人教版 (2019)必修 第一册4 自由落体运动学案设计

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匀变速直线运动的两个基本公式


由于运动学部分的公式较多，并且各公式之间又相互联系，因此本章中的一些题目常可一题多解．在解题时要开阔思路，联想比较，筛选出最便捷的解题方案，从而简化解题过程．





匀变速直线运动基本公式的选用


1．四个公式的比较


2.公式的应用步骤


(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图．


(2)明确研究对象，明确已知量、待求量．


(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负．


(4)选择适当的公式求解．


(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向．


一滑块自静止开始从斜面(足够长)顶端匀加速下滑，第5 s末的速度是6 m/s，试求：


(1)4 s末的速度．


(2)运动后5 s内的位移．


(3)第5 s内的位移．


[解析] (1)滑块的加速度：


a＝eq \f(v－v0,t)＝eq \f(6－0,5) m/s2＝1.2 m/s2


4 s末的速度：


v4＝at′＝1.2×4 m/s＝4.8 m/s.


(2)法一：由x＝eq \f(1,2)at2得：


x＝eq \f(1,2)×1.2×52 m＝15 m.


法二：由x＝eq \f(v0＋v,2)·t得：


x＝eq \f(0＋6,2)×5 m＝15 m.


法三：由v2＝2ax得：


x＝eq \f(v2,2a)＝eq \f(62,2×1.2) m＝15 m.


(3)法一：第5 s内的位移等于前5 s内的位移减去前4 s内的位移：


Δx＝x－eq \f(1,2)at′2＝15 m－eq \f(1,2)×1.2×42 m＝5.4 m.


法二：Δx＝eq \f(v4＋v,2)Δt＝eq \f(4.8＋6,2)×1 m＝5.4 m.


法三：由v2－veq \\al(2,4)＝2a·Δx得：


Δx＝eq \f(v2－veq \\al(2,4),2a) ＝eq \f(62－4.82,2×1.2) m＝5.4 m.


[答案] (1)4.8 m/s (2)15 m (3)5.4 m


eq \a\vs4\al()


巧选运动学公式的基本方法


公式中共涉及v0、v、a、t、x五个物理量，而每个公式中都含有四个量，因此明确三个量就可求出另外的两个量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果，方法如下：


【达标练习】


1．一质点做匀变速直线运动，第3 s内的位移为12 m，第5 s内的位移为20 m，试求：


(1)该质点的初速度和加速度．


(2)该质点5 s内的位移．


解析：(1)第3 s内的位移等于前3 s内位移与前2 s内位移之差，即Δx3＝x3－x2＝12 m，


代入数据得


v0×3＋eq \f(1,2)a×32－(v0×2＋eq \f(1,2)a×22)＝12①


同理可得：v0×5＋eq \f(1,2)a×52－(v0×4＋eq \f(1,2)a×42)＝20②


联立①②解得v0＝2 m/s，a＝4 m/s2.


(2)5 s内的位移为x＝v0t5＋eq \f(1,2)ateq \\al(2,5)＝60 m.


答案：(1)2 m/s 4 m/s2 (2)60 m


2．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？


解析：法一(利用速度公式和位移公式求解)


vt＝v0＋at，x＝v0t＋eq \f(1,2)at2


代入数据解得a＝0.128 m/s2，t＝25 s.


法二(利用位移与速度的关系式和速度公式求解)


由veq \\al(2,t)－veq \\al(2,0)＝2ax


得a＝eq \f(veq \\al(2,t)－veq \\al(2,0),2x)＝0.128 m/s2


由vt＝v0＋at


得t＝eq \f(vt－v0,a)＝25 s.


答案：25 s


匀变速直线运动推论的应用


续 表


有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m，连续相等的时间为4 s，求物体的初速度和加速度是多少．


[解析] 由题意可画出物体的运动示意图：





法一：逐差法


由Δx＝aT2可得a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(64－24,42) m/s2＝2.5 m/s2①


又x1＝vAT＋eq \f(1,2)aT2②


vC＝vA＋a·2T③


由①②③式解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.


法二：平均速度公式法


连续两段时间T内的平均速度分别为


eq \(v,\s\up6(－))1＝eq \f(x1,T)＝eq \f(24,4) m/s＝6 m/s


eq \(v,\s\up6(－))2＝eq \f(x2,T)＝eq \f(64,4) m/s＝16 m/s


由于B是A、C的中间时刻，则eq \(v,\s\up6(－))1＝eq \f(vA＋vB,2)，eq \(v,\s\up6(－))2＝eq \f(vB＋vC,2)


又vB＝eq \f(vA＋vC,2)＝eq \f(eq \(v,\s\up6(－))1＋eq \(v,\s\up6(－))2,2)＝eq \f(6＋16,2) m/s＝11 m/s


解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s


其加速度a＝eq \f(vC－vA,2T)＝eq \f(21－1,2×4) m/s2＝2.5 m/s2.


法三：基本公式法


由位移公式得：x1＝vAT＋eq \f(1,2)aT2


x2＝vA·2T＋eq \f(1,2)a(2T)2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(vAT＋\f(1,2)aT2))


vC＝vA＋a·2T


将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入上式，


解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s.


[答案] 1 m/s 2.5 m/s2


【达标练习】


1．(2019·濮阳期末)一物体做匀变速直线运动，某时刻的速度为v1，经过t时间运动的位移为x，速度变为v2，则下列说法错误的是( )


A．平均速度等于eq \f(x,t)


B．平均速度等于eq \f(v1＋v2,2)


C．中间位置的瞬时速度等于eq \f(x,t)


D．中间时刻的瞬时速度等于eq \f(v1＋v2,2)


解析：选C.根据平均速度的定义可得平均速度为eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)，故A正确；物体做匀变速直线运动，故平均速度等于初末速度和的一半，即eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v1＋v2,2)，故B正确；设中间位置的瞬时速度为v，匀变速运动加速度为a，则v2－veq \\al(2,1)＝2a·eq \f(x,2)①，veq \\al(2,2)－v2＝2a·eq \f(x,2)②，①②式联立解得：v＝eq \r(\f(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2),2))，故C错误；物体做匀变速直线运动，故中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度还等于初末速度和的一半，即veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \f(v1＋v2,2)＝eq \f(x,t)，故D正确．


2．(多选)一个做匀加速直线运动的物体先后经过A、B两点时的速度分别为v1和v2，则下列结论中正确的有( )


A．物体经过AB位移中点的速度为eq \f(v1＋v2,2)


B．物体经过AB位移中点的速度为 eq \r(\f(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2),2))


C．物体通过AB这段位移的平均速度为eq \f(v1＋v2,2)


D．物体通过AB这段位移所用时间的中间时刻的速度为eq \f(v1＋v2,2)


解析：选BCD.设经过位移中点时的速度为veq \s\d9(\f(x,2))，则对前半段的位移有2a·eq \f(x,2)＝v2eq \s\d9(\f(x,2))－veq \\al(2,1)，对后半段的位移有2a·eq \f(x,2)＝veq \\al(2,2)－v2eq \s\d9(\f(x,2))，由这两式得veq \s\d9(\f(x,2))＝ eq \r(\f(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,2),2))，选项A错误，B正确；对匀变速直线运动而言，总有v＝veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \f(v1＋v2,2)，选项C、D正确．


3．(多选)做初速度不为零的匀加速直线运动的物体，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下判断正确的是( )


A．物体在A点的速度为eq \f(x1＋x2,2T)


B．物体运动的加速度为eq \f(2x1,T2)


C．物体运动的加速度为eq \f(x2－x1,T2)


D．物体在B点的速度为eq \f(3x2－x1,2T)


解析：选ACD.根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知：vA＝eq \f(x1＋x2,2T)，故A正确；根据x2－x1＝aT2得物体运动的加速度为：a＝eq \f(x2－x1,T2)，


故B错误，C正确；在该加速运动过程中有：vB＝vA＋aT＝eq \f(x1＋x2,2T)＋eq \f(x2－x1,T)＝eq \f(3x2－x1,2T)，故D正确．





一、选择题


1．一辆沿笔直的公路匀加速行驶的汽车，经过路旁两根相距50 m的电线杆共用5 s时间，它经过第二根电线杆时的速度为15 m/s，则经过第一根电线杆时的速度为( )


A．2 m/s B．10 m/s


C．2.5 m/s D．5 m/s


解析：选D.根据平均速度公式可知v＝eq \f(x,t)＝eq \f(v0＋vt,2)，即eq \f(50,5) m/s＝eq \f(v0＋15 m/s,2)，得v0＝5 m/s，所以D选项正确．


2．(2019·晋中期末)某质点由A经B到C做匀加速直线运动历时4 s．前2 s和后2 s位移分别为AB＝8 m和BC＝12 m，该质点的加速度大小及B点的瞬时速度的大小分别是( )


A．1 m/s2 5 m/s B．2 m/s2 5 m/s


C．1 m/s2 10 m/s D．2 m/s2 10 m/s


解析：选A.根据Δx＝aT2得，质点的加速度a＝eq \f(Δx,T2)＝eq \f(BC－AB,T2)＝eq \f(12－8,4) m/s2＝1 m/s2；B点的瞬时速度vB＝eq \f(AB＋BC,2T)＝eq \f(8＋12,4) m/s＝5 m/s.故A正确，B、C、D错误．


3.(多选)(2019·红塔区校级期末)如图所示，光滑斜面AD被分成三个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD，一小物体从A点由静止开始下滑，下列结论中正确的是( )


A．物体到达各点的速率为vB∶vC∶vD＝1∶2∶3


B．物体在AB段和BC段的平均速度之比为(eq \r(2)－1)∶1


C．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝eq \r(\f(veq \\al(2,B)＋veq \\al(2,D),2))


D．物体通过B、C、D三点的速度满足vC＝eq \f(vB＋vD,2)


解析：选BC.由速度位移关系式有：veq \\al(2,B)＝2aAB，veq \\al(2,C)＝2aAC，veq \\al(2,D)＝2aAD，由AB＝BC＝CD，可得vB∶vC∶vD＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)，故A错误；物体在AB段的平均速度为vAB＝eq \f(vB,2)，物体在BC段的平均速度为vBC＝eq \f(vB＋vC,2)，由前面的分析可得vAB∶vBC＝(eq \r(2)－1)∶1，故B正确；由公式veq \s\d9(\f(x,2))＝eq \r(\f(v2＋veq \\al(2,0),2))可得vC＝eq \r(\f(veq \\al(2,B)＋veq \\al(2,D),2))，故C正确，D错误．


4．一个小球从斜面的顶端由静止开始匀加速沿斜面滑下，经过斜面中点时速度为3 m/s，则小球到达斜面底端时的速度为( )


A．4 m/s B．5 m/s


C．6 m/s D．3eq \r(2) m/s


解析：选D.设斜面长为L，加速度为a，到底端的速度为v，则由veq \s\d9(\f(x,2))＝ eq \r(\f(veq \\al(2,0)＋v2,2))得3 m/s＝eq \r(\f(v2,2))，所以v＝3eq \r(2) m/s，D正确．


5．做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移为s，设这段时间中间时刻的瞬时速度为v1，这段位移中间位置的瞬时速度为v2，则( )


A．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1v2


C．无论是匀加速还是匀减速直线运动，均有v1＝v2


D．匀加速直线运动时，v1v2


解析：选A.画出匀加速直线运动与匀减速直线运动的v－t图象，如图甲、乙所示，由图知v1veq \s\d9(\f(t,2))；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知veq \s\d9(\f(x,2))>veq \s\d9(\f(t,2))





故当物体做匀速运动时，veq \s\d9(\f(x,2))＝veq \s\d9(\f(t,2))；当物体做匀变速直线运动时，veq \s\d9(\f(x,2))>veq \s\d9(\f(t,2))
逐


差


相


等


公


式
内容
在任意两个连续相等的时间间隔T内，位移之差是一个常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2；若xm和xn分别为第m段、第n段位移，则xm－xn＝(m－n)aT2
推导
在时间T内的位移x1＝v0T＋eq \f(1,2)aT2①，在时间2T内的位移x2＝v0×2T＋eq \f(1,2)a(2T)2②，则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③；由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
作用
一是用来判断物体是否做匀变速直线运动，二是用来求加速度
适用


范围
匀变速直线运动
t/s
v/(m·s－1)
0
30
100
40
300
50
400
50
500
60
550
70
600
80