高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角优秀随堂练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.3 直线与平面的夹角优秀随堂练习题，共11页。

一、选择题


1．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）





A．B．C．D．


【答案】B


【解析】





建立如图所示的空间直角坐标系，则


，，，设平面的法向量为


则令可得，所以


设直线与平面所成角为，，选：B


2.（2020全国高二课时练）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )


A.5π12B.π3C.π4D.π6


【答案】B


【解析】如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设P在平面ABC上射影为O,则可求得AO长为1,故AP长为12+(3)2 =2.故∠PAO=π3,即PA与平面ABC所成的角为π3.





3．（2020山东泰安实验中学高二月考）在所有棱长都相等的直三棱柱中，、分别为棱、的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】设正三棱柱的所有边长均为，取的中点，连接，


以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，


如下图所示：





则点、、、、，，，，设平面的法向量为，


由，得，取，则，，，


设直线与平面所成角为，


则，则.


4.（2020福建莆田一中高二月考）如图,三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ABB1⊥BC,且A1C与底面成45°角,AB=BC=2,则该棱柱体积的最小值为( )





A.43B.33C.4D.3


【答案】C


【解析】由已知得BC⊥AB,平面A1ABB1⊥平面ABC且交线为AB,故点A1在平面ABC上的射影D在AB上.由A1C与底面成45°角得A1D=DC,当CD最小即CD=BC时A1D最小,此时Vmin=12·AB·BC·A1D=12×2×2×2=4.


5.（多选题）（2020山东章丘四中高二月考）如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为（ ）





A．三棱锥的体积为定值


B．异面直线与所成的角为


C．平面


D．直线与平面所成的角为


【答案】AD


【解析】对于A，


故三棱锥的体积为定值，故A正确；对于B， ，和所成的角为，异面直线与所成的角为，故B错误；对于C， 若平面，则直线，即异面直线与所成的角为，故C错误；对于D，以为坐标原点，以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，


，设平面的法向量为则


，即，令，则


，


所以直线与平面所成的角为，正确，故选：AD


6．（多选题）（2020山西师大附中高二月考）把正方形沿对角线折成直二面角，则下列四个结论中正确的结论是（ ）





A．B．是等边三角形


C．与平面成角D．与所成角为


【答案】AB


【解析】





A项： 取的中点，则，．面．，故A正确．


B项：，取的中点，连接，，．


是正方形，，，为二面角的平面角，．所以是正三角形，故B正确；C项：由，知，平面 ，为与面所成的角为，故C错误．D项：以为坐标原点，､､分别为，，轴建立空间直角坐标系，


则，，，．


，．，所以，故D错误．故选：AB．


二、填空题


7．（2020浙江省宁波市鄞州中学高二期中）正方体中，分别是的中点，则与直线所成角的大小为______ ；与对角面所成角的正弦值是 __________．


【答案】 ；


【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则，，，，故，.故，故与直线所成角的大小为.易知对角面的一个法向量为，设与对角面所成角为，


故.





8.（2020全国高二课时练）如图,圆锥的高PO=2,底面☉O的直径AB=2,C是圆上一点,且∠CAB=30°,D为AC的中点,则直线OC和平面PAC所成角的余弦值为 .





【答案】73


【解析】设点O到平面PAC的距离为d,设直线OC和平面PAC所成角为α,则由等体积法得,VO-PAC=VP-OAC,即13S△PAC·d=13|PO|·S△OAC,∴d=2·12·32·1234·(3)2=23,


∴sin α=d|CO|=23,则cs α=73.


9．（2020大埔县虎山中学高二期中）如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_____．





【答案】4


【解析】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，故，，，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，，解得．





10．（2020·福建莆田一中高二月考）正四棱柱中，，.若是侧面内的动点，且，则与平面所成角的正切值的最大值为___________.


【答案】2.


【解析】





如图，以为原点建立空间直角坐标系，设点，则，


，又，得即；又平面，为与平面所成角，


令，





当时，最大，即与平面所成角的正切值的最大值为2.


三、解答题


11.（2020浙江衢州高二期中）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，.





（1）证明：平面；


（2）若，求直线与平面所成角正弦值.


【解析】（1）证明：因为，为线段的中点，


所以，在等腰梯形中，作于，


则由得，所以，


所以，因为，所以


所以∽,所以，


所以，所以，


因为，，所以平面，


因为在平面内，所以，


因为，在平面内，所以平面；


（2）解：因为，，所以，,


取的中点，连接，则，


因为平面，所以，又


所以平面，


所以如图，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，则，


由（1）知平面，则平面的法向量，


设直线与平面所成角为，


则,


所以直线与平面所成角的正弦值为





12.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,在侧棱CC1上求一点P,使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32.


【解析】如图,以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.





设CP=m(m>0),则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),


所以BD=(-1,-1,0),BB1=(0,0,1),AP=(-1,1,m),AC=(-1,1,0).


因为AC·BD=0,AC·BB1=0,


所以AC为平面BDD1B1的一个法向量.


设AP与平面BDD1B1所成的角为θ,


则sin θ=csπ2-θ=|AP·AC||AP||AC| =22·2+m2,


所以cs θ=1-sin2θ=m2+m2.


因为tan θ=sinθcsθ=2m=32,


所以m=13.


故当CP=13CC1时,直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为32.