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    数学必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

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    这是一份数学必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计,共6页。

    §2.1.4  平面与平面之间的位置关系

    一、教材分析

        空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系,平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的,要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系.

    二、教学目标

    1.知识与技能

    1)了解空间中平面与平面的位置关系;

    2)培养学生的空间想象能力.

    2.过程与方法

    1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握;

    2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.

    3.情感、态度与价值

    让学生感受到掌握空间两个平面关系的必要性,提高学生的学习兴趣.

    三、教学重点难点

        平面与平面的相交和平行.

    四、课时安排

        1课时

    五、教学设计

    (一)复习

    1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面.

    2.直线与平面的位置关系:

    直线在平面内——有无数个公共点,

    直线与平面相交——有且只有一个公共点,

    直线与平面平行——没有公共点.

     

    (二)导入新课

    思路1. (情境导入)

        拿出两本书,看作两个平面,上下、左右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种?

    思路2.(事例导入)

        观察长方体(图1),围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面,两两之间的位置关系有几种?

    1

     

    (三)推进新课新知探究提出问题

    什么叫做两个平面平行?

    两个平面平行的画法.

    回忆两个平面相交的依据.

    什么叫做两个平面相交?

    用三种语言描述平面与平面之间的位置关系.

    活动:先让学生思考,后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

    问题引导学生回忆直线与平面平行的定义.

    问题怎样体现两个平面平行的特点.

    问题两个平面有一个公共点,两平面是否相交.

    问题回忆公理三.

    问题鼓励学生自我训练.

    讨论结果:

    两个平面平行——没有公共点.

    画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行,如图2.

           

    2                      3

    如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理3.如图3,用符号语言表示为:PαPβα∩β=l,Pl.

    两个平面相交——有一条公共直线.

    如果两个平面没有公共点,则两平面平行α∩β=,α∥β.

    如果两个平面有一条公共直线,则两平面相交α∩β=AB,αβ相交.

    两平面平行与相交的图形表示如图4.

    4

     

    (四)应用示例

    思路1

    1  已知平面α,β,直线a,b,α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

    活动学生自己思考或讨论,再写出正确的答案.教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价.

    解:如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.

    5

     

    2  如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条?画出图形表示你的结论.

    解:三个平面两两相交,它们的交线有一条或三条,如图6.

    6

    变式训练

        αβ是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是(    )

    A.αβ都平行于直线lm

    B.α内有三个不共线的点到β的距离相等

    C.lmα内的两条直线,l∥β,m∥β

    D.lm是两条异面直线,l∥αm∥αl∥β,m∥β

    分析:如图7,分别是ABC的反例.

                         

    7

    答案:D

    点评:判断正误要结合图形,并善于发现反例,即注意发散思维.

     

    思路2

    1  α∩β=l,aα,bβ,试判断直线ab的位置关系,并画图表示.

    活动:学生自己思考或讨论,再写出正确的答案.教师在学生中巡视,发现问题及时纠正,并及时评价.

    解:如图8,直线ab的位置关系是平行、相交、异面.

    8

    变式训练

        α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,试判断直线ab的位置关系,并画图表示.

    解:如图9,直线ab的位置关系是相交、异面.

    9

        直线ab不可能平行,这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会,学完下一节后可以证明.

    点评:结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系,目的在于培养学生的空间想象能力.

     

    2  如图10,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,MN分别是AA1D1C1的中点,过DMN三点的平面与正方体的下底面相交于直线l

    10

    1)画出l的位置;

    2)设l∩A1B1=P,求PB1的长.

    解:1)平面DMN与平面AD1的交线为DM

    则平面DMN与平面A1C1的交线为QN.

    QN即为所求作的直线l.如图10.

    2)设QN∩A1B1=P,

    ∵△MA1Q≌△MAD∴A1Q=AD=a=A1D1,

    ∴A1QD1的中点.A1P∥D1N,

    ∴A1P=D1N=C1D1=a.

    ∴PB1=A1B1A1P=.

    变式训练

        画出四面体ABCD中过EFG三点的截面与四面体各面的交线.

    解:如图11,分别连接并延长线段EFBD

    11

    线段EFBD共面且不平行,线段EFBD相交于一点P.

    连接GP交线段CDH,分别连接EGGHFH即为所作交线.

    点评:利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容,是两平面关系的重点.

     

    (五)知能训练

        三棱柱的各面把空间分成几部分?

    解:分为21部分.

     

    (六)拓展提升

        已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβc∥a,

    求证:bc是异面直线.

    证明:反证法:若bc不是异面直线,则b∥cbc相交.

    (1)b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾.

    (2)bc相交于B,Bβ.a∩b=A,∴Aβ.

    ∴ABβ,bβ.这与b∩β=A矛盾.

    ∴b,c是异面直线.

    (七)课堂小结

        本节主要学习平面与平面的位置关系,平面与平面的位置关系有两种:

        两个平面平行——没有公共点;

        两个平面相交——有一条公共直线.

        另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点.

     

    (八)作业

        课本习题2.1  B123.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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