1-1-2余弦定理）

备课资料

一、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中,设三内角A、B、C的对边分别是A、B、C.

∵,

∴.

∴.

∴.

∴.

∴b-acosC=ccosA,

即B=ccosA+acosC.

类似地有C =acosB+bcosA,a=bcosC +ccosB.

上述三式称为三角形中的射影定理.

二、解斜三角形题型分析

正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果其中三个元素是已知的(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.

关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:

(1)已知两角及其中一个角的对边,如A、B、A,解△ABC.

解：①根据A+B+C=π,求出角C;

②根据,求B、C.

如果已知的是两角和它们的夹边,如A、B、C，那么先求出第三角C,然后按照②来求解.求解过程中尽可能应用已知元素.

(2)已知两边和它们的夹角,如A、B、C,解△ABC.

解：①根据C2=A2+B2-2abcosC,求出边C;

②根据cosA=,求出角A;

③由B=180°-A-C,求出角B.

求出第三边C后,往往为了计算上的方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是锐角,应先求A、B较小边所对的角(它一定是锐角),当然也可以用余弦定理求解.

(3)已知两边及其中一条边所对的角,如a、b、A,解△ABC.

解：①,经过讨论求出B;

②求出B后,由A+B+C=180°，求角C;

③再根据,求出边C.

(4)已知三边A、B、C,解△ABC.

解：一般应用余弦定理求出两角后,再由A+B+C=180°,求出第三个角.

另外,和第二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.

(5)已知三角,解△ABC.

解：满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不唯一.

三、“可解三角形”与“需解三角形”

解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求解立体几何和解析几何问题的一个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂(即图中三角形不止一个)的斜三角形问题,往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中无数，这既延长了思考时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形”这两个概念，则情形就不一样了．

所谓“可解三角形”,是指己经具有三个元素(至少有一边)的三角形；而“需解三角形”则是指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从而使“需解三角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型,合理地选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素，并确定解的情况．

“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题到手后，先做什么，再做什么，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确定的状态而变为“有的放矢”地去挖掘，去探究．