高中数学2.3.3 直线与圆的位置关系优秀一课一练

这是一份高中数学2.3.3 直线与圆的位置关系优秀一课一练，共7页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，圆的方程为等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．（2020上海高二课时练习）若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（ ）．


A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．不能确定


【答案】A


【解析】因为直线与圆有两个公共点，所以有，


即，因为点与的圆心的距离为，圆的半径为2，


所以点在圆外.故选:A．


2．（2020湖南衡阳二中高二月考）已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）


A．B．1C．2D．


【答案】C


【解析】设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.


3.已知圆x2+y2=9的弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为( )


A.y-2=0B.x+2y-5=0 C.2x-y=0D.x-1=0


【答案】B


【解析】当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.


4. （2020全国高二课时练）圆x2+y2+2x-2y-2=0上到直线l:x+y+2=0的距离为1的点共有( )


A.1个B.2个C.3个D.4个


【答案】C


【解析】化x2+y2+2x-2y-2=0为(x+1)2+(y-1)2=4,得圆心坐标为(-1,1),半径为2,


∵圆心到直线l:x+y+2=0的距离d=|-1+1+2|12+12=1<2,


结合图形可知,圆上有三点到直线l的距离为1.





5．（多选题）（2020·江苏连云港高二期末）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ）


A．圆M上点到直线的最小距离为2


B．圆M上点到直线的最大距离为3


C．若点（x，y）在圆M上，则的最小值是


D．圆与圆M有公共点，则a的取值范围是


【答案】ACD


【解析】由AB＝AC可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1,3)，点C(4,－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率，所以线段BC的垂直平分线的斜率，所以线段BC的垂直平分线的方程为即，又圆M：的圆心为，半径为，


所以点到直线的距离为，所以圆M：，


对于A、B，圆M的圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的最小距离为，最大距离为，故A正确，B错误；


对于C，令即，当直线与圆M相切时，圆心到直线的距离为，解得或，则的最小值是，故C正确；对于D，圆圆心为，半径为，若该圆与圆M有公共点，则即，解得，故D正确.故选：ACD.


6.（多选题）（2020江苏省响水中学高二月考）在平面直角坐标系中，圆的方程为.若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取可以是( )


A．B．C．D．


【答案】AB


【解析】，所作的圆的两条切线相互垂直，所以，圆点，两切点构成正方形 即，在直线上，圆心距 ，计算得到 ，故答案选AB


二、填空题


7．（2020全国高二课时练习）直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为____________.


【答案】


【解析】由圆的方程可得，圆心为，所以，故直线的斜率为，所以直线方程为，即，故填.


8．（2020·浙江温州高二月考）已知，则直线过定点__________；若直线与圆恒有公共点，则半径r的取值范围是__________.


【答案】


【解析】将直线化简为点斜式，可得，直线经过定点，且斜率为．即直线过定点恒过定点．和圆恒有公共点，


，即半径的最小值是1，故答案为：；．


9．（2020·全国高二课时练习）一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 .


【答案】-43或-34


【解析】由已知得点(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3),由入射光线与反射光线的对称性知,反射光线一定过点(2,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0.由反射光线与圆相切,则有d=|-3k-2-2k-3|k2+1=1,解得k=-43或k=-34.


10.（2020湖北襄阳三中高二月考）如图,正方形ABCD的边长为20米,圆O的半径为1米,圆心是正方形的中心,点P、Q分别在线段AD、CB上,若线段PQ与圆O有公共点,则称点Q在点P的“盲区”中,已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动,同时,点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动,则在点P从A移动到D的过程中,点Q在点P的盲区中的时长约 秒(精确到0.1).


【答案】4.4


【解析】以点O为坐标原点,建立如下图所示的平面直角坐标系,可设点P(-10,-10+1.5t),Q(10,10-t),


可得出直线PQ的方程y-10+t=20-2.5t20(x-10),





圆O的方程为x2+y2=1,由直线PQ与圆O有公共点,可得|2.5t-202-t+10|1+(20-2.5t20)2≤1,化为3t2+16t-128≤0,解得0≤t≤87-83,而87-83≈4.4,因此,点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒.


三、解答题


11．（2020·山东泰安实验中学高二期末）已知圆C:(x+2)2+(y+2)2=3,直线l过原点O.


(1)若直线l与圆C相切,求直线l的斜率;


(2)若直线l与圆C交于A,B两点,点P的坐标为(-2,0).若AP⊥BP,求直线l的方程.


【解析】 (1)由题意知直线l的斜率存在,所以设直线l的方程为y=kx.由直线l与圆C相切,得|2k-2|k2+1=3,整理为k2-8k+1=0,解得k=4±15.


(2)设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由(1)知直线l的方程为y=kx.


联立方程(x+2)2+(y+2)2=3,y=kx,


消去y整理为(k2+1)x2+(4k+4)x+5=0,


所以x1+x2=-4k+4k2+1,x1x2=5k2+1,y1y2=5k2k2+1,


由PA=(x1+2,y1),PB=(x2+2,y2),


则PA·PB=(x1+2)(x2+2)+y1y2=x1x2+2(x1+x2)+y1y2+4,


代入化简得PA·PB=5k2+1-8k+8k2+1+5k2k2+1+4=9k2-8k+1k2+1,


由AP⊥BP,有PA·PB=0,得9k2-8k+1=0,


解得k=4±79,则直线l的方程为y=4+79x或y=4-79x.


12．（2020全国高二课时练习）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.


（1）求圆M的方程；


（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.


【解析】（1）设圆的方程为：，


根据题意得，


故所求圆M的方程为：


（2）如图





四边形的面积为


即


又，所以，


而，即.


因此要求的最小值，只需求的最小值即可，


的最小值即为点到直线的距离


所以，


四边形面积的最小值为.