高中数学人教B版 (2019)选择性必修第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系优秀同步达标检测题

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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修第一册2.8 直线与圆锥曲线的位置关系优秀同步达标检测题，共8页。试卷主要包含了故选，已知抛物线C等内容，欢迎下载使用。

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练）已知直线y＝kx－k－1与曲线C：x2＋2y2＝m(m>0)恒有公共点，则m的取值范围是( )

A．[3，＋∞)B．(－∞，3]

C．(3，＋∞)D．(－∞，3)

【答案】A

【解析】∵直线方程为∴直线恒过定点，∵曲线的方程为，∴曲线表示椭圆，∵直线与曲线：恒有公共点，∴点在椭圆内或椭圆上，即.∴

2．（2020·内蒙古青山高二期中）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（）

A．B．C．D．，或

【答案】A

【解析】设，，又点，在椭圆上，

则，，两式相减可得：，

又，，则，

又点，在椭圆内，则，则，

所以，故选：A.

3.已知双曲线中心在原点,且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程为( )

A.x23-y24=1B.x24-y23=1 C.x25-y22=1 D.x22-y25=1

【答案】D

【解析】由c=7,得a2+b2=7.∵焦点为F(7,0),∴可设双曲线方程为x2a2-y27-a2=1,①

并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入①并整理,得(7-2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0,

∴x1+x2=-2a27-2a2,由已知得-2a27-2a2=-23×2,解得a2=2,故双曲线的方程为x22-y25=1.

4.（2020·四川阆中中学高二月考）已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】解：由，消可得得，解得，分别代入，，，，，

，，，，

,，

，,把代入式并整理得，

两边同除以并整理得，解得,.

5．（多选题）（2020·全国高二课时练）已知分别是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在使的面积为的点P的个数为4，则实数m的值可以是（）

A．2B．3C．D．5

【答案】AD

【解析】当椭圆的焦点在轴上时，，此时，设椭圆的右顶点为，由于面积的最大值为的面积，所以，解得

；当椭圆的焦点在轴上时，，此时，设椭圆的上顶点为B，则，由于面积的最大值为的面积，所以，解得.结合选项知实数m的值可以是2，5.故选：AD

6. （多选题）已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线的斜率为3且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AF|=4,则以下结论正确的是( )

A.p=2B.F为AD中点 C.|BD|=2|BF|D.|BF|=2

【答案】ABC

【解析】如图,Fp2,0,直线l的斜率为3,则直线方程为y=3x-p2,

联立y2=2px,y=3x-p2,得12x2-20px+3p2=0.

解得xA=32p,xB=16p,由|AF|=32p+p2=2p=4,得p=2.∴抛物线方程为y2=4x,xB=16p=13,

则|BF|=13+1=43.|BD|=|BF|cs60°=4312=83,∴|BD|=2|BF|,|BD|+|BF|=43+83=4,

则F为AD中点.∴运算结论正确的是A,B,C.

二、填空题

7.（2019·重庆十八中两江实验中学期中）已知点P(1，2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程是_____.

【答案】

【解析】设直线与椭圆交于两点，，

所以，所以，

所以，且，

所以，所以即.

8.在直角坐标系中任给一条直线,它与抛物线y2=2x交于A,B两点,则OA·OB的取值范围为 .

【答案】[-1,+∞)

【解析】设直线方程为x=ty+b,代入抛物线y2=2x,得y2-2ty-2b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则y1+y2=2t,y1y2=-2b,∴OA·OB=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2=b2-2b=(b-1)2-1,

∴OA·OB的取值范围为[-1,+∞).

9．（2020·浙江外国语学校高二月考）已知椭圆，为长轴的两个端点，点是椭圆上的一点，且满足直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是__________ .

【答案】

【解析】由题知：，则，，设，因为，，，又，则，所以.因为，所以.

10．（2020·四川达州·高二期末（理））过双曲线C：（）的一个焦点和C两支都相交的直线l与椭圆相交于点A，B，若C的离心率为，则的取值范围是______.

【答案】

【解析】双曲线C：的实半轴长为2，虚半轴长为b（），

由C的离心率为，得，即.∴.

椭圆方程为，如图：

不妨取双曲线的左焦点，由图可知，直线l截椭圆所得弦长的最大值为4；

设过的直线方程为，联立，

可得.①

由，解得.

可知当时，直线与椭圆相切；要使直线与双曲线C两支都相交，

则；而当时，

①化为；设，，

则，.

∴，

∴的取值范围是.

三、解答题

11. （2020·全国高二课时练）设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.

(1)求椭圆的方程;

(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.

【解析】 (1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1.

(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,x25+y24=1,

整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.

由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OP⊥MN,得4-5k2-10k·-k2=-1,化简得k2=245,从而k=±2305.

所以,直线PB的斜率为2305或-2305.

12.（2020·全国高二专题练）已知向量a=(x,3y),b=(1,0),且(a+3b)⊥(a-3b).

(1)求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程;

(2)设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P,Q,点A(0,-1),当|AP|=|AQ|时,求实数m的取值范围.

【解析】 (1)∵(a+3b)⊥(a-3b),∴(a+3b)·(a-3b)=0,∴a2-3b2=0,∴x2+3y2=3,

即点M(x,y)的轨迹C的方程为x23+y2=1.

(2)由y=kx+m,x2+3y2-3=0,

得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.

∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点,

∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,即3k2-m2+1>0.①

且x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3(m2-1)1+3k2.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点N(x0,y0),则x0=x1+x22=-3km1+3k2,y0=kx0+m=m1+3k2.

∵|AP|=|AQ|,∴PQ⊥AN.,设kAN表示直线AN的斜率,

又k≠0,∴kAN·k=-1.即-1-m1+3k23km1+3k2·k=-1,

得3k2=2m-1.②

∵3k2>0,∴m>12.

将②代入①得2m-1-m2+1>0,即m2-2m<0,

解得0

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