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2020-2021学年安徽省淮南市田家庵区八年级（上）期中数学试卷 解析版
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2020-2021学年安徽省淮南市田家庵区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个地铁标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．1cm，3cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm D．2cm，4cm，6cm
3．在平面直角坐标系中，点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），则点A的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣3、7）
4．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
6．如图，已知△ABC的3条边和3个角，则能判断和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
7．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（ ）
A．64° B．32° C．30° D．40°
8．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题：（本大题8小题，每小题3分，共24分）
11．七边形的内角和是 ．
12．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于点A，若CD＝4cm，则BD＝ ．
14．如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD＝ ．
15．如图所示，在直角坐标系中，△OBC的顶点O（0，0），B（﹣6，0），且∠OCB＝90°，OC＝BC，则点C关于y轴对称点C′的坐标是 ．
16．如图，小亮从A点出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
17．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），求点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB＝∠CED＝90°，AE＝BE，CE＝DE＝2，则图中阴影部分的面积等于 ．
三、解答题（本题共5小题，共46分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 ．
20．（8分）如图：已知点A、E、F、B在一条直线上，AE＝BF，CF＝DE，AC＝BD，求证：GE＝GF．
21．（8分）如图，已知：△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16cm，△ABC的周长为24cm，求AD的长度．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上且点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）连接CD，若CD＝CB，求∠B的度数．
23．（12分）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求∠AEB的度数．
（2）试证明AE＝BE+2CM．
2020-2021学年安徽省淮南市田家庵区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个地铁标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
2．以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．1cm，3cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm D．2cm，4cm，6cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形；
B、1+3＜5，不能组成三角形；
C、2+3＞4，能够组成三角形；
D、2+4＝6，不能组成三角形．
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），则点A的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣3、7）
【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点进行解答即可．
【解答】解：∵点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），
∴点A的坐标为（3，2），
故选：A．
4．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故选：B．
5．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．
【解答】解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：B．
6．如图，已知△ABC的3条边和3个角，则能判断和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．
【解答】解：如图：
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）；
在△ABC和△MNK中，
，
∴△ABC≌△MNK（AAS）．
∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙或丙．
故选：B．
7．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（ ）
A．64° B．32° C．30° D．40°
【分析】根据平行线的性质求出∠EAD，根据角平分线的定义得到∠EAC＝2∠EAD＝64°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B＝32°，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝64°，
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝64°﹣32°＝32°，
故选：B．
8．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝9，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝6+9＝15．
故选：D．
9．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故选：D．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】根据翻折的性质可知角ECF为45度，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积即可求解．
【解答】解：根据两次翻折可知：
∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠DCF，CE⊥AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝∠ECD+∠FCD＝∠ACB＝45°，
∴∠EFC＝45°，
∴EF＝CE，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴5CE＝3×4，CE＝．
∴EF＝．
故选：B．
二、填空题：（本大题8小题，每小题3分，共24分）
11．七边形的内角和是 900° ．
【分析】由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n＝7代入即可求得答案．
【解答】解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）＝900°．
故答案为：900°．
12．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 17 ．
【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：分两种情况：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于点A，若CD＝4cm，则BD＝ 8cm ．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C＝30°，求出AD＝CD＝4cm，根据含30°角的直角三角形的性质求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝120°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∵CD＝4cm，
∴AD＝CD＝4cm，
在Rt△BAD中，∠BAD＝90°，AD＝4cm，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝8cm，
故答案为：8cm．
14．如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD＝ 25° ．
【分析】在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，根据三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，再由线段垂直平分线的性质可得DB＝DC，根据等边对等角得出∠DCB＝∠B＝45°，然后根据∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，计算即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝65°，∠B＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝70°﹣45°＝25°．
故答案为25°．
15．如图所示，在直角坐标系中，△OBC的顶点O（0，0），B（﹣6，0），且∠OCB＝90°，OC＝BC，则点C关于y轴对称点C′的坐标是 （3，3） ．
【分析】过点C作CD⊥OB于D，根据等腰直角三角形的性质可得CD＝OD＝OB，从而求出点C的坐标，再根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥OB于D，
∵∠OCB＝90°，OC＝BC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴CD＝OD＝OB，
∵O（0，0），B（﹣6，0），
∴OB＝6，
∴CD＝OD＝×6＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，3），
∴点C关于y轴对称点C′的坐标是（3，3）．
故答案为：（3，3）．
16．如图，小亮从A点出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 180 米．
【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：∵360÷30＝12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了15×12＝180（米）．
故答案为：180．
17．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），求点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标为 （﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4） ．
【分析】由条件可知BO为两三角形的公共边，且△ABO为直角三角形，当△ABO和△BCO全等时，则可知△BCO为直角三角形，且有CO＝AO可BC＝AO，可得出C点的坐标．
【解答】解：∵点A（2，0），B（0，4），
∴AO＝2，且△ABO为直角三角形，
当△ABO和△BCO全等时，则可知△BCO为直角三角形，且有公共边BO，
∴CO＝AO或BC＝AO，
当CO＝AO时，则C点坐标为（﹣2，0）；
当BC＝AO时，则BC＝2，且BC⊥OB，
∴C点坐标为（2，4）或（﹣2，4）；
综上可知点C的坐为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB＝∠CED＝90°，AE＝BE，CE＝DE＝2，则图中阴影部分的面积等于 4 ．
【分析】作GD⊥BE于G，作CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF可得DG＝CF，则S△BDE＝S△AEC，由D是BC中点可求S△BED＝2，即可求阴影部分面积．
【解答】解：如图作GD⊥BE于G，作CF⊥AE于F，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，
∴∠GED+∠DEF＝90°，∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠DEG＝∠CEF且DE＝EC，∠DGE＝∠CFE＝90°，
∴△GDE≌△FCE（AAS），
∴DG＝CF；
∵S△BED＝BE×DG，S△ACE＝AE×CF且AE＝BE，DG＝CF，
∴S△BED＝S△AEC；
∵D是BC中点，
∴S△BDE＝S△DEC＝×2×2＝2，
∴S阴影部分＝2+2＝4．
故答案为：4．
三、解答题（本题共5小题，共46分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 9 ．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×3×3﹣×1×5
＝20﹣4﹣﹣
＝9．
故答案为：9．
20．（8分）如图：已知点A、E、F、B在一条直线上，AE＝BF，CF＝DE，AC＝BD，求证：GE＝GF．
【分析】由条件可先求得AF＝BE，则可证得△ACF≌△BDE，可证得∠GEF＝∠GFE，可证得GE＝GF．
【解答】证明：
∵AF＝BE，
∴AF+EF＝BE+EF，
即AF＝BE．
在△ACF和△BDE中，
∴△ACF≌△BDE（SSS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF．
21．（8分）如图，已知：△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16cm，△ABC的周长为24cm，求AD的长度．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AD＝AB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝AB，
∵△BCE的周长为16cm，
∴BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+AC＝16cm，
∵△ABC的周长为24cm，
∴BC+AC+AB＝24cm，
∴AB＝24﹣16＝8cm，
∴AD＝AB＝4cm．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上且点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）连接CD，若CD＝CB，求∠B的度数．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）由（1）可知DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
设∠A＝x，
∴∠ACD＝x，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x，
∵CD＝CB，
∴∠B＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝2x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
即x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36，
∴∠B＝2x＝72°．
23．（12分）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求∠AEB的度数．
（2）试证明AE＝BE+2CM．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°，求出∠ADC＝135°，利用SAS定理证明△ADC≌△BEC，可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到DE＝2CM，结合图形证明即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝135°，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°；
（2）∵△ADC≌△BEC，
∴BE＝AD，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个地铁标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．1cm，3cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm D．2cm，4cm，6cm
3．在平面直角坐标系中，点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），则点A的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣3、7）
4．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
5．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
6．如图，已知△ABC的3条边和3个角，则能判断和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
7．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（ ）
A．64° B．32° C．30° D．40°
8．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
9．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题：（本大题8小题，每小题3分，共24分）
11．七边形的内角和是 ．
12．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于点A，若CD＝4cm，则BD＝ ．
14．如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD＝ ．
15．如图所示，在直角坐标系中，△OBC的顶点O（0，0），B（﹣6，0），且∠OCB＝90°，OC＝BC，则点C关于y轴对称点C′的坐标是 ．
16．如图，小亮从A点出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．
17．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），求点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB＝∠CED＝90°，AE＝BE，CE＝DE＝2，则图中阴影部分的面积等于 ．
三、解答题（本题共5小题，共46分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 ．
20．（8分）如图：已知点A、E、F、B在一条直线上，AE＝BF，CF＝DE，AC＝BD，求证：GE＝GF．
21．（8分）如图，已知：△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16cm，△ABC的周长为24cm，求AD的长度．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上且点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）连接CD，若CD＝CB，求∠B的度数．
23．（12分）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求∠AEB的度数．
（2）试证明AE＝BE+2CM．
2020-2021学年安徽省淮南市田家庵区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个地铁标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
2．以下各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．1cm，3cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm D．2cm，4cm，6cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＝3，不能组成三角形；
B、1+3＜5，不能组成三角形；
C、2+3＞4，能够组成三角形；
D、2+4＝6，不能组成三角形．
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），则点A的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（3，﹣2） D．（﹣3、7）
【分析】利用关于x轴的对称点的坐标特点进行解答即可．
【解答】解：∵点A关于x轴的对称点为A1（3，﹣2），
∴点A的坐标为（3，2），
故选：A．
4．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故选：B．
5．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得答案．
【解答】解：三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：B．
6．如图，已知△ABC的3条边和3个角，则能判断和△ABC全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．
【解答】解：如图：
在△ABC和△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SAS）；
在△ABC和△MNK中，
，
∴△ABC≌△MNK（AAS）．
∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙或丙．
故选：B．
7．如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝32°，则∠C的度数是（ ）
A．64° B．32° C．30° D．40°
【分析】根据平行线的性质求出∠EAD，根据角平分线的定义得到∠EAC＝2∠EAD＝64°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B＝32°，
∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，
∴∠EAC＝2∠EAD＝64°，
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠C＝∠EAC﹣∠B＝64°﹣32°＝32°，
故选：B．
8．如图，△ABC中，AB＝6，AC＝9，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝6，AC＝9，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝6+9＝15．
故选：D．
9．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC＝3，则OF长度是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．
【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，
∴CE＝EG＝3，
∵EF∥OB，
∴∠COE＝∠OEF＝15°
∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，
∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．
故选：D．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段EF的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【分析】根据翻折的性质可知角ECF为45度，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积即可求解．
【解答】解：根据两次翻折可知：
∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠DCF，CE⊥AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝∠ECD+∠FCD＝∠ACB＝45°，
∴∠EFC＝45°，
∴EF＝CE，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，
∴5CE＝3×4，CE＝．
∴EF＝．
故选：B．
二、填空题：（本大题8小题，每小题3分，共24分）
11．七边形的内角和是 900° ．
【分析】由n边形的内角和是：180°（n﹣2），将n＝7代入即可求得答案．
【解答】解：七边形的内角和是：180°×（7﹣2）＝900°．
故答案为：900°．
12．等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 17 ．
【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：分两种情况：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的周长为17．
故答案为：17．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于点A，若CD＝4cm，则BD＝ 8cm ．
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠C＝30°，根据三角形内角和定理求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C＝30°，求出AD＝CD＝4cm，根据含30°角的直角三角形的性质求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠B＝120°，
∵DA⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∵CD＝4cm，
∴AD＝CD＝4cm，
在Rt△BAD中，∠BAD＝90°，AD＝4cm，∠B＝30°，
∴BD＝2AD＝8cm，
故答案为：8cm．
14．如图，在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则∠ACD＝ 25° ．
【分析】在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝45°，根据三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，再由线段垂直平分线的性质可得DB＝DC，根据等边对等角得出∠DCB＝∠B＝45°，然后根据∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，计算即可求解．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝65°，∠B＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝70°﹣45°＝25°．
故答案为25°．
15．如图所示，在直角坐标系中，△OBC的顶点O（0，0），B（﹣6，0），且∠OCB＝90°，OC＝BC，则点C关于y轴对称点C′的坐标是 （3，3） ．
【分析】过点C作CD⊥OB于D，根据等腰直角三角形的性质可得CD＝OD＝OB，从而求出点C的坐标，再根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥OB于D，
∵∠OCB＝90°，OC＝BC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴CD＝OD＝OB，
∵O（0，0），B（﹣6，0），
∴OB＝6，
∴CD＝OD＝×6＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，3），
∴点C关于y轴对称点C′的坐标是（3，3）．
故答案为：（3，3）．
16．如图，小亮从A点出发，沿直线前进15米后向左转30°，再沿直线前进15米，又向左转30°，…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 180 米．
【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：∵360÷30＝12，
∴他需要走12次才会回到原来的起点，即一共走了15×12＝180（米）．
故答案为：180．
17．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），求点C，使以点B、O、C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标为 （﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4） ．
【分析】由条件可知BO为两三角形的公共边，且△ABO为直角三角形，当△ABO和△BCO全等时，则可知△BCO为直角三角形，且有CO＝AO可BC＝AO，可得出C点的坐标．
【解答】解：∵点A（2，0），B（0，4），
∴AO＝2，且△ABO为直角三角形，
当△ABO和△BCO全等时，则可知△BCO为直角三角形，且有公共边BO，
∴CO＝AO或BC＝AO，
当CO＝AO时，则C点坐标为（﹣2，0）；
当BC＝AO时，则BC＝2，且BC⊥OB，
∴C点坐标为（2，4）或（﹣2，4）；
综上可知点C的坐为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4），
故答案为：（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB＝∠CED＝90°，AE＝BE，CE＝DE＝2，则图中阴影部分的面积等于 4 ．
【分析】作GD⊥BE于G，作CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF可得DG＝CF，则S△BDE＝S△AEC，由D是BC中点可求S△BED＝2，即可求阴影部分面积．
【解答】解：如图作GD⊥BE于G，作CF⊥AE于F，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，
∴∠GED+∠DEF＝90°，∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠DEG＝∠CEF且DE＝EC，∠DGE＝∠CFE＝90°，
∴△GDE≌△FCE（AAS），
∴DG＝CF；
∵S△BED＝BE×DG，S△ACE＝AE×CF且AE＝BE，DG＝CF，
∴S△BED＝S△AEC；
∵D是BC中点，
∴S△BDE＝S△DEC＝×2×2＝2，
∴S阴影部分＝2+2＝4．
故答案为：4．
三、解答题（本题共5小题，共46分）
19．（8分）如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC，点A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）．
（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1（不写画法）；
（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC的面积是 9 ．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）S△ABC＝4×5﹣×2×4﹣×3×3﹣×1×5
＝20﹣4﹣﹣
＝9．
故答案为：9．
20．（8分）如图：已知点A、E、F、B在一条直线上，AE＝BF，CF＝DE，AC＝BD，求证：GE＝GF．
【分析】由条件可先求得AF＝BE，则可证得△ACF≌△BDE，可证得∠GEF＝∠GFE，可证得GE＝GF．
【解答】证明：
∵AF＝BE，
∴AF+EF＝BE+EF，
即AF＝BE．
在△ACF和△BDE中，
∴△ACF≌△BDE（SSS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF．
21．（8分）如图，已知：△ABC中，AB边上的垂直平分线DE交AB于D，交AC于E，△BCE的周长为16cm，△ABC的周长为24cm，求AD的长度．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AD＝AB，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝AB，
∵△BCE的周长为16cm，
∴BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+AC＝16cm，
∵△ABC的周长为24cm，
∴BC+AC+AB＝24cm，
∴AB＝24﹣16＝8cm，
∴AD＝AB＝4cm．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB边上且点D到点A的距离与点D到点C的距离相等．
（1）利用尺规作图作出点D，不写作法但保留作图痕迹．
（2）连接CD，若CD＝CB，求∠B的度数．
【分析】（1）作线段AC的垂直平分线交AB于点D，点D即为所求．
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和解答即可．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求．
（2）由（1）可知DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
设∠A＝x，
∴∠ACD＝x，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x，
∵CD＝CB，
∴∠B＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝2x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
即x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36，
∴∠B＝2x＝72°．
23．（12分）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．
（1）求∠AEB的度数．
（2）试证明AE＝BE+2CM．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CA＝CB，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°，求出∠ADC＝135°，利用SAS定理证明△ADC≌△BEC，可得∠BEC＝∠ADC＝135°，即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到DE＝2CM，结合图形证明即可．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ADC＝135°，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS）；
∴∠BEC＝∠ADC＝135°，
∴∠AEB＝135°﹣45°＝90°；
（2）∵△ADC≌△BEC，
∴BE＝AD，
∵△DCE为等腰直角三角形，CM为△DCE中DE边上的高，
∴DE＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
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