2-2-2等差数列通项公式）

备课资料

一、备用例题

【例1】 梯子最高一级宽33 cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.

解：设{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知

a 1=33，a 12=110，n=12，所以a12=a1+(12-1)d，即得110=33+11d，解之，得d=7.

因此a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.

答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.

【例2】 已知成等差数列，求证：，，也成等差数列.

证明：因为，，成等差数列，所以，化简得2ac=b(a+c)，所以有

=.

因而也成等差数列.

【例3】 设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1=35，b1=75，a2+b2=100，

求数列{an+bn}的第37项的值.

分析：由数列{an}、{bn}都是等差数列，可得{an+bn}是等差数列，故可求出数列{an+bn}的公差和通项.

解：设数列{an}、{bn}的公差分别为d1，d2，则(a n+1+bn+1)-(an+bn)=(a n+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2为常数，所以可得{an+bn}是等差数列.设其公差为d，则公差d=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(35+75)=-10.因而a37+b37=110-10×(37-1)=-250.

所以数列{an+bn}的第37项的值为-250.

点拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用通项公式an=a1+(n-1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定数列是否为等差数列.

【例4】 在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：一是每年年末加1 000美元；二是每半年结束时加300美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长数学的人，很容易选择前者，因为一年加一千美元总比两个半年共加600美元要多.其实，由于加工资是累计的时间稍长，往往会发现第二种方案更有利.例如：在第二年的年末，依第一种方案共可以加得1 000+2 000=3 000美元；而第二种方案共可以加得300+600+900+1 200=3 000美元，但到了第三年，第一方案共可加得6 000美元，第二方案则共加得6 300美元，显然多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案.

根据以上材料，解答下列问题：

(1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？

(2)如果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a美元.问a取何值时，总是选择第二种方案比选择第一种方案多加薪？

答案：(1)在该公司干10年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8 000美元.

(2)当a大于时，总是第二方案加薪多于第一种方案.

【例5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例如，切一刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，切3刀最多切成7块……问切n刀，最多可切出几块?

(要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考，分清每一种确定的刀数，都可以有一个最多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分析，让学生学会归纳与总结，并能勇于联想、探索)

答案：.

二、阅读材料

一个古老的数学课题

等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第二项起，后项减去前项所得的差是一个相等的常数，则称此数列为等差数列.

在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题.其中有一个问题大意是：

10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？

在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个具体例子，分别给出了求公差、总和、项数的一般步骤.比如书中第23题(用现代语叙述)：

（1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共织了30日，问共织布多少？

这是一个已知首项(a 1)、末项(an)，以及项数(n)求总数(S n)的问题，对此，原书提出的解法是：总数等于首项加末项除2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式：Sn=(a 1+a n)·.印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：an=a1+(n-1)d.

（2）有一女子善于织布，逐日所织布按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，问每日比前一日增织多少？

这是一个已知首项(a1)，总数(Sn)以及项数(n)，求公差(d)的问题，对此原书给出的解法是.

等价于现在的求和公式：.

书中第1题：今有某人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给4元，第三人给5元，其余依次递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得100元，问人数多少？

这是一个已知首项(a1)，公差(d)以及n项的平均数(m)，求项数(n)的问题，对此原书给出的解法是.

我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是在天文学和堆栈求积等问题的推动下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北宋沈括(1031～1095)的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法.

垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积.

垛积术也就是高阶等差级数求和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初步的研究成果.

《九章算术》中已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比例方法来解决.

公元5世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式：

S=n(a+1)与求公差的公式：.

南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如

S=12+22+32+…+n2= (n+1)(2n+1),

S=1+3+6+10+…+ = n(n+1)(n+2)

之类的垛积公式.

北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式：

.

元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公式.朱世杰的垛积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.