微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练（三）

微专题：圆之圆周角定理解答题专项——

2021年中考数学分类专题提分训练（三）

1．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．

（1）求证：＝；

（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．

2．如图，⊙O的直径MN⊥弦AB于C，点P是AB上的一点，且PB＝PM，延长MP交⊙O于D，连结AD．

（1）求证：AD∥BM；

（2）若MB＝6，⊙O的直径为10，求sin∠ADP的值．

3．如图．点C、D是以AB为直径的半圆O上的两点，已知AB＝10，tan∠ABC＝．∠ABD＝45°．

（1）求AC的长：

（2）求∠DCB的度数；

（3）求DC的长．

4．如图1．已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．

（1）当tanA＝时，求AP的长；

（2）如果⊙Q过点P、O．且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，

5．已知AB是⊙O的直径，C，D，E是半圆上三点，且AC＝CD，DE＝BE．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若AC＝1，BE＝，求cos∠ABE的值．

6．如图，AB是⊙O的直径，CE⊥AB于E，弦AD交CE延长线于点F，CF＝AF．

（1）求证：＝；

（2）若BC＝8，tan∠DAC＝，求⊙O的半径．

7．如图，点D是⊙O上一点，直线AE经过点D，直线AB经过圆心O，交⊙O于B，C两点，CE⊥AD，垂足为点E，交⊙O于点F，∠BCD＝∠DCF．

（1）求∠A+∠BOD的度数；

（2）若sin∠DCE＝，⊙O的半径为5．求线段AB的长．

8．【问题学习】

小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα＝，求sin2α的值；

小娟是这样给小芸解的：构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC＝α，则sinα＝＝，则AB＝3x，…．

【问题解决】

（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）

（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝，求sin2β的值．

9．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．

（1）求证：ED＝EC；

（2）若CD＝3，EC＝2，求AB的长．

10．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．

（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；

（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．

参考答案

1．（1）证明：∵AB是圆的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵OC∥BD，

∴∠AFO＝∠ADB＝90°，

∴OC⊥AD

∴＝．

（2）解：连接AC，如图，

∵＝，

∴∠CAD＝∠ABC，

∵∠ECA＝∠ACB，

∴△ACE∽△BCA，

∴，

∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），

∴AC＝2，

∵AB是圆的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AB＝＝＝2，

∴⊙O的半径为．

2．（1）证明：∵PB＝PM，

∴∠PMB＝∠PBM，

∵∠PBM＝∠D，

∴∠PMB＝∠D，

∴AD∥BM．

（2）解：连接OB，设OC＝x，BC＝y，

∵MN⊥AB，

∴∠BCO＝∠BCM＝90°，

则有，

解得x＝，

∴MC＝5﹣＝，

由（1）可知，∠ADP＝∠ABM，

∴sin∠ADP＝sin∠ABM＝＝＝．

3．解：（1）∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，

∵tan∠ABC＝＝，

∴可以假设AC＝3k，BC＝4k，

则有25k2＝100，

∴k＝2或﹣2（舍弃），

∴AC＝6，BC＝8．

（2）连接AD．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ABD＝45°，

∴∠DAB＝45°，

∴∠DCB＝∠DAB＝45°．

（3）过点B作BT⊥CD交CD的延长线于T．

∵BC＝8，∠TCB＝∠TBC＝45°，

∴TC＝TB＝4，

∵∠ABD＝∠CBT＝45°，

∴∠ABC＝∠DBT，

∵∠ACB＝∠T＝90°，

∴△ABC∽△DBT，

∴＝，

∴＝，

∴DT＝3，

∴CD＝CT﹣DT＝．

4．解：（1）如图1，过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB＝a，

∵tanA＝，

∴AB＝2a，

∴OB＝AB﹣OA＝2a﹣3，

在Rt△POB中，PB2+OB2＝OP2，

即a2+（2a﹣3）2＝32，

解得a1＝，a2＝0（舍去），

∴AB＝2×＝，

在Rt△ABP中，AP＝＝＝．

（2）连接OP、OQ，则AO＝PO，PQ＝OQ，

∴∠P＝∠A，∠POQ＝∠P，

∴∠P＝∠POQ＝∠A，

∴△AOP∽△PQO，

∴＝，

即＝，

整理得，y＝，

∵⊙O的半径为3，点P不同于点A，

∴0＜x≤6；

∴y＝（0＜x≤6）．

5．解：（1）连OC、OE．

∵AC＝CD，ED＝EB，

∴＝，＝，

∴+＝+

∴∠COE＝90°，

∴AB＝2OE＝2×CE＝CE．

（2）连AE、BC交于点F，则∠ACB＝∠AEB＝90°，

∵∠CAE＝45°，∠CBE＝45°，

∴CF＝AC＝1，EF＝BE＝，

∴AF＝AC＝，

∴AE＝2，

∴AB＝，

∴cos∠ABE＝．

6．（1）证明：延长CF交⊙O于H，连接AH，

∵CE⊥AB，

∴＝，

∵CF＝AF，

∴∠FAC＝∠FCA，

∴＝，

∴＝；

（2）解：∵＝，

∴∠B＝∠DAC，

∴tanB＝，即＝，

解得，AC＝4，

∴AB＝＝4，

∴⊙O的半径为4．

7．解：（1）∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵∠BCD＝∠DCF，

∴∠ODC＝∠DCF，

∴OD∥CE，

∵CE⊥AD，

∴OD⊥AD，

∴∠A+∠BOD＝90°；

（2）连接BD，如图．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∵∠BCD＝∠DCF，sin∠DCE＝，

∴sin∠BCD＝＝，

∵⊙O的半径为5，

∴BC＝10，

∴BD＝6，

∴CD＝＝8．

在Rt△DCE中，sin∠DCE＝＝，

∴DE＝，

∴EC＝．

∵DO∥EC，

∴＝，即＝，

∴AB＝．

8．解：（1）作CD⊥AB于D．如图1，

设∠BAC＝α，则sinα＝＝，

设BC＝x，则AB＝3x，

在Rt△ABC中，AC＝，

又∵AC×BC＝AB×CD

∴CD＝，

∴sin∠COD＝sin2α＝；

（2）如图2，作直径NQ，连接NO，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NQ于点R，

∵NQ为直径，

∴∠NMQ＝90°．

∵∠Q＝∠P＝β，

∴∠MON＝2∠Q＝2β，

在Rt△QMN中，∵sinβ＝，

∴设MN＝3k，则NQ＝5k，易得OM＝NQ＝．

∴MQ＝，

∵MN×MQ＝NQ×MR

∴MR＝，

在Rt△MRO中，sin2β＝sin∠MON＝．

9．解：（1）∵∠EDC+∠EDA＝180°、∠B+∠EDA＝180°，

∴∠B＝∠EDC，

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠EDC＝∠C，

∴ED＝EC；

（2）连接AE，

∵AB是直径，

∴AE⊥BC，

又∵AB＝AC，

∴BC＝2EC＝4，

∵∠B＝∠EDC、∠C＝∠C，

∴△ABC∽△EDC，

∴AB：EC＝BC：CD，

又∵EC＝2、BC＝4、CD＝3，

∴AB＝8．

10．解：（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；

理由如下：连接OD．

∵CD平分∠OCE，

∴∠1＝∠3，

而OC＝OD，

∴∠1＝∠2，

∴∠2＝∠3，

∴CE∥OD，

∵CE⊥AB，

∴OD⊥AB，

∴＝，即点D为半圆AB的中点．

（2）∵在直角△AOD中，OA＝OD＝5，

∴AD＝5．

过点A作CD的垂线，垂足为G，

∵∠ACD＝∠AOD＝45°，

∴△AGC是等腰直角三角形，

∵AC＝6，

∴AG＝CG＝3．

在直角△AGD中，DG＝＝4，

∴CD＝CG+DG＝3+4＝7，

∴线段AD的长度为5，线段CD的长度为7．