点为，两个方程联立可得，另一条渐近线的方程为，所以到它的距离为，所以不正确．故选．
【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的离心率、实轴长，以及准线方程与渐近线方程的求解，属于基础题．
27．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（ ）
A．若，则C为椭圆
B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
C．曲线C可能是圆
D．若C为双曲线，则
【试题来源】河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】AD
【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案．
【解析】对于A选项，当时，曲线为C表示圆，故不正确；
对于B选项，当曲线C为焦点在轴上的椭圆时，则，解得，故正确；对于C选项，当时，曲线为C表示圆的方程，故正确；
对于D选项，当曲线C为双曲线时，则，解得或，故错误；
综上，错误的是AD．故选AD．
28．设点F､直线l分别是椭圆C：(a>b>0)的右焦点､右准线，点P是椭圆C上一点，记点P到直线l的距离为d，椭圆C的离心率为e，则的充分不必要条件有（ ）
A．e(0，) B．e(，)
C．e(，) D．e(，1)
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】BC
【分析】根据椭圆第二定义可得充要条件是，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可．
【解析】依题意，，即，选项A，是充要条件，所以不满足；选项B，C中的范围均是的真子集，所以满足充分不必要条件；选项D，既不是充分条件也不是必要条件．故选B，C．
29．已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率 B．双曲线的渐近线方程为
C．双曲线的焦距为 D．双曲线的焦点到渐近线的距离为
【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研A卷试题
【答案】AB
【分析】根据双曲线的方程得到a，b的值，并根据a，b，c的平方关系求得c的值，根据离心率的定义求得e的值，根据a，b的值写出渐近线方程，根据c的值计算焦距2c的值，利用点到直线的距离公式求得焦点到渐近线的距离，然后与各选择支对照，得出正确答案．
【解析】由双曲线的方程可得，这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，
，
渐近线方程为，整理得，双曲线的焦距为，
焦点，焦点到渐近线的距离为，
故AB正确，CD错误，故选AB．
30．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）

A．焦距长约为300公里 B．长轴长约为3976公里
C．两焦点坐标约为 D．离心率约为
【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】ABD
【分析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C不正确．
【解析】设该椭圆的半长轴长为，半焦距长为．依题意可得月球半径约为，，，
，，，
椭圆的离心率约为，可得结论A、B、D项正确，
因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C项错误．故选ABD．
31．已知双曲线过点，则下列结论正确的是（ ）
A．C的焦距为4 B．C的离心率为
C．C的渐近线方程为 D．直线与C有两个公共点
【试题来源】湖南省益阳市2020-2021学年高三上学期9月调研考试
【答案】AC
【分析】由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出椭圆C的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D．
【解析】由双曲线过点，可得，
则双曲线的标准方程为；所以，
因为椭圆C的焦距为，所以选项A正确；
因为椭圆C的离心率为，所以选项B不正确；
因为椭圆C的渐近线方程为，所以选项C正确；
将直线与双曲线联立消可得，
，所以直线与双曲线，
C没有公共点，所以选项D不正确；故选AC．
32．若椭圆的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的长轴长为
C．的短轴长为 D．的离心率为
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】ACD
【分析】首先根据条件列式，得到椭圆方程，再判断选项．
【解析】由已知可得，解得或(舍去)，
椭圆的方程为，所以， ，即，，
长轴长为，短轴长，离心率．故选ACD．
【名师点睛】本题考查椭圆方程和椭圆的简单几何性质，重点熟记椭圆方程和椭圆的简单几何性质，属于基础题型．
33．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列式子正确的是（ ）

A． B． C． D．
【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中模拟
【答案】BC
【分析】A选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD选项根据B选项的结论进行变形来判断．
【解析】由题图可得，故A不正确；
，故B正确；
由得，即，
即，故C正确，D不正确．
故选BC．
34．已知P是双曲线C：上任意一点，，是双曲线的两个顶点，设直线，的斜率分别为，，若恒成立，且实数的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的方程为
B．双曲线的离心率为
C．函数的图象恒过双曲线C的一个焦点
D．设，分别是双曲线的左、右焦点，若的面积为，则
【试题来源】江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】AC
【分析】可设代入双曲线的方程，结合不等式恒成立的思想，以及基本不等式求得，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，即可判断选项、、的正误，再由焦点三角形的面积公式和双曲线的对称性，即可判断的正误．
【解析】由题意知，设，则，即
可得，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
实数的最大值为1，所以，解得，
可得双曲线的方程为，则，所以离心率，故正确，错误，双曲线的焦点为，
函数图象恒过双曲线的焦点，故正确，
由的面积为和双曲线的对称性可知，在双曲线的左支或右支上，
所以错误，由排除法判断错误，故选
35．已知，是椭圆：的左､右焦点，､是左､右顶点，为椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，已知， ，，设直线的斜率为，直线和直线的斜率分别为，，直线和直线的斜率分别为，，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【试题来源】湖北省黄冈市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】AC
【分析】过点作的平行线，交于点，设，，可得，由椭圆定义可得．，在△中，由勾股定理可得：，即可判断的正误，设，则，即可判断正误．
【解析】，，过点作的平行线，交于点，．
设，，又，，
，，，．，，
在△中，，，，
，，，
椭圆离心率，故正确，，故错，
设，易得，，
则，故正确，
同理，故错．故选．

36．已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为4
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为
D．周长的最小值为
【试题来源】新高考课改专家2021届高三数学命题卷试题
【答案】ACD
【解析】因为双曲线的方程为，所以，，则，
因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以，即，
选项A：若，则点的横坐标为，所以选项A正确；
选项B：因为抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，所以抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为，所以选项B错误；
选项C：因为、，所以外接圆的圆心的横坐标为1，又因为外接圆与抛物线的准线相切，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离等于半径，所以圆心在抛物线上且到准线的距离为3，所以，所以该外接圆面积为，所以选项C正确；选项D：因为的周长为，所以选项D正确．故选ACD
37．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）

A．为等比数列
B．
C． 轴，且
D．四边形的内切圆过焦点
【试题来源】山东省济南外国语2019-2020学年高三寒假综合测试三月份在线考试试题
【答案】BD
【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解．
【解析】，，，对于：为等比数列，则，
，，不满足条件，故错误；
对于：，，，
即解得或（舍去）满足条件，
故正确；对于： 轴，且，，
即，解得，，不满足题意，故错误；对于：四边形的内切圆过焦点，
即四边形的内切圆的半径为，
，，解得（舍去）或，
，故正确，故选．
38．已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．以为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为
D．的面积为
【试题来源】山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一）
【答案】ACD
【分析】根据双曲线的标准方程求出渐近线方程，以为直径的圆的方程，点坐标，的面积然后判断各选项．
【解析】由双曲线方程知，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；，以为直径的圆的方程是，B错；由得或，由对称性知点横坐标是，C正确；
，D正确．故选ACD．
39．已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆相交于点、，则（ ）
A．当时，的面积为 B．不存在使为直角三角形
C．存在使四边形面积最大 D．存在，使的周长最大
【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测
【答案】AC
【解析】如图：对于A选项，经计算显然正确；

对于B选项，时，可以得出，当时，，根据对称性，存在使为直角三角形，故B错误；
对于C选项，根据椭圆对称性可知，当时，四边形面积最大，故C正确；
对于D选项，由椭圆的定义得：的周长；
因为；所以，当过点时取等号；
所以；
即直线过椭圆的右焦点时，的周长最大；此时直线；但，所以不存在，使的周长最大．故D错误．故选AC
40．我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：，A1，A2，B1，B2为顶点，F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有（ ）

A．|A1F1|，|F1F2|，|F2A2|为等比数列 B．∠F1B1A2=90°
C．PF1⊥x轴，且POA2B1 D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2
【试题来源】陕西省西安中学2019-2020学年高二上学期期末教学质量检查
【答案】BD
【分析】利用椭圆及其标准方程和椭圆的几何性质，逐个选项列出含的方程组，然后解方程组即可求解
【解析】椭圆：，，，，，
，，对于，若，则，，，不满足条件，故A不符题意；
对于B，，，
，，，
解得或（舍去），故B对；
对于轴，且，，，，解得，
，，，不符题意，故C不符题意；
对于D，四边形的内切圆的半径为，，
，，解得（舍去）或，
，符合题意，故D对，故选BD．
41．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则（ ）
A．|BF|＝3 B．△ABF是等边三角形
C．点F到准线的距离为3 D．抛物线C的方程为y2＝6x
【试题来源】广东省2021届高三上学期调研
【答案】BCD
【分析】根据题意，作出示意图，结合抛物线的定义，焦半径公式，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择．
【解析】根据题意，作图如下：

因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，
所以为等边三角形，B正确；∠ABD＝90°，，过F作FC⊥AB交于C，
则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，
，，所以A不正确，
焦点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为y2＝6x，所以D正确．故选BCD．
42．已知双曲线C：，则( )
A．双曲线C的离心率等于半焦距的长
B．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的一条准线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为
D．直线y＝kx＋b(k，bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，2
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】ACD
【分析】根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项．
【解析】双曲线焦点在轴上，且，渐近线为，准线方程为．对于A选项，双曲线的离心率为，所以A选项正确．对于B选项，双曲线的渐近线为，与曲线的渐近线不相同，故B选项错误．对于C选项，双曲线的一条准线方程为代入，解得，所以弦长为，所以C选项正确．对于D选项，直线与双曲线的公共点个数可能为，故D正确．故选ACD．
43．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为等腰直角三角形
C．直线的斜率为 D．线段的长为
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】ACD
【分析】由题意写出焦点F的坐标及准线方程，设直线AB的方程及A，B的坐标，可得C，D的坐标，再由|AF|＝3|BF|，求出直线AB的参数，进而判断出所给命题的真假．
【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
由题意可得直线AB的斜率不为0，由题意设直线AB的方程为x＝my+1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可知C（﹣1，y1），D（﹣1，y2），
将直线AB与抛物线联立整理得：y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
A中，因为＝（﹣2，y1）•（﹣2，y2）＝（﹣2）（﹣2）+y1y2＝4﹣4＝0，所以，即∠CFD＝90°，所以A正确；
B中，由A正确，不可能CM⊥DM，更不会∠C或∠D为直角，所以B不正确；
C中，因为|AF|＝3|BF|，所以，即y1＝﹣3y2，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以，解得m2＝，m＝，所以直线AB的斜率为，所以C正确；
D中，由题意可得弦长|AB|＝＝，所以D正确，故选ACD．

44．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ）
A．的方程为 B．的离心率为
C．的渐近线与圆相切 D．满足的直线仅有1条
【试题来源】山东省青岛市2021届高三调研检测
【答案】AC
【解析】设点，由已知得，整理得，所以点的轨迹为曲线的方程为，故A正确；又离心率，故B不正确；圆的圆心到曲线的渐近线为的距离为，又圆的半径为1，故C正确；
直线与曲线的方程联立,整理得，
设， ，
且，有，
所以，
要满足，则需，解得，此时，而曲线E上，故D不正确，故选AC．
45．已知抛物线，焦点为，过焦点的直线抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的最小值为2 B．线段为直径的圆与直线相切
C．为定值 D．若，则
【试题来源】河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试试题
【答案】BCD
【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
过焦点的弦中通径最短，所以最小值为，故A不正确；
如图，设线段中点为，过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，

由抛物线定义可知，，所以，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故B正确；
设所在直线的方程为，由，消去，得，
所以，，故C正确；
又，
，故D正确．故选BCD．