2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理 解答题专项（五）
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圆之圆周角定理解答题专项（五）
1．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A＝30°，OD＝20cm．求CD的长．
3．如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED．
（1）求证：AB＝CD．
（2）若∠BED＝60°，EO＝2，求BE﹣AE的值．
4．如图，AB是半圆O的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC＝8cm，DE＝2cm，求OD与AD的长．
5．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线角于点F，求证：∠FGC＝∠AGD．
6．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．
（1）如CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径长；
（2）求证：∠FGC＝∠AGD．
7．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交⊙O于点F，连结AD，AF．
（1）求证：∠BAF＝∠DAC．
（2）当AF＝8，AD＝6，CD＝3时，求⊙O的直径．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
9．已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若DE＝DC．求证：BD＝DE．
10．如图，点C在以线段AB为直径的圆上，且，点D在AC上，且DE⊥AB于点E，F是线段BD的中点，连接CE、FE．
（1）若AD＝6，BE＝8，求EF的长；
（2）求证：CE＝EF．
参考答案
1．（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CE＝CD＝×4＝2，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
2．解法（1）：∵OD⊥AB，∠A＝30°，
∴OA＝OD÷tan30°＝20，AD＝2OD＝40．
∵AB是⊙O的直径，
∴AB＝40，且∠ACB＝90°．
∴AC＝AB•cos30°＝40＝60．
∴DC＝AC﹣AD＝60﹣40＝20（cm）．
解法（2）：过点O作OE⊥AC于点E，
∵OD⊥AB于点O，∠A＝30°，
∴AD＝2OD＝40，AO＝OD÷tan30°＝20．
∴AE＝AO•cos30°＝20＝30．
∵OE⊥AC于点E，
∴AC＝2AE＝60．
∴DC＝AC﹣AD＝60﹣40＝20（cm）．
解法（3）：∵OD⊥AB于点O，AO＝BO，
∴AD＝BD．
∴∠1＝∠A＝30°．
又∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠2＝60°﹣30°＝30°＝∠A．
又∵∠AOD＝∠C＝90°，
∴△AOD≌△BCD．
∴DC＝OD＝20（cm）．
3．（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图，
∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，
∴OM＝ON，
∴AB＝CD；
（2）解：∵∠BED＝60°，OE平分∠BED，
∴∠BEO＝∠BED＝30°，
∵OM⊥AB，
∴∠OME＝90°，
∵OE＝2，
∴＝1，
∴＝＝，
∵OM⊥AB，
∴BM＝AM，
∴BE﹣AE＝BM+EM﹣（AM﹣EM）＝2EM＝2．
4．解：连接AC，设⊙O的半径为R．
∵＝，
∴OE⊥BC，
∴CD＝DB＝4cm，
在Rt△ODB中，∵OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣2）2+42＝R2，
∴R＝5，
∴OD＝OE﹣DE＝3，
∵AO＝OB，CD＝DB，
∴AC＝2OD＝6，
∵AB是直径，
∴∠C＝90°，
∴AD＝＝＝2．
5．解：连接AD．
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠AGD＝∠ADC，
∵∠FGC＝∠ADC，
∴∠FGC＝∠AGD
6．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．
∵CD⊥AB，
∴DE＝EC＝4，
在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
∴R2＝（R﹣2）2+42，
解得R＝5．
（2）证明：连接AD，
∵弦CD⊥AB
∴＝，
∴∠ADC＝∠AGD，
∵四边形ADCG是圆内接四边形，
∴∠ADC＝∠FGC，
∴∠FGC＝∠AGD．
7．（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵EF⊥AC，
∴∠FAE+∠AFE＝90°，
∵∠ABD＝∠AFE，
∴∠BAD＝∠FAE，
∴∠BAD﹣∠DAF＝∠FAE﹣∠DAF，
即：∠BAF＝∠DAC．
（2）连结BF．
∵AB是圆O的直径，
∴∠BFA＝90°，
∵∠BDA＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDA＝90°，
∴AC＝，
∴∠BFA＝∠ADC＝90°，
∵∠BAF＝∠DAC，
∴△ABF∽△ACD，
∴，
∴，
∴⊙O的直径为4．
8．（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．
9．证明：连接AD，
∵四边形ABDE为圆内接四边形，
∴∠B+∠AED＝180°，
又∵∠DEC+∠AED＝180°，
∴∠B＝∠DEC，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝DC，
∵DE＝DC，
∴BD＝DE．
10．解：（1）∵点C在以线段AB为直径的圆上，且
∴∠ACB＝90°，且AC＝BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ABC＝45°，
∵DE⊥AB，
∴AE＝DE＝AD＝×6＝6，
在Rt△BDE中，
∵DE＝6，BE＝8，
∴BD＝＝10，
又∵F是线段BD的中点，
∴EF＝BD＝5；
（2）如图，连接CF，
∵∠BED＝∠AED＝∠ACB＝90°，
∵点F是BD的中点，
∴CF＝EF＝FB＝FD，
∴B、C、D、E在以BD为直径的圆上，
∴∠EFC＝2∠EBC＝2×45°＝90°，
∴△EFC为等腰直角三角形，
∴CE＝EF．
