高中人教版新课标A第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案

§2.2.3  直线与平面平行的性质

一、教材分析

    上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.

二、教学目标

1．知识与技能

掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.

2．过程与方法

学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.

3．情感、态度与价值观

（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.

（2）进一步体会类比的作用.

（3）进一步渗透等价转化的思想.

三、教学重点与难点

教学重点：直线与平面平行的性质定理.

教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）复习

    回忆直线与平面平行的判定定理：

（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.

（2）符号语言为：

（3）图形语言为：如图1.

图1

（二）导入新课

思路1.(情境导入)

    教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？

思路2.(事例导入)

    观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B平行吗？

图2

（三）推进新课、新知探究、提出问题

①回忆空间两直线的位置关系.

②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.

③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.

④试证明直线与平面平行的性质定理.

⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？

⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.

活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.

问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.

问题③引导学生进行语言转换.

问题④引导学生用排除法.

问题⑤引导学生找出应用的难点.

问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.

讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.

②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.

    怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：

    如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

    这个定理用符号语言可表示为：

这个定理用图形语言可表示为：如图3.

图3

④已知a∥α，aβ，α∩β=b.求证：a∥b.

证明：

⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.

⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.

（四）应用示例

思路1

例1  如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

图4

(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

(2)所画的线与面AC是什么位置关系？

活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.

分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.

解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，

图5

并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.

则EF、BE、CF就是应画的线.

(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.

由（1）知，EF∥B′C′，

所以EF∥BC.因此

BE、CF显然都与平面AC相交.

变式训练

    如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.

图6

解：Aa，∴A、a确定一个平面，设为β.

∵B∈a，∴B∈β.

又A∈β，∴ABβ.

同理ACβ，ADβ.

∵点A与直线a在α的异侧,

∴β与α相交.

∴面ABD与面α相交，交线为EG.

∵BD∥α，BD面BAD，面BAD∩α=EG,

∴BD∥EG.

∴△AEG∽△ABD.

∴.(相似三角形对应线段成比例)

∴EG=.

点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.

例2  已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.

图7

已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b都在平面α外.

求证：b∥α.

证明：过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c.

∵a∥α,aβ,α∩β=c,

∴a∥c.

∵a∥b,∴b∥c.

∵cα,bα,∴b∥α.

变式训练

    如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH∥FG.

图8

证明：连接EH.

∵E、H分别是AB、AD的中点,

∴EH∥BD.

又BD面BCD，EH面BCD,

∴EH∥面BCD.

又EHα、α∩面BCD=FG,

∴EH∥FG.

点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.

思路2

例1  求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.

图9

已知a∥b,aα，bβ，α∩β=c.

求证：c∥a∥b.

证明：

变式训练

    求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.

图10

已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b，

求证： a∥b.

证明：如图10，过a作平面γ、δ，使得γ∩α=c，δ∩β=d，那么有

点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.

例2  如图11，平行四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.

图11

证明：∵EFGH是平行四边形

变式训练

    如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB.

图12

（1）求证：EFGH是矩形；

（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.

(1)证明：∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD=EF,

∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.

同理HE∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形.

由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为CD和AB所成的角.

又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.

∴四边形EFGH为矩形.

（2）解：由（1）可知在△BCD中EF∥CD，DE=m，EB=n,

∴.又CD=a,∴EF=.

由HE∥AB,∴.

又∵AB=b,∴HE=.

又∵四边形EFGH为矩形,

∴S矩形EFGH=HE·EF=.

点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.

（五）知能训练

求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.

已知：a、b是异面直线.

求证：过b有且只有一个平面与a平行.

证明：(1)存在性.如图13，

图13

在直线b上任取一点A，显然Aa.

过A与a作平面β,

在平面β内过点A作直线a′∥a,

则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α,

∵bα，a与b异面，∴aα.

又∵a∥a′，a′α，∴a∥α.

∴过b有一个平面α与a平行.

(2)唯一性.

假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面,

则bγ.∵A∈b，∴A∈γ.

又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″.

∵a∥γ，aβ，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.

这与a′∩a″=A矛盾.

∴假设错误，故过b且与a平行的平面只有一个.

综上所述，过b有且只有一个平面与a平行.

变式训练

    已知：a∥α，A∈α，A∈b，且b∥a.求证：bα.

证明：假设bα，如图14，

图14

设经过点A和直线a的平面为β，α∩β=b′,  ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行).

又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A矛盾.

∴假设错误.故bα.

（六）拓展提升

    已知：a,b为异面直线,aα,bβ,a∥β,b∥α,求证:α∥β.

证明：如图15，在b上任取一点P，由点P和直线a确定的平面γ与平面β交于直线c，则c与b相交于点P.

图15

变式训练

    已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.

（1）求证：CD∥α;

（2）若AB=4，EF=，CD=2，求AB与CD所成角的大小.

（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,

图16

∵AB∥α，面ADB∩α=GFAB∥GF.

又∵F为BD中点,

∴G为AD中点.

又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.

（2）解：由（1）证明可知：

∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1, EF=.

在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.

（七）课堂小结

    知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.

    方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.

（八）作业

    课本习题2.2   A组5、6.