微专题：2021年中考数学分类专题提分训练 圆之圆周角定理解答题专项（五）

微专题：圆之圆周角定理解答题专项——

2021年中考数学分类专题提分训练（五）

1．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65°

（1）求∠B的大小；

（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．

2．如图，点C在⊙O上，联结CO并延长交弦AB于点D，＝，联结AC、OB，若CD＝40，AC＝20．

（1）求弦AB的长；

（2）求sin∠ABO的值．

3．如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80°

（1）若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小；

（2）若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小．

4．已知AB是半圆O的直径，M，N是半圆不与A，B重合的两点，且点N在弧BM上．

（1）如图1，MA＝6，MB＝8，∠NOB＝60°，求NB的长；

（2）如图2，过点M作MC⊥AB于点C，点P是MN的中点，连接MB、NA、PC，试探究∠MCP、∠NAB、∠MBA之间的数量关系，并证明．

5．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦（不过圆心），AB⊥CD．

（1）E是优弧CAD上一点（不与C、D重合），求证：∠CED＝∠COB；

（2）点E´在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CE´D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．

6．如图，在⊙O中，AB为直径，且AB⊥CD，垂足为E，CD＝，AE＝5．

（1）求⊙O半径r的值；

（2）点F在直径AB上，连结CF，当∠FCD＝∠DOB时，直接写出EF的长，并在图中标出F点的具体位置．

7．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．

（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；

（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．

8．如图，点E为⊙O的直径AB上一个动点，点C、D在下半圆AB上（不含A、B两点），且∠CED＝∠OED＝60°，连OC、OD

（1）求证：∠C＝∠D；

（2）若⊙O的半径为r，请直接写出CE+ED的变化范围．

9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE．

（1）求证：∠B＝∠D；

（2）若AB＝5，BC﹣AC＝1，求CE的长．

10．在△ABC中，∠BAC＝45°，P是BC边上的一个动点，以AP为直径的⊙O分别交AB、AC于点E和点F．

（1）若EF＝4时，则AP的长为多少？

（2）若∠B＝60°，AB＝6，试探究：当BP长为多少时，EF最短？

参考答案

1．解：（1）∵∠CAB＝∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB＝40°，

∴∠CDB＝40°；

又∵∠APD＝65°，

∴∠BPD＝115°；

∴在△BPD中，

∴∠B＝180°﹣∠CDB﹣∠BPD＝25°；

（2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE＝3．

∵AB是直径，

∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）；

∴OE∥AD；

又∵O是AB的中点，

∴OE是△ABD的中位线，

∴AD＝2OE＝6．

2．解：（1）∵CD过圆心O，＝，

∴CD⊥AB，AB＝2AD＝2BD，

∵CD＝40，AC＝20，∠ADC＝90°，

∴AD＝＝20，

∴AB＝2AD＝40；

（2）设圆O的半径为r，则OD＝40﹣r，

∵BD＝AD＝20，∠ODB＝90°，

∴BD2+OD2＝OB2，即202+（40﹣r）2＝r2，

解得，r＝25，OD＝15，

∴sin∠ABO＝＝．

3．解：（1）∵AO⊥BD，

∴＝，

∴∠AOB＝2∠ACD，

∵∠AOB＝80°，

∴∠ACD＝40°；

（2）①当点C1在上时，∠AC1D＝∠ACD＝40°；

②当点C2在上时，∵∠AC2D+∠ACD＝180°，

∴∠AC2D＝140°

综上所述，∠ACD＝140°或40°．

4．解：（1）如图1，∵AB是半圆O的直径，

∴∠M＝90°，

在Rt△AMB中，AB＝，

∴AB＝10．

∴OB＝5，

∵OB＝ON，

又∵∠NOB＝60°，

∴△NOB是等边三角形，

∴NB＝OB＝5．

（2）结论：∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．

理由：方法一：如图2中，

画⊙O，延长MC交⊙O于点Q，连接NQ，NB．

∵MC⊥AB，

又∵OM＝OQ，

∴MC＝CQ，

即  C是MQ的中点，

又∵P是MQ的中点，

∴CP是△MQN的中位线，

∴CP∥QN，

∴∠MCP＝∠MQN，

∵∠MQN＝∠MON，∠MBN＝∠MON，

∴∠MQN＝∠MBN，

∴∠MCP＝∠MBN，

∵AB是直径，

∴∠ANB＝90°，

∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，

∴∠MBN+∠MBA+∠NAB＝90°，

即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．

方法二：如图2﹣1中，连接MO，OP，NO，BN．

∵P是MN中点，

又∵OM＝ON，

∴OP⊥MN，

且∠MOP＝∠MON，

∵MC⊥AB，

∴∠MCO＝∠MPO＝90°，

∴设OM的中点为Q，

则  QM＝QO＝QC＝QP，

∴点C，P在以OM为直径的圆上，

在该圆中，∠MCP＝∠MOP＝∠MQP，

又∵∠MOP＝∠MON，

∴∠MCP＝∠MON，

在半圆O中，∠NBM＝∠MON，

∴∠MCP＝∠NBM，

∵AB是直径，

∴∠ANB＝90°，

∴在△ANB中，∠NBA+∠NAB＝90°，

∴∠NBM+∠MBA+∠NAB＝90°，

即∠MCP+∠MBA+∠NAB＝90°．

5．（1）证明：如图所示，连接OD、OC．

∵AB是直径，AB⊥CD，

∴＝，

∴∠COB＝∠DOB＝∠COD．

又∵∠CED＝∠COD，

∴∠CED＝∠COB；

（2）解：∠CE'D与∠COB的数量关系是∠CE'D+∠COB＝180°．

理由：∵∠CED＝∠COD，∠CE'D＝（360°﹣∠COD）＝180°﹣∠COD，

∴∠CED+∠CE'D＝180°

由（1）知，∠CED＝∠COB，

∴∠CE'D+∠COB＝180°．

6．解：（1）∵AB为直径，AB⊥CD，

∴DE＝CD＝．

在Rt△ODE中，

∵OD＝r，OE＝5﹣r，DE＝，

∴r2＝（5﹣r）2+（）2，解得r＝3；

（2）如图，连接CB．

∵∠BCD＝∠BOD，

作点B关于CD的对称点F，点F即为所求．

∴EF＝EB＝OB﹣OE＝3﹣2＝1．

7．解：（1）∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB＝90°，

又∵OD∥BC，

∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，

∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．

∵OA＝OD，

∴∠DAO＝∠ADO＝（180°﹣∠AOD）＝（180°﹣70°）＝55°，

∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；

（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．

∵OE⊥AC，

∴AE＝EC，

又∵OA＝OB，

∴OE＝BC＝．

又∵OD＝AB＝2，

∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．

8．证明：（1）延长CE交⊙O于D′，连接OD′

∵∠CED＝∠OED＝60°，

∴∠AEC＝60°，

∴∠OED′＝60°，

∴∠DEO＝∠D′EO＝60°，

由轴对称的性质可得∠D＝∠D′，ED＝ED′，

∵OC＝OD′，

∴∠D′＝∠C，

∴∠C＝∠D；

（2）∵∠D′EO＝60°，

∴∠C＜60°，

∴∠C＝∠D′＜60°，

∴∠COD′＞60°，

∴CD′＞OC＝OD′，

∵CD′＜OC+OD′，

∵CE+ED＝CE+ED′＝CD′，

∴r＜CE+ED＜2r．

9．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，

∵BC＝CD，

∴AD＝AB，

∴∠B＝∠D；

 （2）解：在Rt△ACB中，AB＝5，BC﹣AC＝1，由勾股定理得：AC2+（AC+1）2＝52，

解得：AC＝3，BC＝4，

∵BC＝CD，

即CD＝4，

∵由圆周角定理得：∠B＝∠E，

又∵∠B＝∠D，

∴∠D＝∠E，

∴CE＝DC，

∵CD＝4，

∴CE＝4．

10．解：（1）连接OE、OF．

∵∠EAF＝45°，

∴∠EOF＝2∠EAF＝90°．

∵OE＝OF，EF＝4，

∴EF＝＝OE＝4，

∴OE＝4，

∴直径AP＝2OE＝8；

（2）由EF＝OE可知，当AP最短时，OE最短，EF也就最短；

根据“点到直线之间垂线段最短”可知，当AP⊥BC时，AP最短．

此时，∵∠ABC＝60°，AB＝6，

∴∠BAP＝30°，

∴BP＝AB＝3，

即BP＝3时，EF最短．