人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算精品课时练习

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算精品课时练习，共7页。

提高卷B


1.在下列命题中：


①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；


②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；


③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；


④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以惟一表示为p＝xa＋yb＋zc.


其中正确命题的个数为( )


A．0 B．1 C．2 D．3


答案 A


解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对．


2.对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，则( )


A．四点O，A，B，C必共面


B．四点P，A，B，C必共面


C．四点O，P，B，C必共面


D．五点O，P，A，B，C必共面


答案 B


解析 由6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，


得(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＝2(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＋3(eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，


即eq \(PA,\s\up6(→))＝2eq \(BP,\s\up6(→))＋3eq \(CP,\s\up6(→)).


由共面向量定理，知P，A，B，C四点共面．


3.已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是( )


A．30° B．45° C．60° D．90°


答案 C


解析 eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))，


∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(CD,\s\up6(→))


＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))2＋eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0＋12＋0＝1，


又|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝1.


∴cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(CD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(CD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,2×1)＝eq \f(1,2).


∴a与b所成的角是60°.


4.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，若点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))，则|eq \(BP,\s\up6(→))|2的值为( )





A.eq \f(3,2) B．2 C.eq \f(10－\r(2),4) D.eq \f(9,4)


答案 D


解析 由题意可知|eq \(BA,\s\up6(→))|＝1，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝1，|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(2).


〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BD,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝60°.


∴|eq \(BP,\s\up6(→))|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BA,\s\up6(→))－\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→))))2


＝eq \f(1,4)eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up6(→))2＋eq \(BD,\s\up6(→))2－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))


＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)＋2－eq \f(1,2)×1×1×eq \f(1,2)＋1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)－1×eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(9,4).


5在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))化简的结果为________．


答案 0


解析 延长DE交边BC于点F，





则eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，


eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，


故eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝0.


6．已知λ，μ∈R，给出以下命题：


①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；


②λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量；


③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；


④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．


其中正确的是________答案①②③④


7.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，化简eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(B1C,\s\up6(→))－eq \(B1B,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1B,\s\up6(→))=________.


解 如图．eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(B1C,\s\up6(→))－eq \(B1B,\s\up6(→))＋eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1B,\s\up6(→))


＝(eq \(DA,\s\up6(→))－eq \(DB,\s\up6(→)))＋(eq \(B1C,\s\up6(→))－eq \(B1B,\s\up6(→)))＋(eq \(A1B1,\s\up6(→))－eq \(A1B,\s\up6(→)))


＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))


＝eq \(BD,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(BD1,\s\up6(→)).





8如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是______





解析 不妨设AB＝BC＝AA1＝1，


则eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))－eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))，eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，


∴|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(2),2)，|eq \(BC1,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，


eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))·(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)，


∴cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))|·|\(BC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，


∴〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝60°，


即异面直线EF与BC1的夹角是60°.


9已知四面体OABC的所有棱长均为1.求：


(1)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))；


(2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))；


(3)|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|.


解 (1)eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|·|eq \(OB,\s\up6(→))|·cs∠AOB


＝1×1×cs 60°＝eq \f(1,2).


(2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))


＝(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))


＝(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OC,\s\up6(→)))


＝12＋1×1×cs 60°－2×1×1×cs 60°＋1×1×cs 60°＋12－2×1×1×cs 60°＝1.


(3)|eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \r(\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→))2)


＝eq \r(12＋12＋12＋2×1×1×cs 60°×3)＝eq \r(6).





10．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝eq \f(1,4)CD，H为C′G的中点．


(1)求EF，C′G所成角的余弦值；


(2)求FH的长．


解 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA′,\s\up6(→))＝c，


则a·b＝b·c＝c·a＝0，|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.


(1)∵eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)c＋eq \f(1,2)(a－b)


＝eq \f(1,2)(a－b－c)，


eq \(C′G,\s\up6(→))＝eq \(C′C,\s\up6(→))＋eq \(CG,\s\up6(→))＝－c－eq \f(1,4)a，


∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(C′G,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b－c)·(－c－eq \f(1,4)a)


＝eq \f(1,2)(－eq \f(1,4)a2＋c2)＝eq \f(3,8)，


|eq \(EF,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)(a－b－c)2＝eq \f(1,4)(a2＋b2＋c2)＝eq \f(3,4)，


|eq \(C′G,\s\up6(→))|2＝(－c－eq \f(1,4)a)2＝c2＋eq \f(1,16)a2＝eq \f(17,16)，


∴|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，|eq \(C′G,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(17),4)，


cs〈eq \(EF,\s\up6(→))，eq \(C′G,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(EF,\s\up6(→))·\(C′G,\s\up6(→)),|\(EF,\s\up6(→))||\(C′G,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(51),17)，


所以EF，C′G所成角的余弦值为eq \f(\r(51),17).


(2)∵eq \(FH,\s\up6(→))＝eq \(FB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CC′,\s\up6(→))＋eq \(C′H,\s\up6(→))


＝eq \f(1,2)(a－b)＋b＋c＋eq \f(1,2)eq \(C′G,\s\up6(→))


＝eq \f(1,2)(a－b)＋b＋c＋eq \f(1,2)(－c－eq \f(1,4)a)


＝eq \f(3,8)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，


∴|eq \(FH,\s\up6(→))|2＝(eq \f(3,8)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c)2


＝eq \f(9,64)a2＋eq \f(1,4)b2＋eq \f(1,4)c2＝eq \f(41,64)，


∴FH的长为eq \f(\r(41),8).