高中数学人教B版 (2019)选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其运算优质课教案

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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其运算优质课教案，共12页。教案主要包含了学生必备知识等内容，欢迎下载使用。

本节课的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异，学生经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念；经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。

学生经历向量及其运算由平面向空间推广的思维过程，掌握空间向量的加法、减法、数乘运算．

学生理解空间向量数量积的概念、性质和计算方法，掌握“夹角公式”，“求模公式”等, 能熟练地进行向量运算.

学生重点掌握利用向量的方法求立体几何中的平行、垂直、夹角及长度问题的方法.

学生在联系、类比与转化的过程中提高运算、抽象、推理等数学思维能力

重点：熟练掌握空间向量的加法、减法、数乘、数量积的计算方法.

难点：利用向量的方法解决简单的立体几何问题.

【学生必备知识】知】识】

1．平面向量

(1)平面向量的定义

在平面，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

(2)平面向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.

(3)特殊向量

2.平面向量的加法、减法

平面向量的加、减法运算(如图)：

eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝a＋b；

eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝a－b.

3．平面向量加法的运算律

(1)交换律 a＋b＝b＋a；

(2)结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

4．平面向量的数乘运算

(1)向量的数乘：实数λ与平面向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．

(2)平面向量的数乘运算满足分配律与结合律：

分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.

5．平面向量的夹角

6．空间向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

(2)数量积的运算律

(3)数量积的性质

一、空间向量的概念

思考1：观察平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中. 如果能，尝试说出推广之后的不同之处；如果不能说明理由.

答：只要去掉“在平面内”的限定，就都可以原封不动地推广到空间中，因此，我们仍使用上述向量的概念与约定如下.

1．空间向量

(1)空间向量的定义

在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

(2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.

(3)特殊向量

不同之处：空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形.

一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面.

例题1 如图1-1-2，请指出下列各组向量的位置关系.

（1），；（2），；

（3），，；（4），，；

答：（1）共线向量；（2）不共线向量，但是共面向量；

（3）共面向量；（4）不共面向量.

总结：空间中任意两个向量都是共面的；但空间中任意三个向量不一定共面;

空间向量的线性运算

1.空间向量的加法及其运算律

思考1：回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法，并尝试总结空间向量加法运算与平面向量加法运算有何不同？

答：如图1-1-4，因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了A点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样.特别地，向量加法的三角形法则和平行四边形法则在空间中也成立.

思考2：向量加法的运算法则(1)交换律 a＋b＝b＋a；(2)结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

它们在空间中是否成立呢？

答：如图可知，两个运算法则均成立.

2.空间向量的减法与数乘运算

任意两个空间向量总是共面的，因此可以用类似平面向量中的方法来定义两个空间向量的减法运算、数乘运算.

空间向量的减法： a-b=a＋(-b)

空间向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．

（1）当λ≠0或a≠0时，λa的模是|λ||a|，且有

①当λ>0时，λa与向量a方向相同；

②当λ<0时，λa与向量a方向相反；

（2）当λ=0或a=0时，λa=0.

（3）空间向量的数乘运算满足分配律与结合律：

分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，结合律：λ(μa)＝(λμ)a.

例题2：如图1-1-10所示，三棱锥A-BCD中，O为CD的中点，化简，并在图中作出表示化简结果的向量.

解：

空间向量的数量积

平面内两个非零向量a，b，任意在平面内选定一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角.

思考1：观察上述平面向量夹角的概念，思考空间中两个非零向量的夹角该如何定义，并尝试总结两者的不同之处.

答：由于空间中任意两个向量都一定是共面的，因此，空间两个非零向量的夹角也可以按照上述的方式进行定义.但“任意在平面内选定一点”应改成“任意在空间内选定一点”。

特别地，如果=eq \f(π,2)时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.

例题3 如图1-1-11所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角:

与；（2）与；

（3）与；（4）与；

解：（1）45°（2）135°

（3）90°（4）180°

思考2：类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b的定义？

答已知两个非零向量a，b，则|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

即a·b=|a||b|cs〈a，b〉

思考3：请你类比平面向量说出a·b的几何意义．

答如图1-1-12，向量a在向量b上的投影a’，a与b的数量积等于a在b上的投影a’的数量与b的长度的乘积.

思考4：请你类比平面向量说出空间向量的数量积a·b有哪些性质．

答：（1）a⊥b⟺ a·b=0；

（2）a·a=|a|2=a2；

（3）|a·b|≤|a||b|；

（4）(λa)·b=λ(a·b)；

（5）a·b=b·a (交换律）；

（6）（a+b)·c=a·c+b·c (分配律）；

第6条性质可以按如下方式进行理解

当a，b，c共面时，根据平面向量数量积的性质可知，结论成立.

当a，b，c不共面时，显然|c|≠0，设 c0 =,即c0是与c同向的单位向量，如图1-1-14所示，

设是一个长方体。点O与c0都在直线AB上，且= a， =b，

因此a在c0 上的投影为a，=，b在c0 上的投影为b，=，且

=a+b. a+b在c0上的投影为.

注意到=a，+b，.这就说明( a+b)·c0= a·c0+b·c0，

在这个式子两边同时乘以|c|，即可知（a+b)·c=a·c+b·c.

例题4 例1 已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算： (1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))；(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))；(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FC1,\s\up6(→)).

解如图，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，

eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.

(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))＝b·[eq \f(1,2)(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16.

(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.

(3)eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(FC1,\s\up6(→))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－a＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))＝eq \f(1,2)(－a＋b＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b＋a))＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,4)|b|2＝2.

两个重要的公式

①求模公式：|a|＝eq \r(a·a)

②夹角公式：若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)

例题5（1）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为eq \f(π,3)，则|a＋b|＝________.

（2）已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq \r(7)，则cs〈a，b〉＝________.

答案（1） eq \r(7)

解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cs eq \f(π,3)＋22＝7，∴|a＋b|＝eq \r(7).

（2）答案 eq \f(1,8)

解析将|a－b|＝eq \r(7)化为(a－b)2＝7，求得a·b＝eq \f(1,2)，再由a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求得cs〈a，b〉＝eq \f(1,8).

例题6 在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝eq \f(1,2)AD＝1，求PB与CD所成的角．

解由题意知|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，

|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))，

∵PA⊥平面ABCD，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，

∵AB⊥AD，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(DA,\s\up6(→))＝0，

∵AB⊥BC，∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，

∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))2＝|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝1，

又∵|eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，|eq \(CD,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，

∴cs〈eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(PB,\s\up6(→))·\(DC,\s\up6(→)),|\(PB,\s\up6(→))||\(DC,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(2)×\r(2))＝eq \f(1,2)，

∴〈eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝60°，∴PB与CD所成的角为60°.名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法
〈a，b〉
范围
〈a，b〉∈[0，π]．当〈a，b〉＝eq \f(π,2)时，a__⊥__b
数乘向量与向量数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
两个向量数量积的性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0
②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；
若反向，则a·b＝－|a|·|b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)
③若θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
④|a·b|≤|a|·|b|
名称
定义及表示
零向量
规定长度为0的向量叫零向量，记为0
单位向量
模为1的向量叫单位向量
相反向量
与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量记为－a
相等向量
方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量