2021年中考复习数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（一）

2021年中考数学分类专题提分训练：

圆之圆周角定理解答题专项（一）

1．如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．

（1）求EF的长．

（2）若点E为OC的中点，

①求弧CD的度数．

②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．

2．如图，⊙O中直径AB⊥弦CD于E，点F是的中点，CF交AB于I，连接BD、AC、AD．

（1）求证：BI＝BD；

（2）若OI＝1，OE＝2，求⊙O的半径．

3．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．

（1）求证：△BFG≌△DCG；

（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长．

4．如图，已知点A、B、C、D在已知⊙O上，AD∥BC，∠ADC＝120°，⊙O的半径为2．

（1）求证：AC是∠BCD的平分线；

（2）求圆内接四边形ABCD的周长．

5．如图已知⊙O经过A、B两点，AB＝6，C是的中点，联结OC交弦AB与点D，CD＝1．

（1）求圆⊙O的半径；

（2）过点B、点O分别作点AO、AB的平行线，交于点G，E是⊙O上一点，联结EG交⊙O于点F，当EF＝AB，求sin∠OGE的值．

6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．

（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；

（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．

7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝2，求⊙O的半径的长．

8．如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于点E．

（1）求证：AC∥OD；

（2）若OE＝4，求AC的长．

9．【理论学习】学习图形变换中的轴对称知识后，我们容易在直线l上找到点P，使AP+BP的值最小，如图1所示，根据这一理论知识解决下列问题：

（1）【实践运用】如图2，已知⊙O的直径CD为4，弧AD所对圆心角的度数为60°，点B是弧AD的中点，请你在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．

（2）【拓展延伸】在图3中的四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB＝∠APD．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法）．

10．已知：⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，且AB＝CD．

（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．

（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE交CD于点F，连接AD、DE．

①判断∠E与∠DFE是否相等，并说明理由．

②若DE＝7，AM+MF＝17，求△ADF的面积．

参考答案

1．解：（1）连接OD，

∵⊙O的直径AB＝12，

∴圆的半径为12÷2＝6，

∵OC⊥AB，DE⊥OC，DF⊥AB，

∴四边形OFDE是矩形，

∴EF＝OD＝6；

（2）①∵点E为OC的中点，

∴OE＝OC＝OD，

∴∠EDO＝30°，

∴∠DOE＝60°，

∴弧CD的度数为60°；

②延长CO交⊙O于G，l连接DG交AB于P，

则PC+PD的最小值＝DG，

∵∠G＝∠COD＝30°，

∵EG＝9，

∴DG＝＝＝6，

∴PC+PD的最小值为6．

2．（1）证明：如图，连接DI，

∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，

∴，

∴∠CAB＝∠BAD，∠BAD＝∠BDC，

∵点F是的中点，

∴∠ACF＝∠DCF，

∴I是△ADC的内心，

∴∠ADI＝∠CDI，

∵∠BID＝∠BAD+∠ADI，∠BDI＝∠BDC+∠CDI，

∴∠BID＝∠BDI，

∴BI＝BD；

（2）连接OD，

设⊙O的半径为r，

∵OI＝1，OE＝2，

∴BE＝r﹣2，BD＝BE＝r+2，

由勾股定理得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，

r2﹣6r﹣1＝0，

r1＝3+，r2＝3﹣（舍），

答：⊙O的半径是3+．

3．解：（1）∵D是的中点，

∴＝，

∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，

∴＝，

∴＝，

∴BF＝CD，

又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，

∴△BFG≌△DCG（AAS）；

（2）如图，连接OD交BC于点M，

∵D为的中点，

∴OD⊥BC，

∴BM＝CM，

∵OA＝OB，

∴OM是△ABC的中位线，

∴OM＝AC＝5，

∵＝，

∴＝，

∴OE＝OM＝5，

∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，

∴EF＝DE＝＝12，

∴BF＝＝＝4；

4．（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC＝120°，

∴∠B＝60°，

∵BC是直径，

∴∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝30°，

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝30°，

∵∠ADC＝120°，

∴∠DCA＝30°，

∴∠DCA＝∠ACB，

∴AC是∠BCD的平分线；

（2）解：连接OA，如图，

∵∠B＝60°，OB＝OA，

∴△OAB为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，

∵AD∥BC，∠ADC＝120°，

∴∠DCB＝60°，

∴OA∥CD，

∵OA＝OC，

∴四边形OADC为菱形，

∴AD＝DC＝OC＝2，

在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，

∴四边形ABCD的周长＝2+2+2+4＝10．

5．解：（1）∵AB＝6，C是的中点，CD＝1，

∴OC⊥AB且OC平分AB，

∴AD＝3，∠ODA＝90°，

设OA＝r，则OD＝r﹣1，

∴r2＝32+（r﹣1）2，

解得，r＝5，

即圆⊙O的半径为5；

（2）作OH⊥EF于点H，

∵AB＝EF，OD＝r﹣1＝4，

∴OH＝OD＝4，∠OHG＝90°，

∵OA∥BG，OG∥AB，

∴四边形OABG是平行四边形，

∴OG＝AB，

∵AB＝6，

∴OG＝6，

∴sin∠OGH＝＝＝，

即sin∠OGE＝．

6．解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，

∴弧AD＝弧BD，

∴∠DEB＝∠AOC＝×40°＝20°；

（2）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，

∴AC＝BC，即AB＝2AC，

在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，

则AB＝2AC＝8．

7．解：连接BC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，

∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，

∵∠A＝30°，

∴AC＝2CH＝2，

在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，

∴BC＝2，AB＝4，

∴OA＝2，

即⊙O的半径是2；

8．（1）证明：∵AD平分∠CAB，

∴∠OAC＝2∠OAD．

∵∠BOD＝2∠BAD，

∴∠BOD＝∠OAC，

∴AC∥OD．

（2）解：作OF⊥AC于点F，如图所示：

则AF＝AC，

∵AC∥OD，

∴∠DOE＝∠OAF．

在△DOE和△OAF中，，

∴△DOE≌△OAF（AAS），

∴OE＝AF＝AC，

∴AC＝2OE＝8．

9．解：（1）作点B关于CD的对称点E，则点E在圆上，连接AE交CD于点P，则AP+BP最短，连接OA，OB，OE，

∵∠AOD＝60°，B是弧AD的中点，

∴∠AOB＝∠DOB＝30°，

∵B关于CD的对称点E，

∴∠DOE＝∠DOB＝30°，

∴∠AOE＝90°

又∵OA＝OE＝2，

∴△OAE是等腰直角三角形，

∴AE＝；

（2）作B关于AC的对称点E，连接DE并延长，交AC于P，点P即为所求，连接BP，则∠APB＝∠APD．

10．（1）证明：如图1，

∵AB＝CD，

∴＝，

即+＝+，

∴＝，

∴∠A＝∠D，

∴AM＝DM；

（2）①∠E与∠DFE相等．

理由如下：

连接AC，如图，

∵弧BE＝弧BC，

∴∠CAB＝∠EAB，

∵AB⊥CD，

∴AC＝AF，

∴∠ACF＝∠AFC，

∵∠ACF＝∠E，∠AFC＝∠DFE，

∴∠DFE＝∠E；

②∵∠DFE＝∠E，

∴DF＝DE＝7，

∵AM＝DM，

∴AM＝MF+7，

∵AM+MF＝17，

∴MF+7+MF＝17，解得MF＝5，

∴AM＝12，

∴S△ADF＝×7×12＝42．