2-2-1等差数列的概念、等差数列的通项公式）

备课资料

一、备用习题

1.已知{an}是等差数列，a5=10，d=3，求a10.

解法一：设数列的首项为a1，由a5=a1+4d得a1=-2，故而a 10=a1+9d=25.

解法二：a10=a5+5d =25.

2.已知{an}是等差数列，a5=10，a 12=31，求a 20，an.

解法一：设{a n}的首项为a1，公差为d，则

因为a20=a1+19d=55，所以a n=a1+(n-1)d=3n-5.

解法二：因为a 12=a 5+7d,所以d=3.所以得a20=a12+8d=55,a n=a12+(n-12)d=3n-5.

注：根据以上两个例题的解法二启发学生得出等差数列的变形公式：an=am+(n-m)d.

3.等差数列2，5，8，…，107共有多少项？

解：由107=2+(n-1)×3得n=36.

引申：设等差数列{an}的首项为a 1，末项为a n，公差为d，则其项数,

这是等差数列通项公式的又一变形公式.

4.在-1与7之间顺次插入三个数a、b、c使这五个数成等差数列，试求出这个数列.

解法一：因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是数-1与数7的等差中项.

所以.a又是-1与3的等差中项，所以.

又因为c是3与7的等差中项，.

解法二：设a1=-1,a5=7,所以7=-1+(5-1)d d=2.

则所求的数列为-1，1，3，5，7.

5.在一次大型庆祝“申奥”成功的活动中，广场上正对着观礼台的场地上由近及远地竖立着“2008相聚北京”八块标语牌.每块牌子的高为2 m，距离观礼台最近的标语牌与观礼台的距离为20 m.若一个人从观礼台上距离地面8 m的高处能完整地看清这八块标语牌.问：最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要多少米？(结果精确到1米)

答案：最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要149米.

二、阅读材料

等差数列的子数列问题

从等差数列a1,a2,a3,…，an,…中，选出一些项按原来的次序组成一个新的数列{bn}，则称数列{bn}是数列{an}的子数列.例如，数列2，4，6，8，…，2n，…是数列1，2，3，…，n，…的一个子数列.

子数列的概念虽然教材中没有讲，但我们仍可以遇到很多等差数列的子数列问题，在解此类问题时，需注意两点：

其一，这些项是按什么“标准”选取出来的，不同的标准，选出来的子数列具有不同的性质，因此要弄清这种“标准”的数学含义，并把它用数学式子表示出来.

其二，无论按何标准选取出来的子数列的项，都是原数列的一项，在这意义之下，我们可以得出下面的结论：

若原数列{an}的通项公式为an=f(n)，子数列{bm}的通项公式为bm=g(m)，则必存在n,m∈N*使得f(n)=g(m)成立.

【例1】 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d，取出这数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是否是等差数列？如果是，它的首项与公差各是多少？如果不是，请说明理由.

分析：新数列{bn}是由原数列{an}中的项数为7的倍数的各项组成的，因此，有bn=a7n，再由等差数列的定义判定差bn+1-bn是否为与n无关的常数.

解：设新数列为{bn}，依题意可知bn=a7n=a1+(7n-1)d=7dn+a1-d.

所以bn+1-bn=7d(n+1)+a1-d-7dn-a1+d=7d为常数.

所以新数列是等差数列，其公差为7d，首项为a1+6d.

点评:本题的关键在于抓住选项的“标准”，即“项数为7的倍数”，于是得到了bn=a7n，进而得出新的数列{bn}的通项公式.

【例2】 等差数列1 002，1 005，1 008，…，1 998中能被4整除的项共有多少项?并写出这些项按原来的次序组成的新数列的通项公式.

分析：原数列的通项公式为an=1 002+3(n-1)，设数列中各数均为3的倍数，故数列中能被4整除的项必为12的倍数.

解：设原等差数列为{an}，则an=1 002+3(n-1)=3n+999，此数列中各项均为3的倍数.

又依题意新数列是由原数列中能被4整除的各项组成的，所以新数列中的各项为12的倍数.

设12k是新数列中的项，则1 002≤12k≤1 998，解得83.5≤k≤166.5，故k取84，85，86，…，166，即原数列中能被4整除的项共有83项.

这些项组成的新数列的通项公式为

bn=12n+996(n∈N*,1≤n≤83).

点评:本例还可以运用等差数列的性质，先判断出新数列是以12为公差的等差数列，再找出其首项为1 008，即可写出它的通项公式.