人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程优质教案设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.3.2 圆的一般方程优质教案设计，共9页。教案主要包含了探究新知，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。




本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习圆的一般方程。


本节内容是在学生学习了圆的标准方程基础上，进一步研究圆的一般方程，发现圆的方程特点，即为特殊的二元二次方程。明确圆的一般方程的特点，掌握圆的方程的算法。在这一过程中，进一步体会数形结合的思想和方程思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。


同时，由于圆也是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其它圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。











重点：掌握圆的一般方程及其特点


难点：根据条件求圆的一般方程





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本节课在学生学习了圆的标准方程的基础上，探究圆的一般方程及其特点。教学中，注重问题导向，给学生充分的探究时间和空间，培养学生的探究能力，落实提升学生能力，注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。





课程目标
学科素养
A. 掌握圆的一般方程及其特点.


B.会将圆的一般方程化为圆的标准方程.


C.能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.


D.能根据某些具体条件,运用待定系数法确定圆的方程,并能解决相关实际问题.


E.结合具体实例,初步了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系.
1.数学抽象：圆的一般方程及其特点


2.逻辑推理：圆的方程的充要条件


3.数学运算：待定系数法求圆的一般方程


4.数学建模：由圆的几何条件写出圆的一般方程
教学过程
教学设计意图


核心素养目标
问题导学


把圆的标准方程


(x-1)2+(y-2)2=9


中的括号展开，整理之后，得到的方程形式是什么样的？是否所有圆的方程都能化成这种形式？


一般地，圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2


可以化为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0


这个方程中，如果令D= -2a, E= -2b, F=a2+b2-r2,


则这个方程可以表示成:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F为常数), 称为圆的一般方程。


二、探究新知


分别判断


2x2+2y2-4x-4y+1=0与x2+y2-2x-2y+2=0


是否是圆的方程，然后总结出x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的方程的充分条件。


一般地 ，


x2+y2+Dx+Ey+F=0⇔(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4





1.已知方程x2+y2+x+y+m=0表示一个圆,则实数m的取值范围为 .


解析:D2+E2-4F=1+1-4m>0,得m<12.


答案:-∞,12


2.方程x3+xy2-2x2+2xy+2x=0表示的图形是 .


解析:由题意,得x[(x-1)2+(y+1)2]=0, 所以x=0或x=1,y=-1,


所以方程表示的图形为直线x=0或点(1,-1).


答案:直线x=0或点(1,-1)


3.若一个二元方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则系数A,B,C,D,E,F应满足什么条件?


应满足的条件是①A=C≠0;②B=0;③D2+E2-4AF>0.


二、典例解析


例1 已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).


(1)求△ABC的外接圆的一般方程;


(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.


解:(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,


由题意,得22+22+2D+2E+F=0,52+32+5D+3E+F=0,32+(-1)2+3D-E+F=0, 解得D=-8,E=-2,F=12.


故△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.


(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,


∴a2+22-8a-2×2+12=0,


即a2-8a+12=0,解得a=2或6.


应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题


(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.


(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.


例2. 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求实数m的取值范围,并写出圆心坐标和半径.


解:由表示圆的条件,得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,解得m<15,


即实数m的取值范围为-∞,15.


圆心坐标为(-m,1),半径为1-5m.


1.形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法


(1)由圆的一般方程的定义,D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.


(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征进行判断.


应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解.


2.对于一般式方程表示圆求参类问题,也要将其化为标准方程,再将其转化为不等式(方程)的求解问题.


跟踪训练1(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是( )


A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0)D.(-∞,1]


(2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的取值是( )


A.4 B.3 C.2 D.1


解析:(1)因为x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,


则16+4-4×5k>0,所以k<1.


(2)∵圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0,


∴圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,所以当m=1时,r2取得最小值,


从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值.


答案:(1)A (2)D


例3 试求圆C:x2+y2-x+2y=0关于直线l:x-y+1=0对称的曲线C'的方程.


由题意可得x+x02-y+y02+1=0,y-y0x-x0·1=-1,解得x0=y-1,y0=x+1.


因为P(x0,y0)在圆C上,所以x02+y02-x0+2y0=0,


解:(方法一)设P'(x,y)为所求曲线C'上任意一点,P'关于l的对称点为P(x0,y0),则P(x0,y0)在圆C上.


所以(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0.


化简,得x2+y2+4x-3y+5=0,


即曲线C'的方程是x2+y2+4x-3y+5=0.


(方法二)特殊对称


圆C关于直线l的对称图形仍然是圆,且半径不变,故只需求圆心C',圆心C12,-1关于直线l:x-y+1=0的对称点为C'-2,32,


因此所求圆C'的方程为(x+2)2+y-322=54.


1.求圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2关于点P(x0,y0)对称的圆的方程,首先要找出圆心C(a,b)关于点P(x0,y0)的对称点,得到对称圆的圆心,半径不变,即得所求圆的方程.


2.求圆关于直线mx+ny+p=0对称的圆的方程,只需求出圆心关于直线的对称点即可.


跟踪训练2 若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于( )





A.32B.-32C.3D.-3


解析:由题意知直线2x-y+3=0经过该圆圆心.因此将圆心(k,0)代入直线方程得k=- 32 .


答案:B


金题典例 已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围.


错解:∵点A在圆外,∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,∴a>2.


错因分析本题错解的根源是仅利用了点在圆外的条件,而忽略了方程作为圆的方程而蕴含的a的范围的限制.


总结归纳：在讨论含有参数的二元二次方程时,一定要明确,只有当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0才表示圆,因此在与其他条件相融合时,一定不要漏掉这一隐含信息.


正解:∵点A在圆外,


∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,(-2a)2+(-3)2-4(a2+a)>0,解得2

∴a的取值范围为2,94.






通过对圆的标准方程整理，开门见山，提出圆的方程特点问题。




































































通过对圆的一般方程的推导，二元二次方程与圆的充要条件的探究，让学生进一步体会方程与曲线的关系，发对展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。










































































在典例分析和练习中让学生熟悉圆的一般方程的特点及其算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养



















































































在典例分析和练习中让学生掌握运用圆的一般方程解决综合问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养



三、达标检测


1.若圆的一般方程为x2+y2+6x+6=0,则该圆的圆心和半径分别是( )


A.(1,1),3B.(1,2),3 C.(3,0),3D.(-3,0),3


答案:D


2.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+8=0,那么经过圆心的一条直线的方程是( )


A.2x-y+1=0 B.2x+y+1=0


C.2x-y-1=0 D.2x+y-1=0


解析:圆心坐标为(1,-3),检验知2x+y+1=0过圆心(1,-3).


答案:B


3.如果x2+y2-2x+y+k=0是圆的方程,则实数k的取值范围是 .


解析:由(-2)2+12-4k>0得k<54.


答案:-∞,54


4.已知圆的方程为x2+y2-2x=0,点P(x,y)在圆上,则2x2+y2的最大值为 ,最小值为 .


解析:由x2+y2-2x=0得y2=-x2+2x≥0,解得0≤x≤2,所以2x2+y2=x2+2x=(x+1)2-1∈[0,8],


当x=0时,2x2+y2取最小值0,


当x=2时,2x2+y2取最大值8,


故2x2+y2的最小值为0,最大值为8.


答案:8 0


5.已知圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),且与y轴交于M,N两点,试求线段MN的长.


解:设圆的一般式方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,


由于圆经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2),


x2+y2-2x-3=0,整理得(x-1)2+y2=4,


则圆心到y轴的距离d=1,半径r=2,


故1-D+F=0,9+3D+F=0,1+4+D+2E+F=0,解得D=-2,E=0,F=-3.故圆的方程为


故|MN|=24-1=23.



通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。



四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。