高中数学第三章 直线与方程3.3 直线的交点坐标与距离公式教学设计及反思

§3.3.2  两点间的距离

一、教材分析

    距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础.

    解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法.

在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性.

    课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.

二、教学目标

1．知识与技能：

掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：

通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。；

3．情态和价值：

体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

三、教学重点与难点

教学重点：①平面内两点间的距离公式.

②如何建立适当的直角坐标系.

教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（一）导入新课

思路1.已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?

思路2.(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?

②求点B(3，4)到原点的距离.

③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.

④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).

讨论结果：①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|.

②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.

③

图1

    在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.

    在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.

    因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，

    所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.

    由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=.

④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离.

(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.

(c)猜想了任意两点间距离公式.

(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.

    这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!

（三）应用示例

例1  如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.

图2

解:设B(x，3)，根据|AB|=13，

即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.

点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.

例2  已知点A(-1，2)，B(2，)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.

解:设所求点P(x，0)，于是有.

由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1.

即所求点为P(1，0),且|PA|==2.

（四）知能训练

课本本节练习.

（五）拓展提升

已知0＜x＜1,0＜y＜1,求使不等式

≥2中的等号成立的条件.

答案：x=y=.

（六）课堂小结

通过本节学习，要求大家:

①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；

②能灵活运用此公式解决一些简单问题；

③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题.

（七）作业

课本习题3.3  A组6、7、8；B组6.