2021年中考数学复习专题练：《反比例函数之K的几何意义》（培优）

2021年中考数学复习微专题靶向专题练：
《反比例函数之K的几何意义》（培优）

一．选择题
1．如图，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且△ABO的面积为8，若双曲线y＝（k≠0）经过边AB的中点C，则k的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，△OAB的面积是9，P是AB的中点，若函数y＝（x＞0）的图象经过点A，P，则k的值为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
3．如图正方形ABCD的顶点A在第二象限y＝图象上，点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上，点D在第一象限直线y＝x的图象上，若S阴影＝，则k的值为（　　）

A．﹣1 B． C． D．﹣2
4．如图，点A与点B关于原点对称，点C在第四象限，∠ACB＝90°．点D是x轴正半轴上一点，AC平分∠BAD，E是AD的中点，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，E．若△ACE的面积为6，则k的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
5．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k≠0）经过▱ABCD的顶点B、D，点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，CD经过点（0，2），▱ABCD的面积是18，则点D的坐标是（　　）

A．（﹣2，2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（﹣6，1）
6．如图，设P是函数y＝在第二象限的图象上的任意一点，点P关于原点的对称点P′．过P作PA∥y轴，过P′作P′A∥x轴，PA与P′A交于点A，则△PAP′的面积是（　　）

A．2 B．4
C．8 D．随P的变化而变化
7．如图，A，B，C为反比例函数图象上的三个点，分别从A，B，C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是（　　）

A．S1＝S2＞S3 B．S1＜S2＜S3 C．S1＞S2＞S3 D．S1＝S2＝S3
8．如图，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　）

A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1•k2 D．
9．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在反比例函数y＝在第一象限的图象上，BC、AD交于P，则△OBP的面积是（　　）

A．4 B．4 C．3 D．2
10．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝9．则k的值是（　　）

A．9 B．6 C．5 D．4
二．填空题
11．如图，在矩形OABC中，点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，边AB与反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点E，若E为AB的中点，则矩形OABC的面积为　 　．

12．双曲线y＝（x＞0）经过四边形OABC的顶点A，C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得△AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是　 　．

13．如图，平行于x轴的直线与函数y＝（k1＞0，x＞0）和y＝（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点．点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为　 　．

14．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y＝（x＞0，k＞0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′且点O、A′、C′在同一条直线上，连接CC′，交x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于　 　．

15．如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数y＝的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是　 　．

三．解答题
16．如图，点A、B在反比例函数（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C、D分别在x轴的正、负半轴上，若CD＝k，已知AB＝4AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的3倍．
（1）求AB的长．
（2）求k的值．

17．已知点A（1，6）在反比例函数y＝的图象上，过点A作直线AC与函数y＝的图象交于点B，与x轴交于点C，且AB＝BC，过点B作BN⊥x轴，垂足为N，求△CBN的面积．

参考答案
一．选择题
1．解：设点A（a，0），点B（0，b），
∴OA＝a，OB＝b，
∵△ABO的面积为8，
∴ab＝8，
∴ab＝16，
∵点C是AB中点，
∴点C（，），
∵点C在双曲线y＝（k≠0）上，
∴k＝×＝4，
故选：A．
2．解：设点A（m，n），
则△OAB的面积＝OB×n＝9，
解得：OB＝，故点B（，0），
∵P是AB的中点，
∴点P的坐标为（，），
函数y＝（x＞0）的图象经过点A，P，
则k＝mn＝×，解得：mn＝6，
即k＝6，
故选：A．
3．解：如图，过点A作AG⊥x轴，过点D作DE⊥x轴，作DF⊥AG交y轴于H，

∴四边形DHOE是矩形
∵∠ADC＝∠HDE＝90°
∴∠ADC﹣∠FDC＝∠HDE﹣∠FDC
∴∠ADF＝∠CDE，
∵点D在第一象限直线y＝x的图象上，
∴DH＝DE，且∠ADF＝∠CDE，∠DHM＝∠DEN
∴△DHM≌△DEN（ASA）
∴S△DHM＝S△DNE，
∴＝S四边形DHOE＝DH×DE
∴DH＝DE＝
同理可证：△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC
∴AF＝HD＝BG＝OC，AG＝DF＝BO＝HC
∴OC＝HD＝＝AF＝BG
∴CH＝
∴AG＝＝BO
∴GO＝
∴点A坐标（﹣，）
∴k＝﹣×＝﹣
故选：B．
4．解：连接OC，在Rt△ABC中，点O是AB的中点，

∴OC＝AB＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC是∠BAD的角平分线，
∴∠OAC＝∠EAC，
∴∠OCA＝∠EAC，
∴AE∥OC
∴S△AEC＝S△AOE，
过A作AM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，
∵A、E都在反比例函数y＝的图象上，
∴S△AOM＝S△EON，
∴S梯形AMNE＝S△AOE，
∵AM∥EN，
∴△DAM∽△DEN，
∵AE＝DE，S梯形AMNE＝S△AOE＝S△AEC＝6，
∴S△AOD＝12，
延长DA交y轴于P，易得△DAM∽△DPO，
设EN＝a，则AM＝2a，
∴ON＝，OM＝，
∴MN＝，DN＝，
∴DM：OM＝2：1，
∴S△DAM：S△AOM＝2：1，
∴S△AOM＝4，
∴k＝8．
故选：C．
5．解：如图，∵点A的坐标为（0，﹣1），AB∥x轴，反比例函数y＝（k≠0）经过▱ABCD的顶点B，
∴点B的坐标为（﹣k，﹣1），
即AB＝﹣k，
又∵点E（0，2），
∴AE＝2+1＝3，
又∵平行四边形ABCD的面积是18，
∴AB×AE＝18，
∴﹣k×3＝18，
∴k＝﹣6，
∴y＝﹣，
∵CD经过点（0，2），
∴令y＝2，可得x＝﹣3，
∴点D的坐标为（﹣3，2），
故选：C．

6．解：连接OA，PA交x轴于B，如图，
∵点P关于原点的对称点P′，
∴PO＝P′0，
∵P′A∥x轴，
∴OB∥AP′，
∴PB＝AB，
∵S△POB＝×|﹣4|＝2，
∴S△POA＝2S△POB＝4，
∴S△PAP′＝2S△POA＝8．
故选：C．

7．解：设点A坐标为（x1，y1） 点B坐标（x2，y2） 点C坐标（x3，y3），
∵S1＝x1•y1＝k，S2＝x2•y2＝k，S3＝x3•y3＝k，
∴S1＝S2＝S3．
故选：D．
8．解：根据题意可得四边形PAOB的面积＝S矩形OCPD﹣SOBD﹣SOAC，
由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．
故选：B．
9．解：∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP＝S△AOP，
∴S△OBP＝S△AOB，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABE＝S△AOB，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴S△OBE＝×4＝2，
∴S△OBP＝S△AOB＝2S△OBE＝4．
故选：A．

10．解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
设反比例函数解析式为y＝（k＞0），
∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，
∴A、B两点的纵坐标分别是、，
∵AD∥BE，
∴△CEB∽△CDA，
∴＝＝＝，
∴DE＝CE，
∵OD：OE＝a：2a＝1：2，
∴OD＝DE，
∴OD＝OC，
∴S△AOD＝S△AOC＝×9＝3，
∴|k|＝3，
而k＞0，
∴k＝6．
故选：B．

二．填空题（共5小题）
11．解：如图，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，EF⊥x轴于F，连接OE，
∵∠AOC＝90°，
∴∠AOM+∠CON＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠CON＝∠OAM，
∵∠AMO＝∠ONC，
∴△OAM∽△CON，
∴＝（）2＝（）2，
∵S△OAM＝×2＝1，S△OCN＝×8＝4，
∴＝＝，
∴CN＝2OM，OC＝2OA，
设A（m，﹣），则C（﹣，﹣2m），
∴B（﹣+m，﹣2m﹣）
∴E（﹣+m，﹣m﹣），
∴（﹣+m）•（﹣m﹣）＝﹣2，
解得m2＝1+
∴S△OAE＝S梯形AMFE＝（﹣m﹣﹣）•（﹣+m﹣m）＝1+＝，
∵E为AB的中点，
∴S矩形OABC＝4S△OAE＝4，
故答案为4．

12．解：延长BC，交x轴于点D，

设点C（x，y），AB＝a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD＝CB'，
∵OC＝OC，
∴Rt△OCD≌Rt△OCB'（HL），
再由翻折的性质得，BC＝B'C，
∵双曲线y＝（x＞0）经过四边形OABC的顶点A，C，
∴＝，
∴，
由翻折的性质和角平分线性质得，BC＝B'C＝CD，
∴点A、B的纵坐标都是2y，
∵AB∥x轴，
∴A（x﹣a，2y），
由题意得2y（x﹣a）＝1，
∴xy﹣ay＝，
∵xy＝1，
∴ay＝，
∴，
∴S四边形OABC＝S△OB'C+S△AB'C+S△ABC＝，
故答案为1．
13．解：
设：A、B点的坐标分别是A（，m）、B（，m），
则：△ABC的面积＝•AB•yA＝•（﹣）•m＝4，
则k1﹣k2＝8．
故答案为8．
14．解：过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，
∵点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，
∴设A（a，），
∵点C在函数y＝（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，
∴设C（b，），
∵AD⊥BD，BC⊥BD，
∴△OAD∽△BCO，
∴＝（）2＝，
∵S△ADO＝，S△BOC＝，
∴k2＝（）2，
∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC＝（﹣）•b+＝6，
∴k2﹣＝12，
①当k＞0时，
k＝﹣，
∴k2+k﹣12＝0，
解得：k＝3，k＝﹣4（不合题意舍去），
②当k＜0时，
k＝，
∴k2+k﹣12＝0，
解得：k＝﹣3，k＝4（不合题意舍去），
∴k2＝9
∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝90°，
∴OA′，OC′在同一条直线上，
∴S△OBC′＝S△OBC＝＝，
∵S△OAA′＝2S△OAD＝1，
∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积＝S△OBC+S△OBC′+S△OAA′＝10．
故答案为：10．
15．解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），
∴点B的坐标为：（5，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y＝得：k＝8，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把点B（5，4），C（3，0）代入得：，
解得：k＝2，b＝﹣6，
∴直线BC的解析式为：y＝2x﹣6，
解方程组 得：，或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：（4，2），
即D为BC的中点，
∴△ABD的面积＝平行四边形ABCD的面积，
∴四边形AOCD的面积＝平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积＝3×4﹣×3×4＝9；
故答案为：9．
三．解答题（共2小题）
16．解：（1）如图所示，延长BD，过点A作BD的垂线，交BD的延长线于点F，

∵E是AB的中点，
∴S△ABD＝2S△ADE，
S△ABC＝2S△BCE，
又∵△BCE的面积是△ADE的面积的3倍，
∴3S△ABD＝S△ABC，
∴，
∴3BD＝AC，
∵AC•OC＝BD•DO＝k，
∴DO＝3OC，
∵CD＝k，
∴OC＝，
∴AC•OC＝AC＝k，
∴AC＝4，
∵AB＝4AC，
∴AB＝16；

（2）易知BD＝，AC＝FD，AF＝DC，
∴BF＝BD+DF＝，
∴AF＝，
∴k＝DC＝AF＝．
17．解：如图，过点A作AM⊥OC，垂足为M，连接OB，
∵点A（1，6）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝1×6＝6，
又∵点B在反比例函数y＝上，
∴S△BON＝×6＝3，
∵AM⊥OC，BN⊥OC，
∴△CBN∽△CAM，
∴＝＝，
又∵AB＝BC，
∴＝＝＝＝，
∴AM＝6，
∴BN＝3，
∴ON＝2，
∴MN＝2﹣1＝1＝NC，
∴S△BNC＝NC•BN＝×1×3＝，
答：△CBN的面积为．