专题15 圆锥曲线与方程（填空题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题15 圆锥曲线与方程（填空题）
一、填空题
1．已知为抛物线上一点，抛物线的焦点为，则__________．
【试题来源】山西省2021届高三上学期大联考（理）
【答案】
【解析】由为抛物线上一点，
得，可得．则．故答案为．
2．已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=__________．
【试题来源】江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【解析】抛物线的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．
若M为FN的中点，可知M的横坐标为1，则M的纵坐标为，
|FN|＝2|FM|＝．故答案为．
3．双曲线的渐近线方程为__________．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（理）
【答案】
【解析】双曲线，可得，，则该双曲线的渐近线方程为．
4．设，是椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，为的中点，若，则该椭圆的离心率为__________．
【试题来源】江苏省徐州市新沂市第一中学2020-2021学年高二上学期10月抽测
【答案】
【解析】根据题意得为等腰三角形，且，所以，故．
5．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__________．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】
【解析】根据题意可得．故答案为．
6．能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是__________．
【试题来源】北京市西城区2020届高三数学二模试题
【答案】（答案不唯一）．
【解析】若方程1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则，或者，则可取（答案不唯一）．故答案为（答案不唯一）．
7．已知点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，则点M到抛物线C焦点的距离是__________．
【试题来源】河北省唐山市第十一中学2021届高三上学期9月入学检测
【答案】2
【解析】由点M（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，可得4=2p，p=2，
抛物线C：y2=4x，焦点坐标F（1，0）， 则点M到抛物线C焦点的距离是：1+1=2．
8．抛物线的准线截圆所得弦长为2，则抛物线的焦点坐标为__________．
【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研A卷试题
【答案】(1，0)
【解析】抛物线的准线为，
把圆化成标准方程为，得圆心，半径，
圆心到准线的距离为，所以，即，所以焦点坐标为．
9．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为__________．
【试题来源】北京市2021届高三入学定位考试
【答案】
【解析】因为渐近线方程，所以，则，，
故离心率为．故答案为．
10．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为__________．
【试题来源】陕西省安康市2020届高三下学期第三次联考（理）
【答案】
【解析】取中点E，连接，则由已知可得，
设，则由双曲线定义可得，，即，
在中， 由勾股定理可得，则．
11．已知双曲线的一条渐近线方程为，且一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为__________．
【试题来源】北京市昌平区2020届高三（6月份）数学适应性试题
【答案】
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，，①
抛物线的准线方程为，该双曲线一个焦点在抛物线的准线上，
，而，，②
由①②，得，，双曲线的方程为．故答案为．
12．若双曲线(，)与直线无交点，则离心率e的取值范围是__________．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（文）
【答案】
【解析】若双曲线与直线无公共点，
等价为双曲线的渐近线的斜率，即，
即，即，即，则，则，
，离心率满足，即双曲线离心率的取值范围是
13．已知圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，若四边形的面积为，则__________．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（文）
【答案】
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，
圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，
不妨设点位于第一象限，则，
根据圆与双曲线的对称性可得，四边形为矩形，且，，
又四边形的面积为，所以，解得，则，
又点在圆上，则，解得．

14．定义：以一双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）．则的共轭双曲线的离心率为__________．
【试题来源】河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考（理）
【答案】3
【解析】双曲线：的渐进线方程为
所以，对于双曲线，，，由题意得，
由共轭双曲线的定义可知，双曲线：，
与：互为共轭双曲线，所以的共轭双曲线的离心率．
15．已知双曲线且圆的圆心是双曲线的右焦点．若圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的方程为__________．
【试题来源】四川省泸州市2020届高三数学临考冲刺模拟试卷（（文））（四模）试题
【答案】
【解析】因为．①，取渐近线，
又．②，由①②可得，，
所以双曲线的方程为．
16．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】江苏省宿迁市沭阳县修远中学、泗洪县洪翔中学2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】
【解析】由题意，方程表示椭圆，则满足，
解得且，即实数的取值范围是．
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于较易题．
17．已知双曲线的一条渐近线方程为，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线方程为__________．
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】
【解析】右顶点到渐近线的距离，解得，由双曲线方程知其渐近线方程为，，解得，双曲线方程为．
18．在平面直角坐标系中，是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点，的面积为__________．
【试题来源】江苏省宿迁市沭阳县修远中学、泗洪县洪翔中学2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】
【分析】根据题意画出图形，设，利用椭圆的定义及余弦定理求得的值，代入三角形面积公式即可得出结果．
【解析】设，由，得，
则，在中，由余弦定理得：
，所以，则，
所以的面积：．

19．设椭圆的焦距为，则数列的前项和为__________．
【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷）
【答案】
【分析】根据椭圆的标准方程求出焦距为，再利用等差数列的前项和公式即可求解．
【解析】因为，所以数列为等差数列，首项，
所以数列的前项和为．
20．若曲线表示椭圆，则的取值范围是__________．
【试题来源】山西省大同市第一中学2019-2020学年高二下学期3月网上考试（文）
【答案】
【解析】由题设可得且，解之得且，故应填．
21．已知椭圆的离心率，则的值等于__________．
【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】或
【解析】当焦点在轴上时，，，解得，当焦点在轴上，
解得或，故答案为 或．
22．在2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．已知一个圆锥的高和底面半径都为2，则用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是__________．
【试题来源】浙江省三校（新昌中学、浦江中学、富阳中学）2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】抛物线
【解析】因为圆锥的高和底面半径都为2，因此有，
所以母线SA与底面所成的角为45，因为用与底面呈45的平面截这个圆锥，所以该平面一定会与圆锥的某条母线(如SA)平行，由题中所给的结论可知：用与底面呈45的平面截这个圆锥，得到的曲线是抛物线．故答案为抛物线

23．焦点在轴上，焦距等于4，且经过点的椭圆标准方程是__________．
【试题来源】重庆市第八中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【解析】因为椭圆的焦距等于4，故，所以，
又因为椭圆过点，所以，所以，
所以椭圆方程为．故答案为．
24．己知是椭圆的两个焦点，过点的直线与椭圆交于两点，则的周长为___________．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】20
【分析】由椭圆定义得周长等于两个长轴长，再根据椭圆方程，即可求出△AF2B的周长
【解析】因为F1，F2为椭圆的两个焦点，
所以|AF1|+|AF2|＝10，|BF1|+|BF2|＝10，
△AF2B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝10+10＝20；故答案为20
25．已知，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，则的值为__________．
【试题来源】四川省成都七中2020-2021学年度高二上学期10月阶段性考试（文）
【答案】
【解析】因为原点O是F1F2的中点，所以PF2平行y轴，即PF2垂直于x轴，
因为c=3，所以|F1F2|=6，设|PF1|=x，根据椭圆定义可知，
所以，解得．故答案为．
26．设，是椭圆的两个焦点．若在上存在一点，使，且，则的离心率为__________．
【试题来源】山西大学附中2019-2020学年高二（12月份）第四次诊断（文）
【答案】．
【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，且，，
由椭圆的定义可得，，又，
在△中，由勾股定理可得：，即，．
27．设是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，，则的最小值为__________．
【试题来源】山西大学附中2019-2020学年高二（12月份）第四次诊断（文）
【答案】5
【解析】由已知可得椭圆的标准方程为，则，，
焦点坐标分别为，，又由椭圆定义可得，，，利用几何性质可得当点在椭圆左端点时有最小值，且此时最小值为，故答案为5
28．已知椭圆C：的右焦点为F，点P在椭圆C上，O是坐标原点，若，则 的面积是__________．
【试题来源】贵州省贵阳市2021届高三8月摸底考试（理）
【答案】
【解析】由椭圆的方程可得：，，如图所示，设，因为在椭圆上，并且，点 P的坐标满足，
消去得 ，所以，所以 的面积．

【名师点睛】本题考查椭圆的方程与性质，属基础题，关键是联立方程组求得点的纵坐标的绝对值，得到的边上高．
29．已知分别过点和点的两条直线相交于点，若直线与的斜率之积为-1，则动点的轨迹方程是__________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（理）试卷
【答案】
【分析】设点，轨迹直线与的斜率之积为-1，即化简求解．
【解析】设点，因为直线与的斜率之积为-1，
所以，即，整理得：，
所以动点的轨迹方程是，故答案为
30．已知抛物线的准线方程为，在抛物线上存在两点关于直线对称，且为坐标原点，则的值为___________．
【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测
【答案】
【解析】拋物线的准线方程为，可知抛物线的方程为．
设点，的中点为，则
两式相减可得，，，所以，解得，可得，则，
可得．故答案为．
31．设，是抛物线上的两个不同点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则下列结论①；②到直线的距离不大于2；③直线过抛物线的焦点；④为直径的圆的面积大于，不正确的有__________．
【试题来源】福建省厦门市双十中学2019-2020学年高二（下）期中
【答案】①③④
【解析】当直线的斜率不存在时，设，，
因为斜率之积为，所以，即，所以的直线方程为；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，联立，可得．
设，，，，则，，
所以，即．所以直线方程为．
则直线过定点．则到直线的距离不大于2．故②正确．
当的直线方程为时，，此时，故①错误；当的直线方程为时，，此时，以为直径的圆的面积，故④错误；抛物线的焦点是，故③错误；
故答案为①③④．
32．在直角坐标系中，抛物线：的焦点为，准线为，为上第一象限内的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则直线的斜率为__________．
【试题来源】四川省成都市树德中学2019-2020学年高二（下）期中（理）
【答案】
【分析】根据题意画出示意图，由几何关系证得是等边三角形后，即可求解．
【解析】根据题意，作示意图如下图所示：

，，记与轴的交点为，则，
，且由几何关系可证，
过点作的垂线，可知其垂足就为点，且可得，
是等边三角形，由几何关系可得：，
所以直线的斜率为．
【名师点睛】在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
33．已知P是抛物线y2＝2x上动点，A，若点P到y轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是__________．
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】
【分析】由抛物线的方程及点A的坐标可判断点A在抛物线的外部．由抛物线的定义可得d1＝PF－，进而可得d1＋d2＝PF＋PA－，由图可知当三点P、F、A共线时，取最小值即为AF－，再由两点间的距离公式可求得结果．
【解析】因为，所以点A在抛物线的外部．因为点P在抛物线上，所以d1＝PF－ (其中点F为抛物线的焦点)，则d1＋d2＝PF＋PA－≥AF－＝，当且仅当点P是线段AF与抛物线的交点时取等号．
【名师点睛】本题主要考查抛物线的方程与定义，考查分析求解、转化能力，属于基础题．在求抛物线上的点到准线的距离时，注意其与抛物线上的点到焦点距离的互相转化．
34．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为__________．
【试题来源】江西省上高二中2020-2021学年高二上学期第一次月考（文）
【答案】
【分析】求△MAF周长最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，根据抛物线定义知|MF|＝|MD|，转为求|MA|+|MD|的最小值，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，即可得到答案．
【解析】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|＝|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为xA﹣（﹣1）＝2+1＝3，因为|AF|＝＝，所以△MAF周长的最小值为3+.

【名师点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．
35．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，当周长最小时，所在直线的斜率为__________．
【试题来源】江西省赣州市会昌县七校2021届高三联合月考（文）
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，准线为，从点向准线作垂线，垂足为，从点向准线作垂线，垂足为，则周长，当且仅当，，三点共线时，取到最小值，此时，．故答案为．

【名师点睛】本题考查抛物线的点到定点与到焦点的距离之和的最小值问题，解题关键是利用定义把抛物线上的点以焦点的距离转化为到准线的距离．
36．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作直线交抛物线于，两点，若，且，则的值为__________．
【试题来源】昆明市第一中学2021届高中新课标高三（10月）第二次双基检测（理）
【答案】
【解析】抛物线的焦点为，
设，，假设直线斜率存在，设直线方程为，
由 可得：，所以 ，，
，
因为，则，所以，
即， 所以，可得，
所以，所以．故答案为
37．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为__________．
【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考
【答案】
【解析】如图，焦点为，抛物线的准线方程为，

过点作直线的垂线，垂足为，则，
过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，则，，
根据抛物线的定义可知，，所以，
过点作直线的垂线，垂足为，则，
当点在与抛物线的交点时，最小，为，
此时，取得最小值．故答案为．
38．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则__________．
【试题来源】2020届四川省成都石室中学一诊数学（理）
【答案】1
【分析】由题意画出图形，结合已知可得B（，），写出F1B的方程，与联立求得A点坐标，得到A为B、F1的中点，可得结论．
【解析】如图，因为B在渐近线上，所以设B（，）， 且，，
因为， 所以，则B（，）
所以F1B：y（x+2），联立，解得A（，），
即A为B、F1的中点，所以．故答案为1．

39．设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A，且，O为坐标原点，则C的离心率为__________．
【试题来源】四省（四川 云南 贵州 西藏）名校2021届高三第一次大联考（文）
【答案】
【分析】由已知求出渐近线的斜率，得，结合转化后可求得离心率．
【解析】由题意可得，渐近线方程为，
所以，，故．故答案为．
【名师点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是列出关于的一个等式，本题中利用直角三角形中正切函数定义可得．
40．设是双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的渐近线方程是__________．
【试题来源】山西省运城市2021届高三上学期9月调研（理）
【答案】
【解析】双曲线C：的渐近线为，
由题意，得，则
在中，，则．

设渐近线为的倾斜角为，即，则，
则在中，，在中， ，
则，即，即，
所以，故双曲线的渐近线方程为，故答案为
41．已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是__________．
【试题来源】河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测（理）
【答案】
【解析】设双曲线的焦距为，双曲线的渐近线方程为，
由题意可知，点，，且点、，
所以，．
因为为钝角，则，得，
所以．故答案为．
【名师点睛】本题考查双曲线离心率取值范围的计算，将是钝角转化为是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．
42．已知双曲线：(，)的左集点为，过且与的一条渐近线垂直的直线与的右支交于点，若为的中点，且(为坐标原点)，则的离心率为__________．
【试题来源】辽宁省2021届高三上学期测评考试
【答案】
【解析】设的右焦点为，不妨设直线与渐近线交于点．在直角三角形中，由点到直线的距离，得，再结合，得；由为的中位线且，得，再由双曲线的定义，得，从而，．在直角三角形中，，化简，得，所以．故选

43．为双曲线右焦点，，为双曲线上的点，是坐标圆点，四边形为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】陕西省咸阳市武功县2020-2021学年高三上学期第一次质量检测（文）
【答案】
【分析】设，，，利用四边形OFMN的面积为，求出M坐标，代入双曲线方程，求解离心率即可．
【解析】设，，，因为四边形OFMN为平行四边形，所以，
因为四边形OFMN的面积为bc，所以，即，
所以，代入双曲线方程得，因为，所以，
44．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且，则此双曲线的离心率为__________．
【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三（上）模拟命题大赛（文）
【答案】．
【解析】设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为
，， 一条渐近线方程为，
可得到渐近线的距离为，，
则，，在直角三角形中，，
在中，可得
，化为，即有，

45．过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点，则双曲线的离心率为__________．
【试题来源】湖南师大附中2021届高三（上）月考（二）
【答案】
【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，所以，可得，解得，舍去，故答案为．
46．如图，在梯形中，已知，，双曲线过三点，且以为焦点，则双曲线的离心率为__________．

【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（文）
【答案】
【解析】设双曲线的方程为，由双曲线是以为焦点，

，，把代入，
可得，即，又，，
设，，，，
解得，，可得，
代入双曲线的方程可得，
即，解得，所以．
47．已知是椭圆：的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作的垂线，依次交椭圆的上半部分于，设左焦点为，则__________．
【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考
【答案】
【解析】椭圆的长轴，
设右焦点为，由椭圆的定义得，
由题意知点关于y轴对称分布，
所以，，

．
48．椭圆（）的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于P，Q两点（P在x轴上方），，若，则椭圆的离心率__________．
【试题来源】北京交通大学附属中学东校区2019~2020学年高二第二学期期末测试
【答案】
【解析】如图所示，设，根据椭圆定义得，
由，得，
由椭圆的定义可得，
因为，在中，且，
得，即①，
在中，得，即②，
由①②可得，可得，③，
将③代入②可得，整理可得：，，解得．故答案为．

49．已知椭圆的右焦点为F，点M在C上，点N为线段MF的中点，点O为坐标原点，若，则C的离心率为__________．
【试题来源】广西来宾市2020届高三4月教学质量诊断性联合考试（理）
【答案】
【分析】根据椭圆的定义以及三角形的中位线定理，求出的值，然后计算即可得解．
【解析】设椭圆C的左焦点为，由椭圆定义得，
即（*），因为O为线段的中点，N为线段MF的中点，
由中位线的性质得，代入（*）式，解得，
故其离心率．

50．分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆上一点，且，则的内切圆半径等于__________．
【试题来源】湖北省荆州市沙市区沙市中学2019-2020学年高二上学期期末
【答案】
【解析】因为分别为椭圆的左、右焦点，为该椭圆上一点，
所以，则由余弦定理得，
，
，
即，所以，
故的面积，
设的内切圆半径为，则，
解得，故答案为
51．一动圆与圆：内切，且与圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是__________．
【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】由圆与圆的位置关系可得，再由椭圆的定义即可得解．
【解析】由题意，圆：的圆心为，半径为，
圆：的圆心为，半径为，设动圆的圆心，半径为，
动圆与圆：内切，与圆：外切，
所以，，所以，
所以的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，，
所以，椭圆的方程为．故答案为．
52．如图，已知△ABC的两顶点坐标，，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，动点C的轨迹方程为__________．

【试题来源】新疆乌鲁木齐市第七十中学2021届高三10月月考（理）
【答案】
【分析】由切线长定理可得，再由椭圆的定义即可得解．
【解析】由题意结合切线长定理可得，，，
所以，
所以动点C的轨迹是以，为焦点的椭圆（不在x轴上），
且该椭圆满足，，所以，
所以该椭圆方程为．故答案为．
53．已知为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，若，则等于__________．
【试题来源】绍兴市诸暨中学2020-2021学年高二（实验班）上学期10月阶段性考试
【答案】
【解析】由椭圆有，
由椭圆的定义有，又，
在中，，
得，①
又，②
设，①化简整理得：，③
②化简整理得：，④
由③④得：，
，
又，故，所以．
54．椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为__________．
【试题来源】湖南省长沙市长沙县第九中学2020-2021学年高二上学期第一次月考
【答案】
【分析】由点为椭圆的短轴的一个端点，所以，根据是等腰三角形，得到短轴的平分，进而利用，即可求解．
【解析】由题意，因为为椭圆的短轴的一个端点，所以，所以是等腰三角形，所以短轴的平分，顶角的一半是，所以，所以椭圆的离心率为．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟练应用椭圆的对称性，以及离心率的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力．
55．已知是椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，且，则点到轴的距离为__________．
【试题来源】福建省厦门二中2020-2021学年高二（10月份）月考
【答案】
【解析】由椭圆，可得，，，
，
可得，不妨设，的横坐标为，，
，，，解得，
56．已知椭圆内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于和两点，且满足（其中），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为__________．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考（理）
【答案】
【解析】设，
因为，所以，
则，所以，同理，
所以，所以，
因为在椭圆上，所以，，
相减可得，即，
则①，同理可得②，
①+②得，
又，
所以，所以，．
【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，向量的坐标运算，设出四点坐标，由点差法利用斜率得出四点的坐标间的关系，由向量的坐标运算得出四点的坐标间的关系，两者比较后得的等量关系，从而求得离心率．本题旨在考查学生运算求解能力，属于中档题．
57．已知椭圆的焦点为，，若在长轴上任取一点，过点作垂直于的直线交椭圆于点，若使得的点的概率为，则的值为__________．
【试题来源】江西省南昌二中2020届高三数学（（文））校测试题（三）
【答案】或
【分析】根据，得到的轨迹为圆，利用椭圆的焦点坐标在或轴，分类求解椭圆与圆的焦点坐标，利用几何概型，转化求解即可．
【解析】当时，点在圆上，联立椭圆，，当时，，解得，
所以当时，．若使得的点的概率为，
可得，解得，．
当时，解得，由，
得到，又因为，解得．故答案为2或
58．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，且与共线，则椭圆的离心率__________．
【试题来源】湖北省鄂州高中、鄂南高中2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】
【解析】设椭圆方程是，右焦点为，直线方程为，代入椭圆方程并整理得：，
设，则，又，
因为与共线，
所以，所以，所以，，
所以．故答案为．
【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用根与系数关系求出，然后表示出，由与共线，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
59．已知F是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦点，AB是椭圆C过F的弦，AB的垂直平分线交x轴于点P．若AF=2FB，且P为OF的中点，则椭圆C的离心率为__________．

【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（（理））第三次质检试题
【答案】53
【解析】如图，设椭圆的右焦点为G，连接AG，BG，过点O作OD//PH，交AB于D，则点H为DF中点． 设|BF|=2m，所以|AF|=4m，|AH|=3m，|AD|=2m，|DH|=|HF|=m．

所以点D是AF中点，因为|OF|=|OG|，所以AG//OD，所以∠BAG=π2．
由椭圆的定义得|AG|=2a-4m，|BG|=2a-2m．
在直角△AFG中，(4m)2+(2a-4m)2=4c2，所以2m2-am=c24-a24 （1）
在直角△ABG中，(6m)2+(2a-6m)2=(2a-2m)2，所以m=16a．
把m=16a代入（1）得5a2=9c2，所以e2=59，所以e=53．故答案为53．
【名师点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和离心率的计算，考查椭圆的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
60．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，直线与直线相交于点，且它们的斜率之积为，则的面积的取值范围是__________．
【试题来源】浙江省浙南名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】
【解析】由题知：点与点关于原点对称，所以．
设，因为直线与直线斜率之积为，所以，即．所以点在椭圆上，
将代入，解得，所以，在椭圆上．如图所示：

当点无限靠近，时，的面积趋向，
当直线与直线平行，且与椭圆相切于点，此时的面积最大．
因为，设，
联立①，
，解得，即：．
又因为，，
直线与直线的距离，，
当直线与椭圆相切时，①式为，解得，
此时直线的斜率不存在，所以的面积的取值范围为．
61．已知是椭圆上的一点，为右焦点，点的坐标为，则周长的最大值为__________．
【试题来源】四川省成都石室中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学（理）
【答案】10
【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为，利用，，利用，即可得到结果
【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，由题意可知，则，

因为的坐标为，所以，由椭圆的定义可得，
因为，
所以周长为，
当且仅当三点共线时取等号，所以周长的最大值为10.
62．已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上顶点，且，则椭圆的离心率的值是__________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（文）试卷
【答案】
【分析】先写出，，坐标，再结合利用向量数量积为零，得，再化为齐次式解方程即可求解．
【解析】据题意得：，，，
因为 ，所以 ，即，所以 ，
又因为 ，所以 ，同除得，即
解方程得(舍)或．故答案为．
63．直线交椭圆：于，两点，设中点为，直线的斜率等于，为坐标原点，则椭圆的离心率__________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（理）试卷
【答案】
【解析】由，得，
由根与系数关系得：，
所以中点为，
因为直线的斜率等于，所以，解得，所以，
64．已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为__________．
【试题来源】湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020届高三（5月份）数学（（理））模拟试题
【答案】
【解析】联立，得，，
故直线与的交点为，线段的中点为，
设与的交点分别为、，
则，，直线的斜率，
分别把、代入椭圆方程，得，
两式相减整理，得，
即，，，，，
65．已知，为椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考
【答案】
【分析】讨论椭圆焦点的位置，保证焦点三角形顶角为钝角或直角即可．
【解析】当焦点在轴上时，，，，
当为上下顶点时，最大，所以，，所以，解得；
同理，当焦点在轴上时，，解得．

所以实数的取值范围是.
66．已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________．
【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考
【答案】
【解析】如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形．因为，，所以，
所以，所以，
因为，所以，
即，所以．

67．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线就是其中之一．曲线C对应的图象如图所示，下列结论：

①直线AB的方程为；
②曲线C与圆有2个交点；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12；
④曲线C恰好经过4个整点(即横､纵坐标均为整数的点)．
其中正确的是：__________．(填写所有正确结论的编号)
【试题来源】贵州省六盘水市2019-2020学年高二下学期期末教学质量监测（理）
【答案】②③
【解析】对于①，曲线，令，则；令，则；
所以点，，所以直线AB的方程为即，故①错误；
对于②，由可得或，
所以曲线C与圆有2个交点，，故②正确；
对于③，在曲线上取点，，，，顺次连接各点，如图，

则，所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于12，故③正确；对于④，曲线经过的整点有：，，，有6个，故④错误．
故答案为②③．
68．在平面直角坐标系中，动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，记点P的轨迹为曲线W．给出下列三个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于．
其中，所有正确结论的序号是__________．
【试题来源】湖北省武汉为明教育集团2020届高三下学期第四次调研考试（文）
【答案】②③
【分析】根据动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．
【解析】动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离，
，，
，或，，函数的图象如图所示：

曲线关于直线对称；曲线与轴非负半轴，轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；故答案为②③
69．已知、为双曲线的左、右焦点，点为直线上的动点，则的最大值是__________．
【试题来源】浙江省名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】
【解析】因为、为双曲线的左、右焦点，故，，
设，则 ，
整理得到，
当时，，故；当时，
，
此时或，
故，当且仅当时等号成立，
故，解得
因为，故，当且仅当时等号成立．
故答案为．
70．已知椭圆：的左焦点为，右顶点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围是___________．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年度上学期高二学年10月阶段性测试数学（理）试卷
【答案】
【解析】设点．由知，点在以为直径的圆上．
圆的方程是，即． 　①
又点在椭圆上，故 　②
把①代入②，得．
故，因为，所以．
又，所以 ，即，
两边同处，整理得：，即，解得或，
又，所以所求椭圆的离心率的取值范围是，故答案为．

【名师点睛】本题考查了圆与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、椭圆的离心率范围性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、双空题
71．已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为__________．
【试题来源】2020届北京怀柔区高三下学期适应性练习
【答案】 ；
【解析】由题可知：双曲线的右顶点坐标为，
所以可知抛物线的焦点坐标为，准线方程为，故答案为；
72．椭圆的半焦距是__________，离心率是__________．
【试题来源】浙江省丽水市五校共同体2020-2021学年高二上学期10月阶段性考试
【答案】
【分析】首先根据题意得到，，，即可得到答案．
【解析】由题知：椭圆，，，．
所以半焦距是，离心率为．故答案为，
73．已知抛物线过点，则__________，若点在抛物线上，且点到抛物线的焦点的距离等于，设为坐标原点，则__________．
【试题来源】学科网3月第一次在线大联考（北京卷）
【答案】
【解析】抛物线过，，解得．
设，，解得，，
．故答案为；．
74．双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为F（0，﹣8），则该双曲线的标准方程为__________；已知点A（﹣6，0），若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为__________．
【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2020届高三第五次模拟考试（理）
【答案】 28
【解析】因为双曲线C的渐近线方程为，一个焦点为F（0，﹣8），
所以，解得a=4，b=4．所以双曲线的标准方程为；
设双曲线的上焦点为F′（0，8），则|PF|=|PF′|+8，
△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF′|+|PA|+|AF|+8．当P点在第二象限，且A，P，F′共线时，|PF′|+|PA|最小，最小值为|AF′|=10．而|AF|=10，故，△PAF的周长的最小值为10+10+8=28．
故答案为；28．
75．抛物线上一点到焦点的距离等于4，则=__________；点的坐标为__________．
【试题来源】2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（二）
【答案】2
【解析】因为焦点，所以，设点，根据抛物线的定义得：，解得，所以点的坐标为，故答案为2；
76．已知曲线（为常数）．
（i）给出下列结论：
①曲线为中心对称图形；
②曲线为轴对称图形；
③当时，若点在曲线上，则或．
其中，所有正确结论的序号是__________．
（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是__________．（写出一个即可）
【试题来源】北京市海淀区2019-2020学年高三上学期期末
【答案】①②③ 均可
【解析】（i）在曲线上任取一点，则，
将点代入曲线的方程可得，
同理可知，点、都在曲线上，则曲线关于原点和坐标轴对称，命题①②正确．当时，，反设且，
则，，所以，，则，
所以，，这与矛盾．
假设不成立，所以，或，命题③正确；
（ii）当时，曲线的方程为，即，即，
此时，曲线表示半径为的圆，其面积为．
当时，且当时，在圆上任取一点，则，则点在曲线外，所以，曲线的面积小于圆的面积．故答案为①②③；均可．
77．已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，则的周长是__________，内切圆面积的最大值是__________．
【试题来源】浙江省温州中学2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试
【答案】
【解析】根据椭圆定义可知的周长；
在内，，只要求面积最大值即可，设，，，则，
于是
，则，等号在时取到．
故答案为；
78．已知椭圆()的焦点为，，如果椭圆C上存在一点P，使得，且的面积等于4，则实数b的值为__________，实数a的取值范围为__________．
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以，所以，
又，所以；又，设且，
所以，所以，
所以，所以，
又因为且，所以，所以．
故答案为；．
【名师点睛】本题考查椭圆的焦点三角形的面积求解以及根据椭圆方程中的范围求解参数范围，难度一般．其实，椭圆上任意一点（非左右顶点）与两焦点围成的焦点三角形的面积等于．
79．双曲线的渐近线方程为__________；设、分别为的左、右顶点，为上的一点，若，则__________．
【试题来源】福建省泉州市2021届高三毕业班质量检测
【答案】
【分析】由双曲线的标准方程可求得该双曲线的渐近线方程，设点，计算得出，再利用两角差的正切公式可求得的值．
【解析】由题，，渐近线方程为．设，由题设，，又，，即，
，，，
．

故答案为；．
80．双曲线的渐近线方程为__________，设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为___________．
【试题来源】浙江省宁波市镇海中学2020届高三下学期5月模拟
【答案】
【解析】由题意，双曲线，令，解得，即，
即双曲线的渐近线的方程为，由双曲线和双曲线相同的渐近线，可得，即，所以，
将点代入方程，即，解得，所以，
所以所求双曲线的方程为，故答案为，．
81．已知抛物线的焦点为，则的坐标为__________；过点的直线交抛物线于两点，若，则的面积为__________．
【试题来源】2020届北京市第八中学高三下学期自主测试（一）
【答案】
【分析】由抛物线的标准方程可得焦点的坐标，利用焦半径公式可得的横坐标，求出其纵坐标后可求出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程后求出的坐标，最后可求的面积．
【解析】由抛物线可得，故焦点坐标．
设，则，故．
根据抛物线的对称性，不妨设在第一象限，则，
故，故直线．
由 可得，故或，
所以．故答案为，．
82．已知是抛物线的焦点，，为抛物线上任意一点，的最小值为，则__________；若过的直线交抛物线于、两点，有，则__________．
【试题来源】江苏省南通市如皋市2020-2021学年高二上学期教学质量调研（一）
【答案】
【解析】过点作垂直于抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义可得，，则，则点在抛物线内，如下图所示：

，当点、、共线时，取得最小值，解得，所以，抛物线的标准方程为，该抛物线的焦点为，
设点、，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，
联立，可得，恒成立，
由根与系数关系得，，
，则，，
所以，，可得，，可得，
因此，．
故答案为；．
83．已知直线：与抛物线：在第一象限的交点为，过的焦点，，则抛物线的准线方程为__________；__________．
【试题来源】山东省青岛市2021届高三调研检测
【答案】
【解析】易知直线与轴的交点为，即抛物线的焦点为，所以准线方程为，设，则，，作轴于点，如图，
则，，所以，
所以直线的斜率为．故答案为；．

84．平面内一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则动点的轨迹是__________，其方程是__________．
【试题来源】浙江省金华市江南中学2019-2020学年高二上学期12月月考
【答案】抛物线
【解析】设动点P的坐标为（x，y），动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则，
当时，，矛盾，
故得到只有一种情况得到，是正确的．故答案为抛物线，方程为．
85．已知顶点在坐标原点，对称轴为轴的抛物线过点，则该抛物线的标准方程为__________；设为该抛物线的焦点，、、为该抛物线上三点，若，则___________．
【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测
【答案】 12
【解析】由已知条件可设抛物线的标准方程为，将的坐标代入，得，解得，抛物线焦点坐标，准线方程：，
设，，
点F是重心，，即． 再由抛物线的定义可得，
||+||+||，故答案为，12．
86．抛物线：的焦点坐标是__________；经过点的直线与抛物线相交于，两点，且点恰为的中点，为抛物线的焦点，则__________．
【试题来源】泰州高级中学、南通市如东高级中学2020-2021学年高二上学期11月联考
【答案】 9
【解析】抛物线：的焦点．过作准线交准线于，

过作准线交准线于，过作准线交准线 于，
则由抛物线的定义可得．再根据为线段的中点，
，所以，
故答案为焦点坐标是，．
87．设过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)的直线l与其一条渐近线垂直相交于点A，则点A的横坐标可用a，c表示为__________；若l与另一条渐近线交于点B，且，则C的离心率为__________．
【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研
【答案】
【解析】设双曲线C：的一条渐近线方程为，
因为过右焦点F(c，0)的直线l与之垂直，设直线为 ，
联立，解得 ，所以，
联立，解得，所以，
因为，所以，化简得：，
所以，解得或（舍去），解得，
故答案为①；②