数学必修13.2.2函数模型的应用实例教学设计及反思

3.2.2（1）函数模型的应用实例（教学设计）

教学目标：

知识与技能 能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题．

过程与方法 感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性．

情感、态度、价值观 体会运用函数思想和处理现实生活和社会中的简单问题的实用价值．

教学重点难点：

重点  运用一次函数、二次函数模型的处理实际问题．

难点  运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．

一、新课引入：

大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？ 你有什么更好的方法？

原来孙子提出了大胆的设想。

分析解答：介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”。这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35=12；鸡数就是：35－12=23。激发学生学习兴趣，增强其求知欲望．

用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题．

二、师生互动，新课讲解：

例1(课本P102例3)．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．

1）  写出速度关于时间的函数解析式；

2）  写出汽车行驶路程关于时间的函数关系式，并作图象；

3）  求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；

4）  假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数与时间的函数解析式，并作出相应的图象．

探索：

1）将图中的阴影部分隐去，得到的图象什么意义？

2）图中每一个矩形的面积的意义是什么？

3）汽车的行驶里程与里程表读数之间有什么关系？它们关于时间的函数图象又有何关系？

本例所涉及的数学模型是确定的，需要我们利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型．此题的主要意图是让学生用函数模型（分段函数）刻画实际问题．

（1）获得路程关于时间变化的函数解析式：

（2）根据解析式画出汽车行驶路程关于时间变化的图象．

例2（课本P103例4）．人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据．早在1798，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

其中表示经过的时间，表示=0时的人口数，表示人口的年平均增长率．

下表是1950~1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）

1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？

探索：

1）  本例中所涉及的数量有哪些？

2）  描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？

3）  根据表中数据如何确定函数模型？

4）  对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？

如何根据所确定函数模型具体预测我国某个时期的人口数，实质是何种计算方法？

本例中，数学模型是指数型函数模型，它由与两个参数决定，而与的值不难得到．本题意在让学生验证问题中的数据与所提供的数学模型是否吻合，并用数学模型解释实际问题，并利用模型进行预测，这也是此题的难点．借助计算器做出函数图象，比较与实际的吻合度．

课堂练习（课本P104练习 NO：1；2）

例3：某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：

R(x)＝.其中x是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

分析　由题目可获取以下主要信息：①总成本＝固定成本＋100x；②收益函数为一分段函数．

解答本题可由已知总收益＝总成本＋利润，总利润＝总收益－总成本．由于R(x)为分段函数，所以f(x)也要分段求出，将问题转化为分段函数求最值问题．

解　(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，

从而f(x)＝.

(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，

∴当x＝300时，有最大值25 000；

当x>400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，

f(x)<60 000－100×400<25 000.

∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.

∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．

点评　在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销售额＝销售价格×销售数量”等．像几何中的面积、体积公式，物理学中的一些公式等，也常用来构造函数关系．

三、课堂小结，巩固反思：

四、布置作业：

A组：

1.

一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V=f(h)的图象大致是(　　)

答案　D

解析　考察相同的Δh内ΔV的大小比较．

2用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(　　)

A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．6

答案　B

解析　设至少要洗x次，则x≤，

∴x≥≈3.32，因此至少要洗4次．

3（课本P107习题3.2  A组 NO：2）

4（课本P107习题3.2  A组 NO：3）

5（课本P107习题3.2  A组 NO：4）（只列出总造价的表达式，并化简即可）

6燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．

(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？

分析　由题目可获取以下主要信息：

①已知飞行速度是耗氧量的函数；

②第(1)问知v，求Q；第(2)问知Q，求v.

解答本题的关键是给变量赋值．

解　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题给公式可得：0＝5log2，解得Q＝10.

即燕子静止时的耗氧量是10个单位．

(2)将耗氧量Q＝80代入题给公式得：

v＝5log2＝5log28＝15 (m/s)．

即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，

它的飞行速度为15 m/s.

点评　直接以对数函数为模型的应用问题不是很多．此类问题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解．

B组：

1、（课本P107习题3.2  B组 NO：2）