人教版新课标A选修1-13.4生活中的优化问题举例教学设计及反思

教学环节

教学活动

设计意图

(1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤

学生回答：导数法求函数最值的基本步骤

为课题作铺垫.

(2)典型例题讲解

例1、 把边长为cm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？

解  设剪去的小方形的边长为，则盒子的为

  ，

求导数，得

，

选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，

令得或，其中不合题意，故在区间内只有一个根：，

显然，

因此，当四角剪去边长为cm的小正方形时，做成的纸盒的容积最大．

让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。

(3) 利用导数解决优化问题的基本思路：

1、  生活中的优化问题转化为数学问题

2、  立数学模型（勿忘确定函数定义域）

3、  利用导数法讨论函数最值问题

使学生对该问题的解题思路清析化。

(4)加强巩固1

例2、铁路AB段长100千米，工厂C到铁路的距离AC为20千米，现要在AB上找一点D修一条公路CD，已知铁路与公路每吨千米的运费之比为3:5，问D选在何处原料从B运到C的运费最省?

解： 设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x之间的函数关系式，则

CD＝，BD＝100-x，公路运费5k元／Tkm，铁路运费3k元／Tkm

 y＝，

求出f' (x)＝，

令f’(x)＝0，得 3600＋9x2＝25x2   

解得x1＝15，x2＝-15(舍去)，

∵y(15)＝330k

  y(0)＝400k，y(100)≈510k           

∴原料中转站D距A点15千米时总运费最省。

使学生能熟练步骤.

(5) 加强巩固2

例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令  解得  （舍去）

当时，；当时，．

当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）       半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）       半径为cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．

当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小．

提高提高问题的综合性，锻炼学生能力。

(6)课堂小结

1、  建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键

2、  要注意不能漏掉函数的定义域

3、  注意解题步骤的规范性

(7)作业布置:教科书P104 A组1,2,3。

(8备用题目：

1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为 （ A  ）

    A     B      C      D

2、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为           （A ）

 A      B      C       D 

3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为   4             。

4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是      4          。

5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为： ，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

解：先求出利润函数的表达式：

再求导函数：

求得极值点：q ＝ 80。只有一个极值点，就是最值点。

故得：q ＝ 80 时，利润最大。最大利润是：

注意：还可以计算出此时的价格：p ＝ 30 元。

6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则

令

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