专题16 圆锥曲线与方程（解答题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题16 圆锥曲线与方程（解答题）
1．求适合下列条件的曲线的标准方程．
（1），焦点在轴上的椭圆的标准方程；
（2），焦点在轴上的双曲线的标准方程．
【试题来源】重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据椭圆的标准方程中、分别表示长轴、短轴的长度，结合焦点在轴上即可写出椭圆的标准方程；（2）根据双曲线的标准方程中、分别表示实轴、虚轴的长度，结合焦点在轴上即可写出双曲线的标准方程．
【解析】（1）由题意知：椭圆的标准方程为；
（2）由题意知：双曲线的标准方程为．
2．已知点，点P到点F的距离比点P到y轴的距离多1，且点P的横坐标非负，点()；
（1）求点P的轨迹C的方程；．
（2）过点M作C的两条切线，切点为A，B，设的中点为N，求直线的斜率．
【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性检测
【答案】（1）；（2）直线的斜率为0．
【解析】（1）设点P的坐标为()，则有．
点P到y轴的距离为，据题意有，
化简可得，即点P的轨迹C的方程为．
（2）设过点M作抛物线C的切线的方程为，
与抛物线C联立，可得．
易知该方程仅有1个解，可得，即①，
则有切点A的坐标为．
设过点M作抛物线C的切线的方程为，
则有②，且点B的坐标为．
观察①②式，可知，为方程的两个解．
根据根与系数关系，可得，根据中点公式，
可知点N的纵坐标为定值1，故可得直线的斜率恒为0．
3．（1）已知椭圆的焦距为，准线方程为，求椭圆的方程；
（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求双曲线的方程．
【试题来源】江苏省扬州大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）焦距为，则，准线方程为，则，即，
由，可得：，所以椭圆的方程为；
（2）由双曲线的一条渐近线方程为可知，，
且与椭圆有公共焦点，则，又，即，
解得，，，所以双曲线的方程为．
4．已知动点与平面上两定点、连线的斜率的积为定值．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，过的直线交轨迹于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设点，则依题意有，整理得，
由于，所以所求动点的轨迹的方程为．
（2）直线的斜率，故直线的方程为，
与椭圆方程联立，消去得：，所以或．
所以的面积为．
5．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为与双曲线交于两点，求的面积．
【试题来源】重庆市万州沙河中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由两条双曲线有共同渐近线，可令双曲线方程为，求出即可得双曲线的方程；（2）根据已知有直线为，由其与双曲线的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式及三角形面积公式求的面积．
【解析】（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）知：，即直线的方程为．
设，联立得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以
6．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；
（2）求与双曲线=1有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程．
【试题来源】陕西省西安交大附中2019-2020学年高二上学期期末（文）
【答案】（1）或．；（2）．
【解析】（1）若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为，
由长轴长知：，；由焦距知：，
，解得；椭圆标准方程为；
若焦点在轴上，可设椭圆标准方程为，
同焦点在轴上，可得，，所以椭圆方程为；
综上，所求椭圆方程为或．
（2）所求双曲线与双曲线=1有共同的渐近线，
可设双曲线标准方程为，
又过点，所以，解得，所以即为所求．
7．（1）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，焦距为，求椭圆的标准方程；
（2）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求该双曲线的标准方程．
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，
由题意得，所以所求椭圆的标准方程为．
（2）由题意知双曲线标准方程为，所以
又，解得所以所求双曲线标准方程为．
8．抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆的一个焦点重合，若抛物线与椭圆的一个交点是，求抛物线与椭圆的标准方程．
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】抛物线的标准方程为，椭圆方程为．
【解析】由题意可设抛物线方程为，
因为点在抛物线上，所以，
所以，所以抛物线的标准方程为，
所以抛物线的焦点为，从而椭圆的一个焦点为，所以，
所以椭圆方程为，因为点在椭圆上，
所以，解之得或（舍去），
所以椭圆的标准方程为．
9．已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由已知得，又，，
所以．所以椭圆的标准方程为．
（2）已知点，当直线斜率不存在时显然不满足题意，所以直线斜率存在，设直线：，即，由于直线关于直线对称，则直线，设，，
联立：得，
（方程有一解是），同理，
则
，所以直线的斜率为定值．
10．已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．
【试题来源】四川省成都市树德中学2020-2021学年高二上学期10月阶段性测数学（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题可得，解得，，所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的右焦点为
所以经过双曲线右焦点且倾斜角为30°的直线的方程为．
联立得，设，，
则，．所以．
11．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设抛物线的准线与轴交于点，直线过点且与抛物线交于，两点（点在点，之间），点满足，求与的面积之和取得最小值时直线的方程．
【试题来源】辽宁省2021届高三上学期测评考试
【答案】（1）（2）或．
【解析】（1）的焦点为，依题意有，解得，
所以，抛物线的标准方程为．
（2）由（1）知，抛物线的标准方程为，其准线方程为，
所以点易知直线的斜率存在，且不为零，其方程为，
设，，因为，即，
所以，联立方程，消去，得，，
根据题意，作图如下：


．
当且仅当，即或时，
与的面积之和最小，最小值为．
时，，，直线的方程为；
时，，，直线的方程为，
所以与的面积之和最小值时直线的方程为或．
【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、利用数形结合思想和基本不等式求三角形面积的最值；考查运算求解能力、数形结合思想和转化与化归能力；属于综合型、难度大型试题．
12．已知点F为椭圆E：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与y轴交于点P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若，求实数的取值范围．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，得，，
则椭圆E为，由得，
因为直线与椭圆E有且仅有一个交点M，
所以，解得，所以椭圆E的方程为．
（2）由（1）知：，所以，
当直线l与x轴垂直时，，
由，得，
当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为 ，
联立，得，
则，，即．
所以，
所以，因为，所以，
综上：实数的取值范围为．
13．设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为．
（1）求抛物线方程和椭圆方程；
（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值．
【试题来源】浙江省金色联盟（百校联考）2020-2021学年高三上学期9月联考
【答案】（1）抛物线方程为，椭圆方程为；（2）．
【分析】（1）由点到抛物线准线的距离为可得，进而求出，再根据离心率求出，即可求出抛物线方程和椭圆方程；（2）设直线方程为，联立抛物线方程，利用可求出，再联立直线与椭圆，即可求出弦长表示出面积，即可求出最值．
【解析】（1）由已知得，，，
所以抛物线方程为，椭圆方程为．
（2）设直线方程为，由消去得，，
设，则
因为
所以或（舍去），所以直线方程为．
由消去得，．
设，则
所以
．
令，则，所以，
当且仅当时，即时，取最大值．
14．已知椭圆的短轴长为，且经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两个不同点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设为原点，若，求证：直线经过定点．
【试题来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2020届高三上学期9月月考（文）
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为椭圆的短轴长为，所以；
因为椭圆经过点，所以，所以，解得
故椭圆的方程为．
（2）设，联立得，
依题意得，
，．
所以直线，令得，
即；同理可得．
因为，即，
所以，即（*）
，
所以（*）式可化为，
①当时，，则
直线的方程为，
直线过定点，不合题意，舍去；
②当时，或，
若，则直线的方程为，过定点，不合题意.若，则直线的方程为，直线过定点，
综上，直线过定点．
15．已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，在椭圆上，点、是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．
【试题来源】广东省中山市2021届高三上学期六校第一次联考
【答案】（1）；（2）斜率为定值，理由见解析．
【解析】（1）因为椭圆的中点在原点，焦点在轴上，
所以设椭圆的方程为，，
椭圆的离心率等于，一个顶点恰好是抛物线的焦点，
所以，，又，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）当时，，的斜率之和为0，
设直线的斜为，则的斜率为，设，，
设直线的方程为，由，消去并整理，
得：，所以，
设的直线方程为，同理，得，
所以，，
，
所以的斜率为定值．
16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点．
（1）若，求椭圆方程；
（2）对（1）中椭圆，求的面积；
（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系．
【试题来源】上海市交通大学附属中学2021届高三上学期10月月考
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为c，由题意可得，即，
因为椭圆长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，
所以，所以，所以，所以椭圆方程为；
（2）由（1）知，，所以直线，设，，
由消去y得，，所以，，
所以，，
所以；
（3）由可得椭圆方程为，即，
则点，直线，由消去y得，，设，，则，，
设，由可得，，
由点在椭圆上可得，
整理得，
因为
，所以，
又，在椭圆上，所以，，
所以，所以．
17．已知椭圆：的离心率为，焦距为．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．
【试题来源】江苏省2020-2021学年高三上学期新高考质量检测模拟
【答案】（1） ．（2）见解析．
【解析】（1）由题意可得 ，解得，
又，所以椭圆方程为．
（2）证明：设直线的方程为，，，
由，消去，得
则，且，
故

即直线，，的斜率依次成等比数列．
18．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，，为坐标原点，求的面积．
【试题来源】广西南宁市第二中学2021届高三上学期数学（文）10月份考试试题
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题得，，解得，
因为，所以，所以椭圆的方程为．
（2）由题可知，直线与直线关于轴对称，所以．
由（1）知，椭圆的方程为，
所以，，所以，从而，
所以直线的方程为，即．
联立方程，解得或．设，，不妨取，，所以当，；当，，
所以，．．
设原点到直线的距离为，则，所以．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线(的斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考
【答案】（1）；（2）为定值．
【分析】（1）由面积的最大值为，得到，又求解．（2）设直线，与椭圆方程联立，然后求得弦长和直线AB的垂直平分线求得点P的坐标求解．
【解析】（1）面积的最大值为，则：，
又，，解得，，所以椭圆C的方程为．
（2）为定值，设直线，
设，，线段的中点为，
由，消去x可得：，
因为恒成立，所以，
，所以，，
所以，直线，
令，则，，故为定值．
20．已知曲线表示焦点在轴上的椭圆．
（1）求的取值范围；
（2）设，过点的直线交椭圆于不同的两点，（在，之间），且满足，求的取值范围．
【试题来源】云南省云南昆明市第一中学2021届新课标高三（10月）第二次双基检测（理）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为曲线表示焦点在轴上的椭圆，
所以解得，所以m的取值范围是；
（2）因为，所以椭圆方程为；
当直线l的斜率不存在时，即直线，此时，，
由解得；
当直线l的斜率存在时，设直线，，，
联立直线l与椭圆消得，
所以，，即，解得，
由，得，而，
即，
又在上单调递增，
所以，又在，之间，即，解得；
综上所述，的取值范围是．
21．已知椭圆的标准方程为（），且经过点和．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设经过定点的直线与交于、两点，为坐标原点，若，求直线的方程．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先根据椭圆经过点和建立方程并求解得，，再求椭圆的标准方程；（2）先设、的坐标与直线方程，接着联立方程组根据根与系数关系用表示、、，最后结合建立方程求的值和求的方程．
【解析】（1）因为椭圆经过点和，所以，
解得，，所以椭圆的标准方程为．
（2）设、的坐标分别为、，依题意可设直线方程为，
联立方程组消去，得．
因为直线与交于、两点，，，
，，
，
，即，解得，
所以直线的方程为或，即或．
22．在平面中，已知椭圆过点，且离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线方程为，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．
【试题来源】山西大学附中2019-2020学年高二（12月份）第四次诊断（文）
【答案】（1）；（2）2．
【分析】（1）根据椭圆过点，且离心率，由求解．
（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系利用弦长公式求得，再求得点到的距离，建立三角形面积模型求解．
【解析】（1）因为椭圆过点，且离心率．
所以，解得，，则，所以椭圆方程为．
（2）设直线方程为，，、，，
联立方程组整理得：，
所以，，由弦长公式得：，
点到的距离为．
所以．
当且仅当，即时取到最大值，最大值为2．
23．已知，是椭圆的左右焦点，
（1）若是椭圆上一点，求的最小值；
（2）直线与椭圆交于，两点，是坐标原点．椭圆上存在点满足，求的值．
【试题来源】山西大学附中2019-2020学年高二（12月份）第四次诊断（文）
【答案】（1）0；（2）．
【分析】（1）先求出两焦点坐标，设，由，得到x的函数，然后利用函数法求解． （2）联立直线方程和椭圆方程，由求得m的范围，然后利用根与系数关系结合，求得点P的坐标，由点P在椭圆上，代入椭圆方程求解．
【解析】（1）由椭圆方程，可得，，设，
则，
所以，
由椭圆的几何性质可得，，所以当时，的最小值为0．
（2）设，，，，联立，得，
判别式△，解得，
由根与系数的关系得，
，，，
，，
又点在椭圆上，，
解得，，．
24．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为，，在椭圆上，且．的周长为 8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上的动点作的切线，过原点作于点，求的面积的最大值．
【试题来源】广东省2021届高三上学期新高考适应性测试（一）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据判断出轴，结合的周长求得，根据短轴求得，由此求得椭圆的标准方程．（2）联立直线的方程和椭圆的方程，根据求得的关系式，求得、，进而求得的面积的表达式，结合基本定理求得面积的最大值．
【解析】（1）由，可知，，三点共线，且轴，
由的周长为8，得，所以，且，
所以椭圆的标准方程为．
（2）显然直线斜率存在且不为0，设直线：，
联立，得，
且，得，
所以．
联立，得，．
所以，
，
所以，
当且仅当时取等号，所以的面积的最大值为．
25．过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于两点，其中是的中点；
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当坐标为时，求直线的方程；
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据渐近线的方程直接求解即可．（2）根据题意求出点P坐标，再根据中点坐标公式求解的坐标，进而求得直线l的斜率，再利用点斜式求解方程即可．
【解析】（1）由双曲线，得，
可得双曲线的渐近线方程为，即；
（2）令可得，解得，(负的舍去)，
则坐标为时，设，
由为的中点，可得，
解得，即，
可得的斜率为，
则直线的方程为，即．
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程以及利用双曲线上的点的坐标求解直线的方程，需要根据题意设对应的点的坐标，列出关系式，再根据双曲线上的点满足双曲线的方法代入求解．属于中档题．
26．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于和两点．
（1）当时，求直线的方程；
（2）若过点且垂直于直线的直线与抛物线交于两点，记与的面积分别为，求的最小值．
【试题来源】2020届广西壮族自治区高三第一次教学质量诊断性联合数学（理）
【答案】（1）；（2）12．
【分析】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系求解得即可．（2） 联立直线与抛物线的方程，利用根与系数关系表达，再根据基本不等式的方法求最小值即可．
【解析】 （1）由直线过定点，可设直线方程为．
联立消去，得，
由根与系数关系得，
所以．
因为．所以，解得．所以直线的方程为．
（2）由（1），知的面积为

．
因为直线与直线垂直，且当时，直线的方程为，则此时直线的方程为，但此时直线与抛物线没有两个交点，
所以不符合题意，所以．因此，直线的方程为．
同理，的面积．
所以
，
当且仅当，即，亦即时等号成立．
【名师点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，包括联立方程利用根与系数关系求解以及面积的问题和利用基本不等式求解函数最值的方法．属于难题．
27．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】（1）（2）
【解析】（1）设所求双曲线方程为，
代入点得，即，
所以双曲线方程为，即．
（2）．直线的方程为．设
联立得 满足
由弦长公式得
点到直线的距离．
所以
28．已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程．
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）由题可得 ，解得，，，
故双曲线的标准方程为；
（2）由得，
由得 ，
设， ，则 ，
，
O点到直线l的距离 ， ，
，或 ，或
故所求直线方程为或.
29．已知抛物线的焦点为，点满足．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由条件易知在抛物线上，，
故，即抛物线的方程为；
（2）易知直线斜率必存在，设，，，
①，
联立得即，
由得，且②， ③，
由①②③得，即直线．
30．已知动点到直线的距离比它到点的距离大1．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若直线与轨迹E交于A，B两点，且以为直径的圆经过坐标原点，求k的值．
【试题来源】重庆市广益中学校2019-2020学年高二上期期末复习
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得动点到直线的距离与到点的距离相等，
所以动点的轨迹为抛物线，设，
因为，动点的轨迹的方程为．
（2）设，，，，
将直线代入得：，则△，解得，
，，
以为直径的圆过原点，，
，解得．
31．已知抛物线（）的焦点，为坐标原点，，是抛物线上异于的两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
【试题来源】山西省大同市第一中学2019-2020学年高二下学期3月网上考试（文）
【答案】（1）；（2）证明见详解．
【分析】（1）根据焦点坐标，即可求得以及抛物线方程；（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，设直线方程，联立抛物线方程，根据根与系数关系，结合直线，的斜率之积为，找到直线之间的等量关系，从而证明问题．
【解析】（1）因为抛物线（）的焦点坐标为，
所以，即，所以抛物线的方程为．
（2）证明：①当直线的斜率不存在时，设，．
因为直线，的斜率之积为，所以，化简得．
所以，，此时直线的方程为．
②当直线的斜率存在时，设其方程为，，，
联立方程组，消去得，由根与系数的关系得，
因为直线，的斜率之积为，所以，即．
即，解得（舍去）或．
所以，即，所以即
综合①②可知，直线过定点．
32．河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．

（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；
（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m）
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】（1）直角坐标系见解析，拱桥所在的抛物线方程是 ；（2）0.6m
【解析】（1）设抛物线型拱桥与水面两交点分别为，，以垂直平分线为轴，拱圈最高点为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则，，设拱桥所在的抛物线方程为，
因点在抛物线上，代入解得，
故拱桥所在的抛物线方程是．
（2）因，故当时，，
故当水位暴涨1.54m后，船身至少应降低，
因精确到0.1m，故船身应降低0.6m．
答：船身应降低0.6m，才能安全通过桥洞．
33．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．
【试题来源】河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考（新高考）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设，求得的坐标，结合，化简、整理，即可求得抛物线的方程；（2）设，不妨设，由，求得，设直线的方程为，联立方程组，结合根与系数的关系求得，，进而求得，利用弦长公式即可求解．
【解析】（1）设，因为，，
则，，．
由，可得，化简得，
即动点的轨迹的方程为．
（2）设，，由题意知，，
易知，不妨设，
因为，所以，所以． ①
设直线的方程为，
联立消去，得，则，
可得， ② 由①②联立，解得，
所以．
【名师点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，抛物线的标准方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的综合应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
34．已知直线与抛物线交于两点，
（1）若，求的值；
（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积．
【试题来源】辽宁省本溪市2019-2020学年高二（下）验收
【答案】（1）-8；（2）30．
【解析】（1） 与联立得
由得，设，则
因为，所以
所以，
所以 所以 ，满足题意．
（2）设弦的中点为，则，，设圆心
因为 所以 所以，
则，所以，所以
所以 所以
所以面积为．
【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
35．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上一点到其准线的距离为5，过点的直线依次与抛物线及圆交于、、、四点．

（1）求抛物线的方程；
（2）探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
【试题来源】新疆乌鲁木齐市第一中学高二上学期第二次月考
【答案】（1）；（2）是定值，且定值为．
【解析】（1）由题意，设抛物的方程为，
因为抛物线上一点到其准线的距离为5，
所以，解得，所以抛物线的方程为；
（2）由（1）知，抛物线的焦点为，恰好为圆的圆心，
设直线的方程为，设，，
因为过点的直线依次与抛物线及圆交于、、、四点，
根据抛物线的定义可得，，，
则，
由得，所以，
因此，即为定值．
36．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线2次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8．

（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，以点为顶点作，使的外接圆圆心的坐标为，求弦的长度．
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，，
因为，设直线方程为，，
由，得，所以，，
则两平行光线距离，
所以，故抛物线方程为．
（2）设，，，中点
由，得，，所以，，
因为，所以，即 ，解得，
所以，，所以．
37．已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足，记的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】（1）；（2）是，和．
【解析】（1）设，点，直线，，
因为．，的方程为．
（2）设直线的方程为，，，
联立，整理得：，，，，
直线的方程为，同理：直线的方程为，
令得，，，设中点的坐标为，
则，，所以．
．
圆的半径为．
所以以为直径的圆的方程为．
展开可得，令，可得，解得或．
从而以为直径的圆经过定点和．
38．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点，抛物线C的焦点为F，准线为l．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F且斜率为的直线h与抛物线C相交于两点A、B，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，求四边形的面积．
【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设抛物线为，根据点在抛物线上，求出，得到结果；（2）不妨设，，直线的方程为，联立直线与抛物线得，解出方程，然后求解、坐标，转化求解四边形的面积．
【解析】（1）根据题意，设抛物线为，
因为点在抛物线上，所以，即，所以抛物线的方程为．
（2）由（1）可得焦点，准线为，不妨设，，
过且斜率为的直线的方程为，
由，得，所以，，
代入，得，，所以，，
所以，，，
所以直角梯形的面积为．

39．定义椭圆()的“蒙日圆”方程为．已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；
（2）若斜率为的直线与“蒙日圆”相交于两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积．
【试题来源】陕西省西安交大附中、龙岗中学2020-2021学年高三上学期第一次联考（文）
【答案】（1）椭圆的标准方程为；“蒙日圆”方程为；（2）．
【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，由此求得，结合椭圆离心率以及，求得，从而求得椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程．（2）设，联立直线的方程和椭圆的方程，结合求得．求得圆心到直线的距离，求得，由此求得．
【解析】（1）抛物线的焦点为，则，
又，且，所以，
于是椭圆的标准方程为；“蒙日圆”方程为．
（2）设直线：，，
由可得：，令可得：，．
“蒙日圆”方程为，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，．
于是，．
40．已知直线与圆相切，动点到与两点的距离之和等于、两点到直线的距离之和．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交轨迹于不同两点、，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．
【试题来源】湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】（1）；（2）是定值，为，理由详见解析．
【分析】（1）由得动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为6的椭圆可得答案；（2）直线斜率存在取特殊情况可证明，不存时直线与椭圆联立，利用根与系数关系结合向量可得答案．
【解析】是定值，为，理由如下：
（1）设、、三点到直线的距离分别为、、，为的中点，
因为直线与圆相切，所以，
所以，
所以动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为6的椭圆，
所以，，，，所以动点的轨迹．
（2）①当斜率为0时，，，不妨取，，
所以，，则，
，，则，所以．
②当斜率不为0时，设，、，则．
则，
由，同理可得，
由得，所以，，
所以，
综上，为定值．
41．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，当点到直线的距离取最大值时，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求的面积．
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（理）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意可得，再由，求出，，即可求解．（2）设，，直线的方程为，将直线与椭圆方程联立消去，求出，再由可得求出，由即可求解．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，
当点到直线的距离取最大值时，轴，此时，
又椭圆的离心率，所以，
解得，，所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，直线的方程为．
代入椭圆的方程消去，得，，解得，
由根与系数关系得，①，，②
若，则，所以，
代入①②得，，
消去，得，解得，
所以，
所以的面积为．
42．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．
【试题来源】泰州高级中学、南通市如东高级中学2020-2021学年高二上学期11月联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设椭圆的焦距为，可得出点在椭圆上，将这个点的坐标代入椭圆的方程可得出，结合可求出的值，从而可得出椭圆的标准方程；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在轴时，可得出，从而求出的面积；在直线斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系结合，得出，计算出与的高，可得出面积的表达式，然后可利用二次函数的基本性质求出面积的最大值．
【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题知，点，，
则有，，又，，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）当轴时，位于轴上，且，
由可得，此时；
当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，
由，得．
，，从而
已知，可得．
．
设到直线的距离为，则，．
将代入化简得．令，
则．
当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为．
综上：的面积最大，最大值为．
【名师点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系设而不求法来求解，同时在计算最值时，常用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题．
43．已知双曲线的焦点在轴上，虚轴长为4，且与双曲线有相同渐近线．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点的直线与双曲线的异支相交于两点，若，求直线的方程．
【试题来源】湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】（1）（2）或
【分析】（1）根据有相同的渐近线可设所求双曲线为，再利用焦点位置及虚轴长即可求出双曲线方程（2）根据题意知直线不能为x轴，设直线方程为，联立双曲线方程，根据直线与双曲线的位置关系及三角形面积公式可求出m，写出直线方程即可．
【解析】（1）与双曲线有相同渐近线，设所求双曲线为，
即，焦点在轴上，虚轴长为4，，解得，
故双曲线的方程为；
（2）由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，
联立，消元得：，
直线与双曲线的异支相交于两点，，
设，则，
且，即，

，，
化简得：，，
令，则，得或，
由，即知，不符合题意，
，即，解得，此时满足，，
故所求直线方程为或．
44．已知抛物线的焦点为，点到直线的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）点为坐标原点，直线、经过点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，记，若，求的最小值．
【试题来源】河南省2020届高三（6月份）高考数学（（文））质检试题
【答案】（1）；（2）的最小值为．
【分析】（1）利用抛物线的焦点到直线的距离为可求得正实数的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出根与系数关系，利用弦长公式求得，同理可求得，由此可得出的表达式，利用基本不等式可求得的最小值．
【解析】（1）抛物线的焦点的坐标为，
点到直线的距离为，因为，所以．
所以抛物线的方程为；
（2）设点、，联立方程，
消去后整理为，由题意得，
所以或，所以，
又，，
所以，
．同理．
所以
．
（当且仅当或取等号）．所以的最小值为．
45．已知曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，
（1）求曲线的方程；
（2）过作弦，设的中点分别为，若，求最小时，弦所在直线的方程；
（3）在（2）条件下，是否存在一定点，使得？若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由．
【试题来源】广东省实验中学2021届高三上学期第一次阶段考试
【答案】（1）；（2）或；（3）存在，(3，0)．
【分析】（1）根据曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，得到到的距离等于到直线的距离，然后利用抛物线的定义求解．（2）设与联立，求得A的坐标，然后再由求得B的坐标，然后利用两点间距离求解．（3）将变形为，即三点共线，然后将问题转化为探求直线是否过定点求解．
【解析】（1）因为曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，
所以到的距离等于到直线的距离，
所以曲线是以为焦点、直线为准线的抛物线，所以抛物线的方程为．
（2）设，代入得：，
由根与系数关系得
，， ，
，，只要将点坐标中的换成，得 ，
，
（当且仅当时取“=”）
所以，最小时，弦所在直线的方程为，
即或．
（3），即三点共线，
是否存在一定点，使得，即探求直线是否过定点 ，
由（2）知，直线的方程为
即，直线过定点(3，0)，
故存在一定点(3，0)，使得
46．已知分别为椭圆：的上．下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．
【试题来源】江西省新余市第四中学2021届高三上学期第一次段考（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1） 抛物线定义可得点M坐标，再根据两点间距离公式求 ，利用椭圆定义得 ，根据勾股定理解得b；（2）设直线：，根据直线与圆相切得（，），利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合根与系数关系得p坐标，代入椭圆方程得，消k，再根据二次函数性质求实数的取值范围．
【解析】（1）由题意，所以，
又由抛物线定义可知，得，于是易知，
从而，由椭圆定义知，
得，故，从而椭圆的方程为．
（2）设，，，则由知，
，，且．①
又直线，与圆相切，所以有，
由，可得．②
又联立消去得，且恒成立，
且，，所以，
所以得，代入①式得，
所以，又将②式代入得，，，
易知，且，所以．
【名师点睛】解析几何中的最值与范围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值与范围的探求来使问题得以解决．