高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质精品课后复习题

2.6.2 双曲线的几何性质(2)  -B提高练

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练）A是抛物线上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，,则抛物线的准线方程是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】过点A作准线的垂线AC，过点F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，如图．由题意知∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，又因为|AF|＝4，所以|AB|＝2.点A到准线的距离d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，则抛物线y2＝4x的准线方程是x＝－1.故选A.

2．（2020·全国高二课时练）设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】抛物线的准线方程为，由于，根据抛物线的定义可知，

将代入抛物线方程得，所以.

3.已知拋物线y2=8x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,且16≤|AB|≤24,O为坐标原点,记直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,则的取值范围是(　　)

A.[-2,-]∪[,2] B.[-,-1]∪[1,]       C.[-2,-1]∪[1,2] D.[-]

【答案】B

【解析】对于一般的抛物线方程y2=2px,设过焦点的直线方程为x=my+,

与抛物线方程联立可得y2-2pmy-p2=0,设A,B,故y1+y2=2pm,

则=m=,

其中k为直线AB的斜率,设AB所在直线的倾斜角为θ,由抛物线的焦点弦公式可知|AB|=∈[16,24],则sin2θ∈,tan2θ=-1=,故∈[1,2],

所以的取值范围是[-,-1]∪[1,].

4．（2020·河南洛阳高二月考）已知抛物线y2=16x的焦点为F,过点F作直线l交抛物线于M,N两点,则的最小值为(　　)

A. B.- C.- D.

【答案】D

【解析】抛物线y2=16x的焦点为F,则F(4,0),当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4,

由可得M(4,8),N(4,-8),∴|MF|=|NF|=8,∴.

当直线l的斜率存在时,设过点F的直线l的方程为y=k(x-4),不妨设M(x1,y1),N(x2,y2),

由消y可得k2x-(16+8k2)x+16k2=0,∴x1+x2=8+,x1x2=16,

∴|MF|=x1+=x1+4,|NF|=x2+=x2+4,

∴.∴-1≥2-1=,

当且仅当|NF|=6时取等号.故的最小值为.

5．（多选题）（2020·江苏如皋高二月考）已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．若，，三点共线，则

C．若直线与的斜率之积为，则直线过点

D．若，则的中点到轴距离的最小值为2

【答案】BCD

【解析】由抛物线，可得，则焦点坐标为，故A错误；设直线的方程为，联立方程组，可得，所以，

所以，所以，故B正确；

设直线的方程为，联立方程组，可得，所以，所以，

因为直线与的斜率之积为，即，可得，解得，

所以直线的方程为，即直线过点，故C正确；

因为，

所以，所以，因为，

所以的中点到轴的距离：

，当且仅当时等号成立，

所以的中点到轴的距离的最小值为2，故D正确，综上所述，正确命题为BCD.

6. （多选题）已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,点P在l上的射影为P1,则下列结论中正确的是(　　)

A.若x1+x2=6,则|PQ|=8

B.以PQ为直径的圆与准线l相切

C.设M(0,1),则|PM|+|PP1|≥

D.过点M(0,1)与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条

【答案】ABC

【解析】若直线的斜率存在,设y=k(x-1),由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

x1+x2=,x1x2=1.对于A,若x1+x2=6,则k2=1,故k=1或-1,|PQ|=×4=8,故A成立;对于B,取PQ点中点N,N在l上的投影为N',Q在l上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=(|PP1|+|QQ'|)=|PQ|,故B成立;

对于C,M(0,1),|PM|+|PP1|=|MP|+|PF|≥|MF|=,故C成立;对于D,过M(0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M(0,1)且与x轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D不成立.

二、填空题

7．（2020·博兴第三中学高二月考）以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.

【答案】

【解析】抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，

所以圆的圆心为，半径为，故圆的标准方程为.

故答案为：

8.已知M,N是过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线C的交点,O是坐标原点,且满足=3,S△OMN=|MN|,则p的值为　　　　　. 

【答案】8

【解析】不妨设直线MN的斜率k>0,过M,N作抛物线准线的垂线,垂足分别为G,H,

过N作NK⊥MG于K,由=3,得|MF|=3|FN|,∴|MG|=3|NH|,

∴|MK|=2|NH|=2|NF|=|MN|,∴|NK|=|MN|,

由S△OMN=S△OMF+S△ONF=|OF|·|NK|=p|MN|,又S△OMN=|MN|,∴p|MN|=|MN|,得p=8.

9．（2020·广东广州高二月考）斜率为的直线过抛物线的焦点，若直线与圆相切，则_____．

【答案】

【解析】斜率为的直线过抛物线的焦点，

直线的方程为，即，直线与圆相切，

圆心为，半径为，，解得或（舍去）.

10. （2020·山西师大附中高二月考）抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y2=2px(p>0),如图,一平行x轴的光线射向抛物线上的点P,反射后又射向抛物线上的点Q,再反射后又沿平行x轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,则抛物线的方程为　　　　　. 

【答案】y2=3x

【解析】由抛物线的光学性质可得,PQ必过抛物线的焦点F.

当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;

当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=k,P(x1,y1),Q(x2,y2),

联立得k2=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,

所以x1+x2=p+,x1x2=.所以|PQ|=x1+x2+p=2p>2p.

综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,

又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,∴抛物线方程为y2=3x.

三、解答题

11. （2020·全国高二课时练）

如图所示,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.

(1)求实数b的值;

(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.

【解析】(1)由得x2-4x-4b=0. ①

因为直线l与抛物线C相切,

所以Δ=(-4)2-4×(-4b)=0,解得b=-1.

(2)由(1)可知b=-1,故方程①即为x2-4x+4=0,解得x=2.

将其代入x2=4y,得y=1.故点A(2,1).

因为圆A与抛物线C的准线相切,

所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离,

即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.

12.（2020·全国高二专题练）已知抛物线：的焦点，上一点到焦点的距离为5．

（1）求的方程；

（2）过作直线，交于，两点，若直线中点的纵坐标为-1，求直线的方程．

【解析】法一:抛物线: 的焦点的坐标为,由已知

解得或∵,

∴∴的方程为.

法二:抛物线的准线方程为由抛物线的定义可知

解得,∴的方程为.

2.法一:由(1)得抛物线C的方程为,焦点

设两点的坐标分别为,则

两式相减,整理得

∵线段中点的纵坐标为, ∴直线的斜率

直线的方程为即

分法二:由(1)得抛物线的方程为,焦点

设直线的方程为由

消去,得设两点的坐标分别为,

∵线段中点的纵坐标为∴解得

直线的方程为即