数学选修1-12.3抛物线教学设计

教学环节

教学活动

设计意图

一、复习引入抛物线的定义

1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹.

2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹.

3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是 椭圆 ，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？

抛物线的定义：平面内与一个 定点 和一条  定直线l 的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的  准线 ．

学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。

二、建立抛物线的标准方程

  根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。

  通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。

三、例题讲解

例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程

(1)过点(-3,2)；　　(2)焦点在直线x-2y-4=0。

分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。

解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),则将点(-3,2)方程得或。    

　　∴所求的抛物线方程为

   　（2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.　

∴抛物线的焦点为F(0,-2).

设抛物线方程为x2=2py。则由得,

∴所求的抛物线方程为x2=-8y

或令y=0由x-2y-4=0得x=4,

∴抛物线焦点为Ｆ(4,0) .

设抛物线方程为y2=2px。则由得,

∴所求的抛物线方程为y2=16x

   　注意：本题是用待定系数法来解的，要注意解题方法与技巧。

例2 已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。  (1)y2=6x；   (2)y=ax2.

分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。

解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是

（2）将抛物线方程化为标准方程，则焦点坐标为，准线方程为

例3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。

分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的值。

为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。

解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px (p>0),则焦点，由题设可得，解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为

（方法二）由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为5，∵M的坐标为（-3，m），∴,∴p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为

四、巩固练习

1．选择：

⑴若抛物线y2=2px (p<0)上横坐标为-6的点到焦点

的距离是10, 则焦点到准线的距离是   (B )

A、4     B、8     C、16    D、32

⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于 (B)

  A.  10       B.  8     C.  6     D.  4

⑶已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时，M点的坐标是  ( C )

A.   B.   C.   D.

2．填空：

⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是；

⑵ 抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a>），则点M到准线的距离是_a_，点M的横坐标是．

四、巩固练习

3． (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．

线的标准方程是x2=－8y．

4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。

分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。

  又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。

  解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且

  ∴所求的抛物线方程为y2=16x.

围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程。

五、课后练习

1. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B   )

(A)     (B)     (C)      (D)1

2. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）

(A) 有且仅有一条   (B)有且仅有两条

(C) 有无穷多条     (D)不存在

3. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(D )

(A) 2 (B) 3 (C) 4　  (D) 5

4 .（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)

    (A)    (B)    (C)    (D) 0

5．求经过点A（2，－3）的抛物线的标准方程：

分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况

解：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：

y2＝2px或x2＝－2py．（如图）

点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝

点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝

∴所求抛物线的标准方程是

y2＝x或x2＝－y

6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．

分析：画出示意图2-14可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．

  根据学生情况分层布置作业。