高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系优秀导学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系优秀导学案，共10页。




1.清楚直线与圆锥曲线的三种位置关系.


2.会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题.


3.加强数形结合思想的训练与应用.





重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系


难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题





知识梳理


1.直线与圆锥曲线的位置关系


(1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,有且只有一个公共点及有两个相异的公共点.


(2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程,消元后所得方程解的情况来判断.设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.


如消去y后得ax2+bx+c=0.由Ax+By+C=0,f(x,y)=0消元,


①若a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线l与抛物线的对称轴平行(或重合).


②若a≠0,设Δ=b2-4ac.


Δ>0时,直线和圆锥曲线相交于不同两点;


Δ=0时,直线和圆锥曲线相切于一点;


Δ<0时,直线和圆锥曲线没有公共点.


2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题


(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长


|P1P2|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]或|P1P2|=1+1k2[(y1+y2)2-4y1y2](k≠0).


(2)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,利用两点间距离公式直接运算.


1.判断


(1)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线.( )


(2)直线y=k(x-a)与椭圆x2a2+y2b2=1的位置关系是相交.( )


(3)若直线与抛物线只有一个交点,则该直线与抛物线相切.( )





2.顶点在原点,焦点在x轴上且截直线2x-y+1=0所得弦长为15的抛物线方程为 .





一、情景导学


我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题。


类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题。


二、典例解析


例1. 判断直线y=2x-2 与椭圆x25+y24=1是否有公共点，如有，求出公共点的坐标，


如公共点有两个，求出以这两个公共点为端点的线段长。








你认为应该怎样来判断直线与椭圆是否有公共点？如果有两个公共点，应该怎样求得对应线段的长？


例2. 已知直线l:kx-y+2-k=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时,


(1)l与C无公共点;


(2)l与C有唯一公共点;


(3)l与C有两个不同的公共点.











判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,


消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).


(1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线C相离.


(2)当a=0时,即得到一个一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点.此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴.


(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交.


跟踪训练1 已知直线l:y=2x+m,椭圆C: x24+y22=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C:


(1)有两个不同的公共点;


(2)有且只有一个公共点;


(3)没有公共点?


例3 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与椭圆交于P,Q两点,


且OP⊥OQ,|PQ|=102,求椭圆的方程.


若直线l与圆锥曲线F(x,y)=0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:


(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,


便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦.


(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解.


设直线方程为y=kx+m,与圆锥曲线F(x,y)=0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则


|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+(kx1+m-kx2-m)2=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2;


或当k≠0时,|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2·(y1+y2)2-4y1y2.


当k=0时,直线平行于x轴,∴|AB|=|x1-x2|.


跟踪训练2 抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于( )


A.15B.215 C.152D.15





1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为( )


A.相交B.相切 C.相离D.不确定


2.过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线有( )


A.1条 B.2条 C.3条 D.4条


3.已知点P(k,1),椭圆x29+y24=1,点P在椭圆外,则实数k的取值范围为 .


4.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2- y22=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m的值是 .


5.抛物线x2=-y上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值为 .


6.如图,椭圆x216+y27=1的左、右焦点为F1,F2,一条直线l经过F1且与椭圆相交于A,B两点.





(1)求△ABF2的周长;


(2)若l的倾斜角是45°,求△ABF2的面积.




















参考答案：


知识梳理


1. 答案:(1)× (2)√ (3)×


2.解析:设所求抛物线的方程为y2=ax(a≠0).①


直线方程变形为y=2x+1,②


设抛物线截直线所得弦为AB.


将②代入①,整理得4x2+(4-a)x+1=0,


则|AB|=(1+22)a-442-4×14=15.解得a=12或a=-4.


所以所求抛物线的方程为y2=12x或y2=-4x.


答案:y2=12x或y2=-4x


学习过程


例1. 解：联立直线与椭圆的方程，可得方程组y=2x-2 x25+y24=1


解方程组可得x=0y=-2 或x=53 y=43


因此直线与椭圆有两个公共点，且公共点的坐标为（0，-2）（53，43）


从而可知所求线段长为（53-0）2-[43-（-2）] 2 =553





例2. 分析直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数.因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值.


解:(1)将直线方程与双曲线方程联立,


消去y得(1-4k2)x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0.①


要使l与C无公共点,即方程①无实数解,


则有1-4k2≠0,且Δ<0,即


64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)<0.


解得k>-2+193或k<-2-193,


故当k>-2+193或k<-2-193时,l与C无公共点.


(2)当1-4k2=0,即k=±12时,方程①只有一解;


当1-4k2≠0,且Δ=0,即k=-2±193时,方程①只有一解,


故当k=±12或k=-2±193时,l与C有唯一公共点.


(3)当1-4k2≠0,且Δ>0时,方程①有两个不同的解,


即l与C有两个不同的公共点,


于是可得,当-2-193

l与C有两个不同的公共点.


跟踪训练1 解:直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组y=2x+m,①x24+y22=1,②


将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0,③


这个关于x的一元二次方程的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.


(1)由Δ>0,得-32

于是,当-32

(2)由Δ=0,得m=±32.


也就是当m=±32时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.


(3)由Δ<0,得m<-32或m>32.从而当m<-32或m>32时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.


例3 分析设出椭圆方程,将椭圆方程和直线方程联立消去y,转化为


关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系,根据向量数量积


和弦长公式建立方程组求解.


解:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),P(x1,y1),Q(x2,y2).


由y=x+1,mx2+ny2=1,得(m+n)x2+2nx+n-1=0,


Δ=4n2-4(m+n)(n-1)>0,即m+n-mn>0.


由OP⊥OQ,得x1x2+y1y2=0,


即2x1x2+(x1+x2)+1=0,


∴2(n-1)m+n-2nm+n+1=0,∴m+n=2.①


又|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2


=2[(x1+x2)2-4x1x2]=8(m+n-mn)(m+n)2=1022,


将m+n=2代入得mn=34.②


由①②式,得m=12,n=32或m=32,n=12.


故椭圆方程为x22+32y2=1或32x2+y22=1.


跟踪训练2 解析:令直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),


由y=2x+1,y2=12x,得4x2-8x+1=0,


∴x1+x2=2,x1x2=14,


∴|AB|=(1+22)(x1-x2)2=5[(x1+x2)2-4x1x2]=15.


答案:A


达标检测


1.解析:∵y=kx-k+1,∴y-1=k(x-1),过定点(1,1),定点在椭圆x29+y24=1内部,故选A.


答案:A


2. 答案:C


3.解析:依题意得,k29+14>1,解得k<-332或k>332,故实数k取值范围为-∞,-332∪332,+∞.


答案:-∞,-332∪332,+∞


4.解析:设线段AB的中点为M(x0,y0),由x-y+m=0,x2-y22=1,得x2-2mx-m2-2=0,


∴x0=m,∴y0=x0+m=2m,


∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,∴m2+(2m)2=5,∴m=±1,


检验可知判别式Δ>0.故m=±1.


答案:±1


5.解析:设直线4x+3y+c=0与抛物线相切,由4x+3y+c=0,x2=-y,得3x2-4x-c=0,


由Δ=16+12c=0,得c=-43,所以两平行线的距离为-8+4316+9=43.


答案:43


6.解:(1)由x216+y27=1,知a=4,△ABF2的周长=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a=16.


(2)由椭圆方程x216+y27=1,可得F1(-3,0),F2(3,0),又l的倾斜角是45°,故斜率k=1,∴l的方程为y=x+3.


将直线方程代入椭圆方程,整理得23x2+96x+32=0,∴x1+x2=-9623,x1x2=3223,


|AB|=(1+1)×-96232-4×3223=11223.


设点F2到直线l的距离为d,则d=|3-0+3|2=32.


∴S△ABF2=12|AB|·d=12×11223×32=168232.