3-3-2简单线性规划问题）

备课资料

备用习题

1.某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）

每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？

分析：找约束条件，建立目标函数.

解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界OA：y=0，AB：3x+y-900=0，BC：5x+4y-1 800=0，CD：x+2y-720=0，DO：x=0.

由z=40x+50y,得，它表示斜率为，截距为z[]50的平行直线系，越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值.

解方程组C(120,300).

∴z max=40×120+50×300=19 800,即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元.

点评：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1 800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究.

2.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：

某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.（1）用x、y表示混合食物成本C；（2）确定x、y、z的值，使成本最低.

分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.

解:（1）依题意x、y、z满足x+y+z=100z=100-x-y.

∴成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）.

（2）依题意

∵z=100-x-y,

∴

作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.

联立交点A(50,20).

作直线7x+5y+400=C，则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50,20)时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋400＝C＝850元.

∴x=50千克，z=30千克时成本最低.