专题10 圆锥曲线与方程（解答题）（10月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题10 圆锥曲线与方程（解答题）
一、解答题
1．（江西省南昌市2021届高三摸底测试（理））已知椭圆：（）的左、右焦点分别是、，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上顶点斜率为的直线与椭圆的另外一个交点为，若的面积为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）设椭圆方程为（），
由两圆交点在椭圆上，，得，
由离心率为，，得，所以椭圆的方程为．
（2）因为点的坐标为，所以直线的方程为，
代入椭圆方程得到：，因为，
所以，，
又直线与轴的交点坐标为，点的坐标为，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
2．（安徽省宣城市2019-2020学年高二下学期期末（文））已知抛物线上的点到焦点F的距离为.
（1）求的值；
（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：，
，，解得：.
（2）设，，则，两式作差得：，
，为的中点，，，
直线的方程为：，即.
3．（山东省菏泽市成武一中2020届高三数学第二次模拟）如图，已知圆：，点是圆内一个定点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点.当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；
（2）设过点的直线与曲线相交于两点（点在两点之间）.是否存在直线使得？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）（2）存在，或．
【解析】（1）因为圆的方程为，所以，半径．
因为是线段的垂直平分线，所以．
所以．
因为，所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆．
因为，，，所以曲线的方程为．
（2）存在直线使得．
方法1：因为点在曲线外，直线与曲线相交，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为．设，
由 得．
则，① ，②
由题意知，解得．
因为，所以，即． ③
把③代入①得， ④
把④代入②得，得，满足．
所以直线的方程为：或．
方法2：因为当直线的斜率为0时，，，，
此时．因此设直线的方程为：．设，
由，得．
由题意知，解得或，
则， ① ， ②
因为，所以． ③
把③代入①得，， ④
把④代入②得，，满足或．
所以直线的方程为或．
4．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高三上学期开学摸底检测（理））已知椭圆的离心率是，短轴长为2，A，B分别是E的左顶点和下顶点，O为坐标原点.
（1）求E的标准方程；
（2）设点M在E上且位于第一象限，的两边和分别与x轴、y轴交于点C和点D，求的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为椭圆E的离心率，短轴长为2，所以.
又，解得.故椭圆E的方程为；
（2）如图所示，设点.

，且A，D，M三点共线，，得，又
所以，同理得，又，
因此四边形的面积.
又点在椭圆上，所以，即，
代入上式得.
设过点M且与直线平行的直线l的方程为，
当l与椭圆相切时，M到AB的距离d最大，为两平行线之间的距离，得面积最大.
联立整理得，，
解得，所以直线l的方程为，即，
所以.
所以的面积的最大值为.
5．（广东省汕尾市2019-2020学年高二下学期期末）已知离心率为的椭圆的两个焦点分别为、．过的直线交椭圆于A、B两点，且的周长为8．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若过点作圆O(O为坐标原点)：的切线l、直线l交椭圆E于M、N两点，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）1.
【解析】（1）因为的周长为8，所以，
由椭圆的定义可得，即，又椭圆的离心率为 ，所以，
所以，所以椭圆E的标准方程为；
（2）设，直线l的方程为，
因为直线l与圆相切，所以，即，
又直线l与椭圆的方程联立，整理得，
，，
所以，
又点O到直线l的距离为1，所以
，
当且仅当，即时，取等号，所以的面积的最大值为1．
6．（甘肃省平凉市庄浪县第一中学2019-2020学年高二第二学期期中考试（文））在直角坐标系中，已知中心在原点，离心率为的椭圆的一个焦点为圆： 的圆心．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，过作两条斜率之积为的直线， ，当直线， 都与圆相切时，求的坐标．
【答案】（1）（2），或，或，或.
【解析】（1）圆的标准方程为，圆心为，所以，又，，，而据题意椭圆的方程是标准方程，故其方程为．
（2）设，得
∵，依题意到的距离为
整理得，
同理，
∴是方程的两实根，
，∴
.
7．（江苏省连云港市赣榆区智贤中学2019-2020学年高二上学期10月月考）（1）已知椭圆的离心率为，准线方程为，求该椭圆的标准方程
（2） 求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M（2，－2）的双曲线方程．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题意可得，解得，所以方程为.
（2）设所求双曲线方程为，代入点M（2，－2）得，
所以方程为
8．（云南省曲靖市宣威市2019-2020学年高二下学期期末（文））已知椭圆：（）的一个焦点为，设椭圆的焦点恰为椭圆短轴上的顶点，且椭圆过点．
（1）求的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，求．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由椭圆：（）的一个焦点为，
得，且，∴椭圆的焦点为，．
又椭圆过点，∴椭圆的长轴长为
．
∴椭圆的半长轴长为，半焦距为，则短半轴长为，∴的方程为；
（2）设，，联立 消去，整理得，
则，，
∴.
9．（四川省泸州市2019-2020学年下学期高二期末统一考试（文））平面直角坐标系中，动点到点的距离比它到直线的距离小1.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设直线与轨迹相交于，两点，求线段的中点坐标.
【答案】（1）；（2）线段的中点坐标为；
【解析】（1）动点到点的距离比它到直线的距离小于1，
点在直线的上方，点到的距离与它到直线的距离相等，
点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
所以曲线的方程为；
（2）由消去得，
设交点，的坐标分别为，，，，中点坐标为，
则，所以，，即线段的中点坐标为．
10．（云南省保山市2019-2020学年高二教学质量监测考试文科）已知过点的抛物线的焦点为F，直线与抛物线的另一交点为B，点A关于x轴的对称点为.
（1）求p的值；
（2）求直线与x轴交点的坐标.
【答案】（1）2；（2）.
【解析】（1）把代入抛物线方程，得.
（2）由（1）知抛物线方程为，且焦点，
∴直线的方程为，即，
与联立，消去x得，解得或，
∴B点的纵坐标为，代入，得，
∴，而关于x轴的对称点，∴的方程为，
当时，，所以直线与x轴交点的坐标为.
11．（广西桂林十八中2020届高三（7月份）高考数学（文）第十次适应性试题）设抛物线的焦点为，点是上一点，且线段的中点坐标为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若，为抛物线上的两个动点（异于点），且，求点的横坐标的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意得，设，由的中点坐标为，得，
即，，所以，得，即，
所以抛物线的标准方程为；
（2）由题意知，设，，则，
因为，所以，所在直线方程为，
联立，因为，得，
即，
因为，即，故或.
经检验，当时，不满足题意；所以点的横坐标的取值范围是.
12．（福建省泰宁第一中学2018-2019学年高二上学期第二阶段考试（文））已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．
（1）求的方程；
（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程．
【答案】（1）（2）
【解析】方法1：抛物线： 的焦点的坐标为,由已知，解得或，
∵,∴，∴的方程为.
方法2：抛物线的准线方程为
由抛物线的定义可知，解得，∴的方程为.
（2）方法1：由（1）得抛物线C的方程为,焦点
设两点的坐标分别为,则
两式相减,整理得，
∵线段中点的纵坐标为，∴直线的斜率，
直线的方程为即，
方法2：由（1）得抛物线的方程为,焦点，
设直线的方程为，由，
消去,得设两点的坐标分别为,
∵线段中点的纵坐标为∴解得
直线的方程为即
【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交的综合问题，对于涉及到中点弦的问题，一般采用点差法能直接求出未知参数，或是将直线方程设出，设直线方程时要注意考虑斜率的问题，此题可设直线的方程为，就不需要考虑斜率不存在，将直线方程与抛物线方程联立，利用条件列出等量关系，求出未知参数．
13．（广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二下学期6月月考）已知椭圆：()过两点，，抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，准线方程为.
（1）求､的标准方程；
（2）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点､，且满足直线与直线垂直？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）：，：；（2）见解析.
【解析】（1）把点，代入，
得：，解得，故椭圆的标准方程为，
设抛物线方程为，因为准线方程为，所以，
，抛物线的标准方程为.
（2）假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为，
两交点坐标为，，
由消去x，得，判别式，
∴，，

由直线与直线垂直，即，得，
得，解得.
所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为：或.
14．（重庆市第一中学2020届高三下学期5月月考（理））已知抛物线的焦点为F，准线为，过焦点F的直线交抛物线E于A、B.
（1）若垂直l于点，且，求AF的长；
（2）O为坐标原点，求的外心C的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，，得，
，故；
（2）设，直线，
由，得，由韦达定理得：，
即有，
易得的中垂线方程联立可得：，
可得：，
外心的轨迹方程为.
15．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测（理））已知抛物线的焦点为F，B，C为抛物线C上两个不同的动点，(B，C异于原点)，当B，C，F三点共线时，直线BC的斜率为1，.
（1）求抛物线T的标准方程；
（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设直线BC的方程为：，则，
设，则，
所以抛物线T的标准方程为：.
（2）令，，则，则，
直线BC的方程为：，
令直线BC与y轴交于点H，则，
所以，
所以或0(舍)，
令BC中点为，则，
所以中点轨迹方程.

16．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次质检（文））已知抛物线的焦点为F，B､C为抛物线T上两个不同的动点，当B，C过F且与x轴平行时，BC长为1.
（1）求抛物线T的标准方程；
（2）分别过B，C作x轴的垂线，交x轴于M，N，若，求BC中点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）由题意当BC过F且与x轴平行时，有，，
则，∴抛物线T的方程为；
（2）设，设BC与y轴交于点，
则，，
故由得：，
∴，或者，即或，
设BC的中点，则，
①当时，由得：，∴
②当时，同理可得：，
故BC中点的轨迹方程为或
17．（重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（一））已知抛物线，为上一点且纵坐标为4，轴于点，且，其中点为抛物线的焦点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，，是抛物线上不同的两点，且满，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】（1）设，根据抛物线的定义可得 ，
又轴于点，则，，所以 ，则，
所以，由在抛物线上，，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：点在抛物线上.
设的方程为：，，
由 得 ，则 ，
故
，
所以，整理得，
将代入得，即.
所以直线恒过定点
18．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）已知抛物线上的焦点为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过作斜率为的直线交曲线于、两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）依题意，抛物线的焦点为，开口向上，，
所以曲线的方程为：；
（2）设过的斜率为的直线方程为：，
联立，消去并化简得. 令、，
所以，，由题可知：，
即：，即得，
由，，得：，，
所求直线的方程为：.
19．（福建省厦门市双十中学2019-2020学年高二（下）期中）已知圆，动点，线段与圆交于点，轴，垂足为，.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设为曲线上的一点，过点作圆的两条切线，分别为两切线的斜率，若，求点的坐标.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）∵圆F的圆心为，半径为1，，
又轴，垂足为H，，
动点到点等于到直线的距离．
故动点的轨迹是以为焦点的抛物线，则，
，则动点M的轨迹C的方程是；
（2）设过点P的切线方程为，即，
则圆心到切线的距离为，
化简得，，
两切线斜率分别为，，，
由题设知，，又为曲线C上的一点，
由知，，，即，
解得，或，，，则，点P的坐标为．
20．（四川省达州市2019-2020学年高二下学期期末（理））已知动点P到点的距离比到直线l：的距离大1.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点的直线与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）∵动点P到定点的距离比到直线l：的距离大1，
∴P到F的距离等于P到直线的距离，
∴动点P的轨迹为以为焦点的抛物线，∴轨迹C的方程为；
（2）设，，，直线l：，代入，
可得，则，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，即.
故在x轴上是否存在点使得.
21．（江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初）已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）．
（1）试求抛物线的方程；
（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线恒过定点；
②过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②，是以为直径的圆（除去点.
【解析】（1）解依题意，设，，
则由，得，即，
因为，，所以，故，，
则，关于轴对称，所以轴，且，所以.
因为，所以，所以，
故，，故抛物线的方程为.
（2）①证明 由题意可设直线的方程为，，，
由，消去，得，故，，.
因为，所以.即.
整理得，
，即，
得，所以或.
当，即时，直线的方程为，
过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.
②解 设，则，即，
得，即，
即轨迹是以为直径的圆（除去点）.
22．（黑龙江省哈师大附中2020届高三高考数学（文）四模）设抛物线：焦点为，准线为，为上一点，已知以为圆心，为半径的圆交于、点．
（1）若，的面积为，求的值及圆的方程；
（2）若点在第一象限，且、、三点在同一直线上，直线与抛物线的另一个交点记为，且，求实数的值．
【答案】（1），圆为：；（2）．
【解析】（1）焦点到准线的距离为，
又∵，，∴为正三角形，∴，，
∴，，∴圆为：．
（2）若、、共线，则，，
∴，，∴直线的倾斜角为或，
由对称性可知，设直线：，，，，
联立，
∴，，或，
又，，，所以．
23．（湘豫名校2020届高三联考（6月）（文））已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点.
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求外接圆的方程.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】（1）由题意，联立，可得.
如图1，①若线段与抛物线没有公共点，即时，
点在抛物线准线上的射影为，由抛物线的定义可得，
则当、、三点共线时，的最小值为，此时；
②若线段与抛物线有公共点，即时，
则当、、三点共线时，的最小值为，此时，综上，实数的值为或；

图1 图2
（2）如图2，因为，所以轴且，
设，则，代入抛物线的方程得，解得，
于是，所以外接圆的方程为.
24．（广西南宁二中柳铁一中2021届高三9月联考数学（文））已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：.
【答案】（1），它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线；（2）证明见解析.
【解析】（1）设，由题意得，化简得，
所以动圆圆心Q的轨迹方程为，它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线.
（2）不妨设.因为，所以，
从而直线的斜率为，解得，即，
又，所以轴.要使，只需.
设直线m的方程为，代入并整理，得.
所以，解得或.
设，，则，.

.
故存在直线m，使得，直线m的斜率的取值范围为.
25．（人教A版（2019） 选择性必修第二册单元测试）在平面直角坐标系中，已知双曲线．
（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线交于、两点．若与圆相切，求证：；
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）双曲线，左顶点，渐近线方程：．
过点与渐近线平行的直线方程为，即．
解方程组得，所以所求三角形的面积为．
（2）设直线的方程是，因直线与已知圆相切，故，即．
由得．设，，则，
又，所以
．故．
26．（安徽省亳州市利辛县阚疃金石中学2020-2021学年高三上学期第一次月考）已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）直线l不存在．详见解析
【解析】（1）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，
设双曲线方程为：，过点，可得，
所求双曲线方程为：．
（2）假设直线l存在．设是弦MN的中点，
且，，则，．
，N在双曲线上，，，
，，
直线l的方程为，即，
联立方程组，得
，直线l与双曲线无交点，直线l不存在．
27．（安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期开学考试（文））求两条渐近线为且截直线所得弦长为的双曲线方程．
【答案】．
【解析】设双曲线方程为
联立方程组，得消去y，得．
设直线被双曲线截得的弦为，且，那么
那么
解得， 经检验满足，所以所求双曲线方程是．
28．（江苏省泰州中学2020-2021学年高二上学期期初检测）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程.
【答案】（1）（2）.
【解析】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以，
双曲线的标准方程为C：.
（2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；当斜率存在时，设直线方程为，设，
则，化简可得，
因为有两个交点，所以
化简可得恒成立，所以，
因为恰好为线段的中点，则，化简可得，
所以直线方程为，即.
29．（黑龙江省大庆实验中学2020届高三综合训练（五）（文））已知椭圆的焦距为，短轴长为.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于、两点，求以线段为直径的圆的标准方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，，
所以，，，所以的方程为；
（2）设点、，联立，消去，得.
则，，所以，故线段的中点坐标为.
，
所以，所求圆的标准方程为.
30．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知椭圆上一点M的纵坐标为2．
（1）求M的横坐标；
（2）求过点M且与共焦点的椭圆方程．
【答案】（1）3或-3；（2）
【解析】（1）把M的纵坐标2代入椭圆方程得x=±3．∴M的横坐标为3或-3．
（2）∵，∴焦点坐标为（-，0）， （，0）．
由椭圆定义知即，，故所求椭圆的方程为.
31．（河北省正定县弘文中学2020-2021学年高二上学期9月月考）已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截弦长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由椭圆过点，则，
椭圆离心率为，则，的方程为；
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与的交点为，，，，
将直线方程代入的方程，得，解得：，，
所以
32．（江西九江市第一中学2019—2020学年度高二下学期期末考试（文））已知椭圆的焦点在轴上，对称轴为两坐标轴，离心率，且椭圆经过．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线交椭圆于两点，直线，若在直线上存在点使得四边形为平行四边形，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）椭圆的焦点在轴上，可设椭圆方程为：，
由题意可知，离心率，椭圆经过，
可得，，解得，，，故椭圆方程为.
（2）由题意知，，设，，
，由可得，①
，，
要使得四边形为平行四边形，则需满足的中点落在直线上，
即，得，所以，，
代入①可得，，综上：.
33．（四川省攀枝花市七中2021届高三上学期第一次诊断考试（理））已知椭圆，右顶点，上顶点，左右焦点分别为，且，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为的中点，是否存在定点，对于任意的都有？若存在，求出点；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在使得．
【解析】（1）由题意得：
在中，，，，
，，，，椭圆方程为
（2）解法一：设直线，令，则，，
将*代入整理得，设，
则，， ，
设，为的中点，
，，
，
设存在使得，则，，
，即对任意的都成立，
，，存在使得.
解法二：设，，，，① ，②
由①-②，得，
为中点，，
，，，，
设存在使得，则，即，
对任意都成立，即，，存在使得.
34．（安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期摸底联考（理））已知椭圆的左焦点F在直线上，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.
【答案】（1）；（2）是定值，.
【解析】（1）∵直线与x轴的交点为，
∴，∴，解得，，∴椭圆的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则在轴上，此时，因为点O为的重心，所以，将代入椭圆方程，可得，即，所以；
若的斜率存在，设的方程为，
代入椭圆方程得，设，，
则，，.
由题意点O为的重心，设，则，，
所以，，
代入椭圆，得，
设坐标原点O到直线的距离为d，则，
则的面积

.
综上可得，面积S为定值.
35．（云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）（理））已知点P是椭圆C：上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
（1）求椭圆C的标准方程;
（2）设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1，问：直线l是否过定点?证明你的结论
【答案】（1）；（2）直线l过定点．证明见解析.
【解析】（1）由，得，
又在椭圆上，代入椭圆方程有，解得，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，，，
，解得，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，，，
由，整理得，
，，．
由，整理得，
即．当时，此时，直线l过P点，不符合题意；
当时， 有解，此时直线l：过定点．
36．（湖北省荆州中学2020-2021学年高三上学期8月月考）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值．
【答案】（1） （2）-10
【解析】（1）设椭圆C的方程为，
因为抛物线的焦点坐标是 所以由题意知b = 1．
又有 ∴椭圆C的方程为
（2）方法一：设A、B、M点的坐标分别为
易知右焦点的坐标为（2，0）．

将A点坐标代入到椭圆方程中，得
去分母整理得


方法二：设A、B、M点的坐标分别为
又易知F点的坐标为（2，0）．
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

又

【点睛】解决解析几何中定值问题的常用方法有：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去参变量，从而得到定值．
本题中可能引入直线的斜率为参数，把交点坐标 用表示，实质上是把 用表示，然后再通过已知把 用坐标（横坐标）表示后，求出，把刚才的 代入化简可得．
37．（四川省巴中市2021届高三零诊考试（文））已知椭圆：（）的离心率为，一个焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点，是椭圆上的两个动点，且线段的中点在直线上.试问：线段的垂直平分线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）线段的垂直平分线过定点，定点为.
【解析】（1）依题意可得，，所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，则，
当直线的斜率存在时，设直线，即，
由消去并整理得，
设，则，
因为线段的中点在直线上，所以，
显然，所以，所以，
所以直线，即，所以直线经过定点，
当直线的斜率不存在时，直线也经过点，
所以线段的垂直平分线经过定点，定点为.
38．（安徽省皖江名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次联考（理））在中，已知，，直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设为曲线上一点，直线与交点的横坐标为4，求证：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设点的坐标为，直线与的斜率分别为，，，由已知得：，化简得，
故曲线的方程为：.
（2）设直线与交点为，则直线的方程为：
由得：
设，则，即，
同理，的方程为：与椭圆方程联立，消去整理得
，设，则，
即，，
当时，直线的斜率为：，
此时直线的方程为：，
化简得：，故直线过定点.
当时，可得，所以直线也过定点.
综合上述：直线过定点.
39．（江苏省南通如皋、盐城射阳2020-2021学年高三上学期期初联考）已知椭圆C的中心在原点，其焦点与双曲线的焦点重合，点在椭圆C上，动直线交椭圆C于不同两点A、B，且（O为坐标原点）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）讨论是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）为定值，证明见解析.
【解析】（1）因为双曲线的焦点为，所以在椭圆C中，
设椭圆C的方程为，
由点在椭圆C上得，解得，则，
所以椭圆C的方程为.
（2）为定值，理由如下：
设，由可知，
联立方程组，
由得，
，①
由及得，
整理得，
将①式代入上式可得，
同时乘以可化简得，
所以，即为定值.
40．（江西省南昌市2021届高三摸底测试（文））已知椭圆：()的左､右焦点分别是､，其离心率为，以为圆心以1为半径的圆与以为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左顶点斜率为1的直线与椭圆的另外一个交点为，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆方程为，
由两圆交点在椭圆上，，得，
由离心率为，，得，所以椭圆的方程为.
（2）直线：与椭圆联立，消去得：，
解得，代入直线方程可得，且，
故的面积为.
41．（湖南师大二附中2020-2021学年高三上学期第一次阶段性考试）已知椭圆的离心率为，长轴长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，求与的值；
（3）若直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2），；（3）.
【解析】（1）由题意，∴，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设，依题意得，
所以，
所以恒成立，
可得且且，解得，.
（3）设，，将代入椭圆方程，
消去得，，所以由，得①
由根与系数关系得，则，
所以线段的中点的坐标为.
又线段的垂直平分线的方程为，
由点在直线上，得，所以②
由①②得，，即或，
所以实数的取值范围是.
42．（湖南省衡阳市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，该椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，若斜率为的直线与轴，椭圆顺次交于点在椭圆左顶点的左侧）且，求证：直线过定点；并求出斜率的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析，.
【解析】（1）椭圆的左，右焦点分别为，椭圆的离心率为，即有，即，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆方程为，直线与圆相切，则有，
即，则椭圆C的方程为；
（2）证明：设，
由，可得直线和关于x轴对称，
即有，即，
即有，①
设直线，代入椭圆方程，可得，
判别式，即为②，
③，
代入①可得，，将③代入，化简可得，
则直线的方程为，即．即有直线恒过定点．
将代入②，可得，解得或
则直线的斜率的取值范围是．
43．（百万联考2021届高三9月联考）已知椭圆的离心率是，且椭圆经过点，过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于,两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为.由题意可得解得，.
故椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可得，
当直线的斜率为0时，，或，，
此时，不符合题意.
当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为，，.
联立，整理得，
则，因为，所以.
从而，，
则，解得.故直线的方程为.
44．（百师联盟2021届高三开学摸底联考（理）数学全国卷III试题）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆的焦距为，则①，②，又③，
由①②③解得，，，所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，由，得，
所以，从而，，
直线的斜率为，故直线的方程为.
令，得，
直线的斜率.
所以直线的斜率为定值.
45．（百校联盟2021届高三普通高中教育教学质量监测考试全国卷数学（文） ）已知椭圆：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）依题意，知，解得，故椭圆的方程为.
（2）当斜率不为零时，设过点的直线：，设，，
由，得且，则，
又，，
，
所以.
46．（河南省2020-2021学年上学期高中毕业班阶段性测试（一）文科）已知椭圆：,直线：过的右焦点.当时,椭圆的长轴长是下顶点到直线的距离的2倍.
（1）求椭圆的方程.
（2）设直线与椭圆交于,两点,在轴上是否存在定点,使得当变化时,总有(为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】（1）;（2）在轴上存在点满足题设条件.
【解析】（1）设椭圆的焦距为,直线恒过定点,所以.
当时,直线：,椭圆的下顶点到直线的距离,
由题意得,解得,.所以椭圆的方程为.
（2）当时,显然在轴上存在点,使得.
当时,由消去可得.
设,,则,.
设点满足题设条件,易知,的斜率存在,
则,
则,即,
时,上式恒成立.所以在轴上存在点满足题设条件.
47．（安徽省名校学术联盟2020届高三下学期押题卷文科）已知抛物线：经过点，过点的直线与抛物线交于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）在抛物线上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）因为抛物线：经过点，
所以，解得.所以抛物线的方程是.
（2）根据题意.设点，，直线的方程为.
联立消去得，
则.
则，.设点，因为，
即，结合，，，
得，
即，
化简得，
解得.所以，所以抛物线上存在定点，使得.
48．（四川省泸县第一中学2021届高三上学期开学考试（文））已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求直线l的斜率的取值范围；
（2）设O为原点，，，求证：为定值．
【答案】（1） 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）；（2）证明过程见解析
【解析】（1）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．
由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．
由得．
依题意，解得k<0或0 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．
所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（1）知，．直线PA的方程为．
令x=0，得点M的纵坐标为．
同理得点N的纵坐标为．
由，得，．所以
．
所以为定值．
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
49．（福建省厦门市2019-2020学年高二下学期期末）动圆P与圆外切，与直线相切，记圆心P的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）过点作直线l交E于A，B两点，若中点的纵坐标为，且，求的值.
【答案】（1）；（2）4.
【解析】（1）设圆P的半径为r，P到直线的距离为，P到直线的距离为，
圆的圆心为，半径为2，
根据题意有，，，所以，
根据抛物线的定义，点P的轨迹是抛物线，顶点为原点，焦点到准线的距离，对称轴为x轴，所以E轨迹方程为.
（2）根据题意，设直线，交点，，
则联立直线l与E有，消去x得：①，
，根据韦达定理有，
因为中点的纵坐标为，所以，解得，
所以方程①可化简为，解得两根分别为4和-1，
因为，所以，
又，所以，故，，所以.
50．（河北省邯郸市2021届高三上学期摸底）已知点为抛物线的焦点，横坐标为1的点在抛物线上，且以为圆心，为半径的圆与的准线相切.
（1）求抛物线的方程；
（2）设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）由题焦点，准线，
因为以为圆心，为半径的圆与的准线相切，
所以，解得，所以抛物线的方程为.
（2）由题设，，易知直线的斜率存在，记为，则设直线，与联立得，得，，
则，，
，
.
又知，，
，
解得，所以直线，恒过定点.
51．（上海市七宝中学2021届高三上学期摸底）已知双曲线经过点，两条渐近线的夹角为，直线交双曲线于､两点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过原点，为双曲线上异于､的一点，且直线､的斜率､均存在，求证：为定值；
（3）若过双曲线右焦点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.
【解析】（1）由题意得：，解得：，∴双曲线的方程为.
（2）设点坐标为，则由对称性知点坐标为
设，则
，得，∴.
（3）当直线的斜率存在时，设直线方程为，
与双曲线方程联立消得：，
∴得，且，设､
∵

，
假设存在实数，使得，
∴对任意的恒成立，
∴，解得.∴当时，.
当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立
综上：存在，使得.
52．（陕西省西安市第一中学2020-2021学年高三上学期模拟调研考试（理））椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点，线的倾斜角为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过且斜率存在的动直线与椭圆交于、两点，直线与交于，求证：在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1），由题意，，
所以椭圆的方程.
（2）设，，，
过的动直线：，代入椭圆的方程得：
，得：，，
，
分别由，，及，，三点共线，得：，，
两式相除得：
，
得：，即在直线上.
53．（四川省新津中学2021届高三上学期开学考试（理））已知椭圆：经过点，一个焦点的坐标为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：与椭圆交于，两点，为坐标原点，若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），，
∴椭圆的方程为.
（2）设，，由得：，
，即，
，，
，
，
∴即，故，
.
故的取值范围为.