人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案

这是一份人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案，共10页。









解决匀变速直线运动问题的常用方法


1．匀变速直线运动规律公式间的关系





2．常用解题方法


物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端eq \f(3,4)l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．


[解析] 法一：逆向思维法


物体向上匀减速冲上斜面


相当于向下匀加速滑下斜面


故xBC＝eq \f(ateq \\al(2,BC),2)，xAC＝eq \f(a（t＋tBC）2,2)，又xBC＝eq \f(xAC,4)


由以上三式解得tBC＝t.


法二：基本公式法


因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得


veq \\al(2,0)＝2axAC①


veq \\al(2,B)＝veq \\al(2,0)－2axAB②


xAB＝eq \f(3,4)xAC③


由①②③式解得vB＝eq \f(v0,2)④


又vB＝v0－at⑤


vB＝atBC⑥


由④⑤⑥式解得tBC＝t.


法三：比例法


对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为


x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)


因为xCB∶xBA＝eq \f(xAC,4)∶eq \f(3xAC,4)＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.


法四：中间时刻速度法


利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，eq \(v,\s\up6(－))AC＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \f(v0,2)，又veq \\al(2,0)＝2axAC，veq \\al(2,B)＝2axBC，xBC＝eq \f(xAC,4).由以上三式解得vB＝eq \f(v0,2).可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t.


法五：图象法


根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边平方比，得eq \f(S△AOC,S△BDC)＝eq \f(CO2,CD2)，且eq \f(S△AOC,S△BDC)＝eq \f(4,1)，OD＝t，OC＝t＋tBC.


所以eq \f(4,1)＝eq \f(（t＋tBC）2,teq \\al(2,BC))，解得tBC＝t.


法六：时间比例法


对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))．


现将整个斜面分成相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过 BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(eq \r(2)－1)tx，tDE＝(eq \r(3)－eq \r(2))tx，tEA＝(2－eq \r(3))tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t.


[答案] t


eq \a\vs4\al()


匀变速直线运动问题的解题步骤


(1)分析题意，确定研究对象，判断物体的运动情况，分析加速度的方向和位移方向．


(2)选取正方向，并根据题意画出运动示意图．


(3)由已知条件及待求量，选定公式列出方程．


(4)统一单位，解方程求未知量．


(5)验证结果，并注意对结果进行必要的讨论．


要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内通过一段直轨道，然后驶入一段半圆形的弯轨道，但在弯轨道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏离轨道，求摩托车在直轨道上行驶所用的最短时间．有关数据见下表：


某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，然后再减速到v2＝ 20 m/s，t1＝eq \f(v1,a1)，t2＝eq \f(v1－v2,a2)，tmin＝t1＋t2.你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法计算．


解析：不合理．理由如下．


首先对运动过程进行分析讨论，假设摩托车在直轨道上先加速至最大速度40 m/s，然后再减速至弯轨道允许的速度，则加速过程的位移为


x1＝eq \f(veq \\al(2,1)－veq \\al(2,0),2a1)＝eq \f(402,2×4) m＝200 m


再减速至弯轨道允许的速度时通过的位移为


x2＝eq \f(veq \\al(2,2)－veq \\al(2,1),－2a2)＝eq \f(202－402,－2×8) m＝75 m


因为x1＋x2＝275 m＞x＝218 m，因此，如果按这种方式运动，摩托车在弯轨道上行驶的速度将大于20 m/s，不符合题目要求，故摩托车在直轨道上运行时的最大速度应小于40 m/s，才能在进入弯轨道前通过减速使速度减小为20 m/s.因而，该同学的解法不合理．


综上所述，摩托车在直轨道上的运动过程应为：从静止开始加速，当速度达到某一值(小于直轨道允许的最大速度)时开始减速，恰好在运动到直轨道末端时速度减至20 m/s.此运动过程的总位移为218 m.


法一：基本公式法(利用运动学基本公式求解)


摩托车匀加速运动的位移x1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)①


匀减速运动的位移x2＝v2(tmin－t1)＋eq \f(1,2)a2(tmin－t1)2②


x1＋x2＝x③


又a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)，整理得t1＝eq \f(a2tmin＋v2,a1＋a2)④


联立①②③④式，代入数据，整理得数学表达式


teq \\al(2,min)＋5tmin－176＝0


解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．


法二：推论法(利用运动学推论公式求解)


设行驶的最大速度为v，则匀加速运动的位移x1＝eq \f(v2,2a1)


匀减速运动的位移x2＝eq \f(veq \\al(2,2)－v2,－2a2)


且x1＋x2＝x，即eq \f(v2,2a1)＋eq \f(v2－veq \\al(2,2),2a2)＝218 m


代入数据，整理得eq \f(3,16)v2＝243 m2/s2，故v＝36 m/s


故t1＝eq \f(v,a1)＝eq \f(36,4) s＝9 s，t2＝eq \f(v－v2,a2)＝eq \f(36－20,8) s＝2 s


故最短时间tmin＝t1＋t2＝11 s.


法三：图象法(利用v－t图象求解)


(1)如图甲所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.


x＝eq \f(v,2)t1＋eq \f(v＋v2,2)(tmin－t1)①


又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)②


由②得t1＝eq \f(a2tmin＋v2,a1＋a2)③


v＝a1t1＝eq \f(a1（a2tmin＋v2）,a1＋a2)④


联立①③④式，代入数据，整理得数学表达式


teq \\al(2,min)＋5tmin－176＝0


解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．


(2)如图乙所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.


x＝S△OCD－S△ABD


即x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,min)－eq \f(1,2)BD(tmin－t1)①


BD＝(v－20) m/s＋eq \f(（v－20 m/s）a1,a2)②


又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)


得v＝eq \f(a1（a2tmin＋v2）,a1＋a2)③


①②③式联立，代入数据，整理得数学表达式


teq \\al(2,min)＋5tmin－176＝0


解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．


答案：不合理，理由见解析，正确结果为11 s


运动图象与追及相遇问题的综合问题


1．应用运动图象的三点注意


(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．


(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．


(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．


2．应用运动图象解题“六看”


(多选)(2018·高考全国卷 Ⅱ )甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )


A．两车在t1时刻也并排行驶


B．在t1时刻甲车在后，乙车在前


C．甲车的加速度大小先增大后减小


D．乙车的加速度大小先减小后增大


[解析] 本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图象斜率表示加速度分析出C错误，D正确．


[答案] BD


eq \a\vs4\al()


运用运动图象解题的技巧





【达标练习】


1．(2019·武侯校级模拟)A、B两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是A物体的位移时间图象，乙图是B物体的速度时间图象，根据图象，下列说法正确的是( )





A．运动过程中，A、B两物体相遇一次


B．运动过程中，A、B两物体相遇两次


C．A、B两物体最远距离是20 m


D．6 s内，A物体的平均速度是B物体的平均速度的两倍


解析：选A.在0～2 s内，A的位移为：xA1＝40 m，B的位移为：xB1＝eq \f(10×2,2) m＝10 m，知B没有追上A.在2～4 s内，A静止，B继续沿原方向运动，通过的位移为：xB2＝10×2 m＝20 m，t＝4 s末B还没有追上A.在4～6 s内，A返回，位移为：xA2＝－40 m，t＝6 s返回原出发点．B的位移为：xB3＝eq \f(10×2,2) m＝10 m，则在0～6 s内B的总位移为：xB＝40 m，可知，A、B两物体在4～6 s内相遇一次，故A正确，B错误；t＝2 s时，A、B两物体相距最远，最远距离为：s＝xA1－xB1＝30 m，故C错误；6 s内，A物体的位移为0，平均速度为0，B物体的平均速度为：eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)＝eq \f(40,6) m/s＝eq \f(20,3) m/s，故D错误．


2.(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为S1和S2(S2>S1)．初始时，甲车在乙车前方S0处( )


A．若S0＝S1＋S2，两车不会相遇


B．若S0