数学第二章 圆锥曲线与方程2.2双曲线教学设计

教学环节

教学活动

设计意图

一．复习、引入

1、椭圆的定义是什么？

2、到两个定义距离之差是一个定长的点的轨迹是什么呢？

通过复习引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。

二．实验

1、如图2.2.1,取一条拉链进行实验，让学生观察点M的轨迹。

2、问题：点M所满足的几何条件是什么？

通过实验引导学生探究，整理实验，归纳抽象成数学问题。

三．双曲线的定义的讲解

1、投影：双曲线的定义：

     平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）

     常数一般用2表示。

（讲解定义时要注意条件：）

2、探索思考：若没有该条件所表示的图形会是怎样的？

3、讨论：椭圆定义与双曲线定义有什么异同？

1、明确双曲线的定义。抓住几个不变：两个定点；一个常数。

2、通过对限制条件的探究，加深学生概念的理解。

3、在与椭圆的对比中建立有关双曲线的知识结构。

四．双曲线标准方程的推导

1．提问：我们是如何建立坐标系求椭圆的标准方程的？

探索：仿照求椭圆标准方程的方法，求双曲线的标准方程。

2.引导学生推导双曲线的标准方程

3.教师让学生板演双曲线的标准方程的推导过程，得到：

4.类比椭圆的标准方程，令得双曲线的标准方程：

     （）

说明：此方程表示的双曲线焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0）、F2（c，0），其中c2=a2＋b2.

5.问题：椭圆的标准方程有两种，双曲线是否也有两种呢？进一步得到：当焦点在y轴时，

  （）    

说明：此方程表示的双曲线焦点在y轴上，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），其中c2=a2＋b2.

1.充分利用学生学习椭圆的学习经验提高学生学习双曲线的学习效率

2．通过反复与椭圆进行类比，既加强与已有知识联系，又找出与旧知识的不同之处，做到“同化”与“顺应”。

五．例题

1．例1：已经双曲线两个焦点分别为、，双曲线上一点P到、距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。

分析：本题为根据双曲线的定义求标准方程

解：设双曲线的标准方程为：（），

因为，故，

所以，

因此，双曲线的标准方程为：

由学生板演

练习：教科书练习

2．例2一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s.

（1）爆炸点应在什么样的曲线上？

（2）已知A、B两地相距800 m，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程.

解（1）由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上.

因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上.

（2）如图8—14，建立直角坐标系xOy，使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合.

设爆炸点P的坐标为（x,y），则

即2a=680,a=340.

又∴2c=800,c=400, b2=c2－a2=44400.

∵∴x>0.

所求双曲线的方程为：

   (x>0).

思考1：该例表明，利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，但不能确定爆炸点的准确位置.而现实生活中为了安全，我们最关心的则是爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这个问题呢？

如果再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.

思考2：如果A、B两点同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B的距离相等，那么爆炸点应在怎样的曲线上？

AB的中垂线。

3．补充例题：已知动圆P与定圆C1：(x＋5)2＋y2＝49,C2：(x－5)2＋y2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程

分析：外切有|PC1|＝7＋r, |PC2|＝1＋r，

∴|PC1|－|PC2|＝6，

内切有|PC1|＝r－7, |PC2|＝r －1，∴|PC2|－|PC1|＝6

故点P的轨迹是双曲线x2/9－y2/16＝1

双曲线标准方程的简单应用

四、小结

1、   提问：我们已经学习了双曲线，双曲线是怎样的点的轨迹？

2、   双曲线的标准方程是怎样的？

3、   双曲线标准方程中a、b、c之间的关系是什么？你能通过它们求出双曲线的标准方程吗？

五、作业

教科书习题2.2  1、2、