高中数学人教版新课标A必修1第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例教学设计

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1.3.1（2）函数的最大（小）值（教学设计）教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．教学过程：一、  复习回顾，新课引入1、用定义证明函数的单调性：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论2、画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）    （2） （3）   （4） 二、师生互动，新课讲解：（一）函数最大（小）值定义1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义． 设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值(minimum value)．注意： 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）． 2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 （1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值（2）利用图象求函数的最大（小）值 （3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 1）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；2）如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；（二）典型例题例1．（课本P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．解一：（顶点法）；解二：（配方法）y=-4.9（x-1.5）2+29.025说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．变式训练1：如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y，试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？        例2：（课本P31例4）求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．分析：函数单调性求最值。变式训练2：求函数y=在区间[2,6]上的最大值和最小值。例3观察下图，用函数的单调性研究以下问题：(1) 若函数的定义域为，求最大值和最小值； (2) 若函数的定义域为，求最大值和最小值； (3) 若函数的定义域为，求最大值和最小值；      解：(1)在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 在区间上是增函数，且，则函数在上的最大值为，最小值为；(2) 在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 在区间上是增函数，且，则函数在上的最大值为，最小值为；(3) 在定义域上，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数， 由于函数在处没有定义，则函数在上的最大值为，没有最小值．思考：为什么要讨论？说明：从本例中可以看出，在求函数的最值时，除了注意单调区间的变化之外，还要注意定义域的区间端点的函数值． 变式训练3：根据函数图象研究函数y=x2-2x-1在下列区间上的最值：（1）[-2，0]；（2）[-2，2]；（3）[0，2]；（3）[0，3]；（4）[2，4] 三、课堂小结，巩固反思：函数的最大（小）值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质．一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性．对于最小值也一样．我们经常利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 四、布置作业：A组：1、（课本P39习题1.3A组NO：5）  2、求下列函数的最值：(1)y= -x2-4x+5；      (2)y= -x2-4x+5 ，x[-4,-3]；      (3) y= -x2-4x+5 ，x[-4,-1]（4）y= -x2-4x+5 ，x[-3,-1]；（5）y= -x2-4x+5 ，x[-1,3]；(6) y= -x2-4x+5 ，x[0,4]    B组：1、（课本P39习题1.3B组NO：1）   2、（课本P39习题1.3B组NO：2）    C组：例2．旅 馆 定 价 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率(%)16055140651207510085欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系．设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160相比降低的房价，因此当房价为元时，住房率为，于是得=150··．由于≤1，可知0≤≤90．因此问题转化为：当0≤≤90时，求的最大值的问题．将的两边同除以一个常数0.75，得1=－2＋50＋17600．由于二次函数1在=25时取得最大值，可知也在=25时取得最大值，此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）．所以该客房定价应为135元．（当然为了便于管理，定价140元也是比较合理的）