2021年中考复习数学专题训练：《四边形》选择题专项培优（一）

2021年中考复习数学专题训练：
《四边形》选择题专项培优（一）

1．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（　　）

A．360° B．540° C．630° D．720°
2．如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
3．如图（2），在大房间一面墙壁上，边长15cm的正六边形A（如图（1））横排20片和以其一部分所形成的梯形B，三角形C、D上，菱形F等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起．已知墙壁高3.3m，请你仔细观察各层瓷砖的排列特点，计算其中菱形F瓷砖需使用（　　）

A．220片 B．200片 C．180片 D．190片
4．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）

A．28 B．24 C．21 D．14
5．如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，则▱ABCD的面积是（　　）

A．absinα B．absinα C．abcosα D．abcosα
7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（　　）

A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
8．在下列叙述中：
①一组对边相等的四边形是平行四边形；
②函数y＝中，y随x的增大而减小；
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
④有不可能事件A发生的概率为0.0001．
正确的叙述有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：BC＝1：2，连接DF，EC．若AB＝5，AD＝8，sinB＝，则DF的长等于（　　）

A． B． C． D．2
10．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又APBE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）

A． B． C． D．
11．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（　　）
①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则＝．

A．1 B．2 C．3 D．4
12．一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（　　）
A．8 B．12 C．16 D．32
13．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．AC⊥BD B．AB＝AD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD
14．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断（　　）

A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
15．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等
D．菱形的邻边相等
16．如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　）

A．4 B．4 C．10 D．8
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（　　）

A．1 B． C．2 D．
18．下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．内角和为360° B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
19．顺次连接等腰梯形四边中点得到一个四边形，再顺次连接所得四边形四边中点得到的图形是（　　）
A．等腰梯形 B．正方形 C．菱形 D．矩形
20．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）

A． B． C．﹣1 D．
21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（　　）

A． B． C． D．
22．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（　　）

A． B．2 C． D．4
23．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（　　）

A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC
C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC
24．如图的灰色小三角形为三个全等大三角形的重叠处，且三个大三角形各扣掉灰色小三角形后分别为甲、乙、丙三个梯形．若图中标示的∠1为58°，∠2为62°，∠3为60°，则关于甲、乙、丙三梯形的高的大小关系，下列叙述何者正确？（　　）

A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲
25．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝Rt∠，∠C＝60°，E是BC上一点，且∠ADB＝∠BDE＝∠EDC，已知DE＝3，则梯形ABCD中位线长为（　　）

A． B． C． D．3

参考答案
1．解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，
只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．
故选：C．
2．解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°＝2340°，
解得n＝15，
原多边形是15﹣1＝14，
故选：B．
3．解：一共是10排，最后一列梯形挨着的图形一定是菱形，
否则就会出来ABCDEFG七种瓷砖．
因此每一排有20个菱形．
故一共有200个．
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，
∵平行四边形的周长为28，
∴AB+AD＝14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE＝ED，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，
故选：D．
5．解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．

∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△CFG（ASA），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故选：D．
6．解：过点C作CE⊥DO于点E，
∵在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，AC＝a，BD＝b，
∴sinα＝，
∴EC＝COsinα＝asinα，
∴S△BCD＝CE×BD＝×asinα×b＝absinα，
∴▱ABCD的面积是：absinα×2＝absinα．
故选：A．

7．解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEAC．
A、根据∠B＝∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
B、根据∠B＝∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．
C、根据AC＝CF不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
D、根据AD＝CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．
故选：B．
8．解：①一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故①错误；
②函数y＝中，在同一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此③正确；
④有不可能事件A发生的概率为0.0001，不可能是发生的概率为0，故④错误．
故选：B．
9．证明：如图，在▱ABCD中，∠B＝∠ADC，AB＝CD＝5，AD∥BC，且AD＝BC＝8．
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD．
又∵CF：BC＝1：2，
∴DE＝CF，且DE∥CF，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∴CE＝DF．
过点C作CH⊥AD于点H．
又∵sinB＝，
∴sin∠CDH＝＝＝，
∴CH＝4．
在Rt△CDH中，由勾股定理得到：DH＝＝3，则EH＝4﹣3＝1，
∴在Rt△CEH中，由勾股定理得到：EC＝＝＝，
则DF＝EC＝．
故选：C．

10．解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵APBE，
∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE∥AB，PE＝AB，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，EF＝BD，
即EF∥AB，
∴P，E，F共线，
设BD＝a，
∵BD＝AB，
∴PE＝AB＝4a，
则PF＝PE﹣EF＝3a，
∵PH∥BC，
∴S△HBC＝S△PBC，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴BH＝PF＝3a，
∵S△HBC：S△ABC＝BH：AB＝3a：4a＝3：4，
∴S△PBC：S△ABC＝3：4．
故选：D．

11．解：①△BEC≌△AFC （SAS），正确；
②∵△BEC≌△AFC，
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ACF+∠ECA＝60，
∴△CEF是等边三角形，
故②正确；
③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；
∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正确；
④过点E作EM∥BC交AC于点M，

易证△AEM是等边三角形，则EM＝AE＝3，
∵AF∥EM，
∴则＝＝．
故④正确，
故①②③④都正确．
故选：D．
12．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD，
∵面积为28，
∴AC•BD＝2OD•AO＝28 ①
∵菱形的边长为6，
∴OD2+OA2＝36 ②，
由①②两式可得：（OD+AO）2＝OD2+OA2+2OD•AO＝36+28＝64．
∴OD+AO＝8，
∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．
故选：C．

13．解：∵四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；
当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；
当∠ABD＝∠CBD时，
由AD∥BC得：∠CBD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
故选：C．
14．解：甲的作法正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACN，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
在△AOM和△CON中，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴MO＝NO，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∵AC⊥MN，
∴四边形ANCM是菱形；
乙的作法正确；
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠6＝∠7，
∵BF平分∠ABC，AE平分∠BAD，
∴∠2＝∠3，∠5＝∠6，
∴∠1＝∠3，∠5＝∠7，
∴AB＝AF，AB＝BE，
∴AF＝BE
∵AF∥BE，且AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴平行四边形ABEF是菱形；
故选：C．

15．解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选：C．
16．解：连接AE，如图：
∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，AE＝CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE＝5，
∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，
∴AB＝＝＝4，
∴AC＝＝＝4；
故选：A．

17．解：连接CE，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
设DE＝x，则CE＝AE＝8﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
即DE＝；
故选：B．

18．解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，
∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，
故选：C．
19．解：∵等腰梯形的两条对角线相等，
∴顺次连接等腰梯形四边中点得到的四边形是菱形，
∵菱形的对角线互相垂直，
∴再顺次连接所得四边形四边的中点得到的图形是矩形．
故选：D．
20．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF＝FG＝AG，DG＝DF，
设DF＝x，则DG＝x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+x＝1，
解得：x＝2﹣，
∴DF＝2﹣，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2﹣）＝﹣1；
故选：C．

21．解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cos∠CBE＝cos∠ECG＝，
∴，CG＝，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，
故选：A．
22．解：设正方形ADOF的边长为x，
由题意得：BE＝BD＝4，CE＝CF＝6，
∴BC＝BE+CE＝BD+CF＝10，
在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，
即（6+x）2+（x+4）2＝102，
整理得，x2+10x﹣24＝0，
解得：x＝2，或x＝﹣12（舍去），
∴x＝2，
即正方形ADOF的边长是2；
故选：B．
23．解：∵点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，
∴EN、NF、FM、ME分别是△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN∥AB∥FM，ME∥CD∥NF，EN＝AB＝FM，ME＝CD＝NF，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB＝CD时，EN＝FM＝ME＝NF，
∴平行四边形EMFN是菱形；
当AB⊥CD时，EN⊥ME，
则∠MEN＝90°，
∴菱形EMFN是正方形；
故选：A．
24．解：∵∠1＝∠α＝58°，∠2＝∠β＝62°，∠3＝∠γ＝60°，
∴b＞c＞a，e＞f＞d，
∵S梯形甲＝S梯形乙＝S梯形丙，
∴梯形丙的两底＞梯形甲的两底＞梯形乙的两底，
∴梯形乙的高＞梯形甲的高＞梯形丙的高，
即：乙＞甲＞丙，
故选：A．

25．解：∵∠ADB＝∠BDE＝∠EDC，∴∠CDE＝∠ADE，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE，
又∠C＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE＝CD＝3，∠CED＝60°，
∴∠BDE＝∠DBE＝30°，
∴BE＝DE＝3，
作DF⊥CE于F，根据等边三角形的三线合一，得EF＝1.5，
所以AD＝4.5，BC＝6，
根据梯形的中位线等于两底和的一半，得它的中位线是．
故选：B．