2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（四）

2021年中考数学分类专题提分训练：

圆之圆周角定理解答题专项（四）

1．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，延长AB、CD交于点P，连接AD、BC交于点E，∠P＝30°，∠ABC＝50°，求∠A的度数．

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．

（1）求证：四边形ABFC是菱形；

（2）若AD＝7，BE＝3，求⊙O和菱形ABFC的面积．

3．在⊙O中，半径OD⊥AB，垂足为点P，点C为圆上任意一点，若∠O＝60°，DP＝2，求∠C的度数和半径OB的长．

4．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．

（1）当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；

（2）若AC＝2，求证：△ACD∽△OCB．

5．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC＝12cm，∠A＝60°．求⊙O的直径．

6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．

（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；

（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值．

7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．

（1）求EF的长；

（2）求∠COE的正弦值．

8．如图，在以AB为直径的半⊙O上有点C，点D在上，过圆心作OF⊥CD的于点F，OF、AD的延长线交于点E，连结CE，若∠DEC＝90°．

（1）试说明∠BAC＝45°；

（2）若DF＝1，△ACE的面积为△DCE面积的3倍，连接AC交OE于点P，求tan∠ACD的值和OP的长；

（3）在（2）的条件下，延长EC与AB的延长线相交于点G，直接写出BG的长　   　．

9．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．

（1）求证：∠ACO＝∠BCD．

（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的半径长．

10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠PBC＝∠C

（1）判断直线BC和PD的位置关系，并证明你的结论；

（2）若BC＝2，cos∠BPD＝，求⊙O的半径．

参考答案

1．解：∵∠ABC为△BCP的外角，

∴∠ABC＝∠P+∠C，

∵∠ABC＝50°，∠P＝30°，

∴∠C＝20°，

由圆周角定理，得∠A＝∠C，

∴∠A＝20°．

2．（1）证明：∵AB是直径，

∴∠AEB＝90°，

∴AE⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BE＝CE，

∵AE＝EF，

∴四边形ABFC是平行四边形，

∵AC＝AB，

∴四边形ABFC是菱形．

（2）设CD＝x．连接BD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，

∴（7+x）2﹣72＝62﹣x2，

解得x＝2或﹣9（舍弃）

∴AB＝9，BD＝，

∴S菱形ABFC＝36．

∴S⊙O＝π•（）2＝π．

3．解：连接OA，

∵OD⊥AB，

∴＝，

∵∠BOD＝60°

∴∠AOD＝∠BOD，

∴∠C＝∠BOD＝30°；

∵OD⊥AB，DP＝2，

∴AC＝CB，设半径为R，

在Rt△OAC中，R﹣2＝R，

∴R＝4．

∴⊙O的半径为4．

4．（1）解：连接OA，

∵OA＝OB＝OD，

∴∠OAB＝∠OBC＝30°，∠OAD＝∠ADC＝18°，

∴∠DAB＝∠DAO+∠BAO＝48°，

由圆周角定理得：∠DOB＝2∠DAB＝96°．

（2）证明：过O作OE⊥AB于点E，垂足为E，

∵OE过O，

由垂径定理得：AE＝BE，

∵在Rt△OEB中，OB＝4，∠OBC＝30°，

∴OE＝OB＝2，

由勾股定理得：BE＝2＝AE，

即AB＝2AE＝4，

∵AC＝2，

∴BC＝2，

即C、E两点重合，

∴DC⊥AB，

∴∠DCA＝∠OCB＝90°，

∵DC＝OD+OC＝2+4＝6，OC＝2，AC＝BC＝2，

∴＝＝，

∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．

5．解：如右图所示，

连接OB、OC，并过O作OD⊥BC于D，

∵OD⊥BC，BC＝12，

∴BD＝CD＝6，

∵∠A＝60°，

∴∠BOC＝120°，

∵OB＝OC，OD⊥BC，

∴∠BOD＝∠COD＝60°，

∴∠OCD＝30°，

在Rt△COD中，设OD＝x，那么OC＝2x，于是

x2+62＝（2x）2，

解得x＝2，（负数舍去），

即OC＝4（cm），

∴⊙O的直径＝2OC＝8（cm）．

6．解：（1）∵AB＝AC，

∴＝，∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，

∴∠BAC＝∠CAD，

∴∠BAC＝2∠CAD；

（2）解：∵DF＝DC，

∴∠DFC＝∠DCF，

∴∠BDC＝2∠DFC，

∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，

∴CB＝CF，

又BD⊥AC，

∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．

又BC＝4，

设AE＝x，CE＝10﹣x，

由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，

解得x＝6，

∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，

∵∠ACD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，

∴△CED∽△BEA，

∴＝，

∴DE＝＝＝3，

∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，

作DH⊥AB，垂足为H，

∵AB•DH＝BD•AE，

∴DH＝＝＝，

∴BH＝＝，

∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，

∴tan∠BAD＝＝＝．

7．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，

∵∠ACB＝90°，

∴OM⊥BC，

∴OM＝AC＝×8＝4，

在Rt△OEM中，EM＝＝3，

∴EF＝2EM＝6；

（2）CM＝BC＝8，

∴CE＝8﹣3＝5，

∴CE＝OE，

∴∠OEC＝∠OCE，

在Rt△OCM中，OC＝＝4，

∴sin∠OCM＝＝＝，

∴∠COE的正弦值为．

8．（1）证明：连接BC，如图1所示：

∵OF⊥CD，

∴DF＝CF，

∴ED＝EC，

∵∠DEC＝90°，

∴△CDE是等腰直角三角形，

∴∠DCE＝∠CDE＝45°，

∴∠ABC＝∠CDE＝45°，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°；

（2）解：连接OC、BD，如图2所示：

∵DF＝CF＝1，

∴CD＝2，△CDE是等腰直角三角形，

∴ED＝EC＝，

∵△ACE的面积为△DCE面积的3倍，

∴AE＝3DE＝3，AD＝2，

∴AC＝＝＝2，

∵AB是半⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°，

∵∠BAC＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴BC＝AC＝2，AB＝AC＝2，

∴OC＝OA＝OB＝，BD＝＝＝4＝2AD，

∵∠ACD＝∠ABD，

∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；

∵∠PFC＝∠ADB＝90°，

∴△PCF∽△ABD，

∴＝，

即＝，

解得：PF＝，

∵OF＝＝3，

∴OP＝OF﹣PF＝；

（3）解：如图3所示：

∵△ABC是等腰直角三角形，OA＝OB，

∴OC⊥AB，

∴∠COG＝90°＝∠DEC，

∵∠G＝∠G，

∴△OCG∽△EAG，

∴＝＝，

即＝＝，

解得：BG＝，CG＝5，

故答案为：．

9．解：（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∵AB⊥CD，

∴∠BCD+∠B＝90°，

∴∠A＝∠BCD，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠ACO，

∴∠ACO＝∠BCD；        

（2）∵CD＝8，AB⊥CD，

∴CE＝ED＝4，

设半径OC＝OB＝r

在Rt△OCE中，（r﹣3）2+42＝r2，

∴r＝．

10．解：（1）CB∥PD．

∵，

∴∠C＝∠P．

又∵∠1＝∠DCB，

∴∠1＝∠P．

∴CB∥PD．

（2）连接AC．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

又∵CD⊥AB，

∴．

∴∠A＝∠P．

∴cosA＝cosP．

在Rt△ABC中，，

∵cos∠BPD＝，

∴．

∵BC＝2，

∴AB＝．

即⊙O的半径为．